“超級(jí)全能生”2018高考全國(guó)卷26省9月聯(lián)考乙卷(A)

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|y=log2(4-x)},B={x|x2-2x-3gt;0},則A∩B=

( )

A.(3,4) B.(-∞,-1)

C.(-∞,4) D.(3,4)∪(-∞,-1)

( )

3.下列說(shuō)法正確的是

( )

A.命題“若x2-3x-4=0,則x=4.”的否命題是“若x2-3x-4=0,則x≠4.”

B.agt;0是函數(shù)y=xa在定義域上單調(diào)遞增的充分不必要條件

C.?x0∈(-∞,0),3x0lt;4x0

D.若命題P:?n∈N,3ngt;500,則┐P:?n0∈N,3n0≤500

4.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著,其中的一段話“可半者半之,不可半者,副置分母、子之?dāng)?shù),以少減多,更相減損,求其等也,以等數(shù)約之.”用程序框圖表示如圖,那么這個(gè)程序的作用是

( )

A.求兩個(gè)正數(shù)a,b的最小公倍數(shù)

B.求兩個(gè)正數(shù)a,b的最大公約數(shù)

C.判斷其中一個(gè)正數(shù)是否能被另一個(gè)正數(shù)整除

D.判斷兩個(gè)正數(shù)a,b是否相等

( )

A.a+b=2cB.a+blt;2c

C.a+b≤2cD.a+b≥2c

( )

A.16 B.12 C.8 D.-4

7.學(xué)校為了獎(jiǎng)勵(lì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中獲獎(jiǎng)的優(yōu)秀學(xué)生,將梅、蘭、竹、菊四幅名畫送給獲獎(jiǎng)的甲、乙、丙三位學(xué)生,每個(gè)學(xué)生至少獲得一幅,則在所有送法中甲得到名畫“竹”的概率是

( )

8.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則其表面積為

( )

( )

10.若正四棱錐P-ABCD內(nèi)接于球O,且底面ABCD過(guò)球心O,設(shè)正四棱錐P-ABCD的高為1,則球O的體積為

( )

( )

( )

二、填空題：本題共4小題,每小題5分,共20分.

16.若存在實(shí)數(shù)a∈R，使得關(guān)于x的不等式x|x-a|lt;b在[1,2]上恒成立,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22,23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.(12分)

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)設(shè)bn=2n·an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

18.(12分)

如圖1,四邊形ABCD為等腰梯形,AB=2,AD=DC=CB=1,將△ADC沿AC折起,使得平面ADC⊥平面ABC,E為AB的中點(diǎn),連接DE，DB.

(Ⅰ)求證：BC⊥AD；

(Ⅱ)求直線DE與平面BCD所成的角的正弦值.

19.(12分)

某研究小組為了研究某品牌智能手機(jī)在正常使用情況下的電池供電時(shí)間,分別從該品牌手機(jī)的甲、乙兩種型號(hào)中各選取6部進(jìn)行測(cè)試,其結(jié)果如下：

甲種手機(jī)供電時(shí)間(小時(shí))191821222320乙種手機(jī)供電時(shí)間(小時(shí))1817．520232222．5

(Ⅰ)求甲、乙兩種手機(jī)供電時(shí)間的平均值與方差,并判斷哪種手機(jī)電池質(zhì)量好；

(Ⅱ)為了進(jìn)一步研究乙種手機(jī)的電池性能,從上述6部乙種手機(jī)中隨機(jī)抽取4部,記所抽4部手機(jī)供電時(shí)間不小于20小時(shí)的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

20.(12分)

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)直線l：y=x+m與E相交于A,B兩點(diǎn),在y軸上是否存在點(diǎn)C,使△ABC為正三角形,若存在,求直線l的方程；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.(12分)

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22,23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計(jì)分,作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑.

22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)

(Ⅰ)求圓C的極坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)若P為圓C上的一動(dòng)點(diǎn),求|PA|2+|PB|2的取值范圍.

23.[選修4-5：不等式選講](10分)

已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x-2|.

(Ⅰ)求不等式f(x)≥3的解集；

【參考答案】

1.D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.A 7.C 8.B 9.D

17.解：(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.

(1分)

當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn=(an+1)2，∴4Sn-1=(an-1+1)2，

即(an+an-1)(an-an-1-2)=0，

(4分)

又angt;0，∴an-an-1=2，

∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，

即an=2n-1.

(6分)

(Ⅱ)∵bn=(2n-1)·2n，

∴Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n， ①

2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1， ②

(8分)

①-②得

-Tn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1

=2-8+2n+2-(2n-1)×2n+1

=-6+2n+1(2-2n+1)

=-6+2n+1(3-2n)，

∴Tn=6+2n+1(2n-3).

(12分)

18.解：(Ⅰ)證明：在圖1中，作CH⊥AB于點(diǎn)H，

圖1

∵平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，

∴BC⊥平面ADC，

(6分)

(Ⅱ)取AC的中點(diǎn)F，連接DF，F(xiàn)E，易得FA，F(xiàn)E，F(xiàn)D兩兩垂直，

以FA，F(xiàn)E，F(xiàn)D所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示，

圖2

設(shè)m=(x，y，z)為平面BCD的法向量，

設(shè)直線DE與平面BCD所成的角為θ，

(12分)

因?yàn)榧?、乙兩種手機(jī)的平均數(shù)相同，甲的方差比乙的方差小，所以認(rèn)為甲種手機(jī)電池質(zhì)量更好.

(6分)

(Ⅱ)6部乙種手機(jī)供電時(shí)間不小于20小時(shí)的有4部，小于 20小時(shí)的有2部，

所以X的可能取值為2，3，4，則

故X的分布列為

X234P25815115

(12分)

(4分)

(Ⅱ)存在.把y=x+m代入E的方程得3x2+4mx+2m2-4=0，

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

(7分)

設(shè)AB的中點(diǎn)為P，

(12分)

21.解：(Ⅰ)f′(x)=a+1+lnx(xgt;0)，

由f′(x)gt;0，得xgt;e-a-1，由f′(x)lt;0，得0lt;xlt;e-a-1，

∴f(x)在(0，e-a-1)上單調(diào)遞減，在(e-a-1，+∞)上單調(diào)遞增.

(3分)

∴f(x)min=f(e-a-1)=e-a-1(a+lne-a-1)

∴a=0.

(5分)

(Ⅱ)證明：當(dāng)agt;0，xgt;0時(shí)，

(8分)

由g′(x)gt;0，得0lt;xlt;1，由g′(x)lt;0，得xgt;1，

∴g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減.

(12分)

22.解：(Ⅰ)把圓C的參數(shù)方程化為普通方程為(x-2)2+(y-2)2=2，

即x2+y2-4x-4y+6=0，

由x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，

得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0.

(5分)

A，B的直角坐標(biāo)分別為(-1，0)，(1，0)，

所以|PA|2+|PB|2的取值范圍為[6，38].

(10分)

其圖象如圖所示，

由圖可知f(x)≥3的解集為{x|x≤0或x≥2}.

(5分)

(10分)