傅建民

(陜西省咸陽市渭城中學(xué) 712000)

在大多數(shù)情況下，人們解題往往是就題解題，解答完成以后，沒有反思的習(xí)慣.事實(shí)上，在很多情況下，雖然是正確的解答，有時(shí)甚至是非常巧妙的解答，但不一定是揭示問題本質(zhì)的解答.

(1)討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

該問題有多種解法(見文[1])，這里不贅述，但是本人認(rèn)為沒有一種解法揭示問題的本質(zhì)，下面的思路探求旨在揭示問題本質(zhì).(僅針對(duì)第Ⅱ問)

?x1·lnx1-1=x1+lnx1

例題2已知甲盒中有m個(gè)紅球，n個(gè)藍(lán)球，乙盒中有m-1個(gè)紅球，n+1個(gè)藍(lán)球(m≥3,n≥3)，同時(shí)從甲乙兩個(gè)盒子中各取出i(i=1,2)個(gè)球進(jìn)行交換.

小說將完全對(duì)立的兩個(gè)人物安排在一起，一崇高、一鄙俗；一理想、一現(xiàn)實(shí)；兩種視角針鋒相對(duì)，又相互穿插、碰撞，最后彼此成就從而使作品達(dá)到一種獨(dú)特的完滿的藝術(shù)效果。讀者看到作品中變化著角度的世界，既獲得共鳴也產(chǎn)生思考。

(1)交換后，從甲盒中取一個(gè)球是紅球的概率記為pi(i=1,2)，

(2)交換后，乙盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為ξi(i=1,2).則( ).

A.p1>p2Eξ1>Eξ2B.p1>p2Eξ1

C.p1Eξ2D.p1

首先我們來計(jì)算p1與Eξ1

從甲乙兩個(gè)盒子中各取1個(gè)球進(jìn)行交換，有下列四種情況：從甲盒中取一個(gè)紅球，從乙盒中取一個(gè)紅球；從甲盒中取一個(gè)紅球，從乙盒中取一個(gè)藍(lán)球；從甲盒中取一個(gè)藍(lán)球，從乙盒中取一個(gè)紅球；從甲盒中取一個(gè)藍(lán)球，從乙盒中取一個(gè)藍(lán)球；

所以p1=[m(m-1)m+m(n+1)(m-1)+n(m-1)(m+1)+n(n+1)m]/(m+n)3=[(m3-m2)+(m2n+m2-mn-m)+(m2n-n)+(mn2+mn)]/(m+n)3=[m3+2m2n-m-n+mn2]/(m+n)3=[m(m+n)2-(m+n)]/(m+n)3>m/(m+n)

Eξ1=[m(m-1)(m-1)+m(n+1)m+n(m-1)(m-2)+n(n+1)(m-1)]/(m+n)2=[(m2-m)(m-1)+(n+1)m2+(mn-n)(m-2)+(n2+n)(m-1)]/(m+n)2=[(m3-2m2+m)+(m2n+m2)+(m2n-3mn+2n)+(mn2+mn-n2-n)]/(m+n)2=[m3+2m2n+mn2-m2-2mn-n2+m+n]/(m+n)2=[m(m+n)2-(m+n)2+m+n]/(m+n)2=[(m-1)(m+n)2+(m+n)]/(m+n)2>m-1

下面我們來計(jì)算p2與Eξ2

從甲乙兩個(gè)盒子中各取兩個(gè)球進(jìn)行交換，有下列九種情況：從甲盒中取兩個(gè)紅球，從乙盒中取兩個(gè)紅球；從甲盒中取兩個(gè)紅球，從乙盒中取兩個(gè)藍(lán)球；從甲盒中取兩個(gè)紅球，從乙盒中取一個(gè)紅球一個(gè)藍(lán)球；從甲盒中取一個(gè)紅球一個(gè)藍(lán)球，從乙盒中取兩個(gè)紅球；從甲盒中取一個(gè)紅球一個(gè)藍(lán)球，從乙盒中取兩個(gè)藍(lán)球；從甲盒中取一個(gè)紅球一個(gè)藍(lán)球，從乙盒中取一個(gè)紅球一個(gè)藍(lán)球；從甲盒中取兩個(gè)藍(lán)球，從乙盒中取兩個(gè)紅球；從甲盒中取兩個(gè)藍(lán)球，從乙盒中取兩個(gè)藍(lán)球；從甲盒中取兩個(gè)藍(lán)球，從乙盒中取一個(gè)紅球一個(gè)藍(lán)球；

p1=(m3+2m2n-m-n+mn2)/(m+n)3=(m3+2m2n-m-n+mn2)(m+n-1)2/(m+n)3(m+n-1)2=(m5+4m4n+6m3n2+4m2n3+mn4-2m4-6m3n-6m2n2-2mn3-m2n-2mn2-n3+2m2+4mn+2n2-m-n)/(m+n)3(m+n-1)2

p1-p2=(m3+3m2n+3mn2+n3-2m2-4mn-2n2+m+n)/(m+n)3(m+n-1)2=[(m3-2m2)+(3m2n-4mn)+(3mn2-2n2)+n3+m+n]/(m+n)3(m+n-1)2=[m2(m-2)+mn(3m-4)+n2(3m-2)+n3+m+n]/(m+n)3(m+n-1)2

因?yàn)閙≥3，所以p1-p2>0?p1>p2

Eξ1=[(m3+2m2n+mn2-m2-2mn-n2+m+n]/(m+n)2=[(m3+2m2n+mn2-m2-2mn-n2+m+n)(m+n-1)2]/(m+n)2(m+n-1)2=(m5+4m4n+6m3n2+4m2n3+mn4-3m4-10m3n-12m2n2-6mn3-n4+4m3+11m2n+10mn2+3n3-3m2-6mn-3n2+m+n)/(m+n)2(m+n-1)2

Eξ2-Eξ1=(m3+3m2n+3mn2+n3-2m2-4mn-2n2+m+n)/(m+n)2(m+n-1)2=[(m3-2m2)+(3m2n-4mn)+(3mn2-2n2)+n3+m+n]/(m+n)2(m+n-1)2=[m2(m-2)+mn(3m-4)+n2(3m-2)+n3+m+n]/(m+n)2(m+n-1)2

因?yàn)閙≥3，所以Eξ2-Eξ1>0?Eξ2>Eξ1

上述解法雖然是處理這類問題的通法，但是不是該問題的本質(zhì)解法.同時(shí)上述解法計(jì)算量較大，很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，不過該問題屬于選擇題，當(dāng)然可以取m=n=3，這樣可以節(jié)省許多計(jì)算量，但是賦值法仍然不是該問題的本質(zhì)解法.該問題的本質(zhì)是不通過計(jì)算，能否判斷p1與p2，Eξ1與Eξ2大??？下面的思路探求旨在揭示問題本質(zhì).

思路探求：設(shè)在未做交換(初始狀態(tài))時(shí)從甲盒中取一個(gè)球是紅球的概率p0，乙盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為ξ0，因?yàn)閺募缀兄腥∫粋€(gè)球是紅球的概率大于從乙盒中取一個(gè)球是紅球的概率，同時(shí)從甲乙兩個(gè)盒子中各取出一個(gè)球進(jìn)行交換，那么甲盒中紅球數(shù)的期望值會(huì)減少，乙盒中紅球數(shù)的期望值會(huì)增加.因此有p1ξ0

從甲乙兩個(gè)盒子中各取1個(gè)球暫時(shí)不進(jìn)行交換，甲乙兩個(gè)盒子中剩余球的情況有下列四種：

(1)從甲盒中取一個(gè)紅球，從乙盒中取一個(gè)紅球；

甲盒中剩余m-1個(gè)紅球，n個(gè)藍(lán)球，乙盒中剩余m-2個(gè)紅球，n+1個(gè)藍(lán)球.此時(shí)從甲盒中取一個(gè)球是紅球的概率大于從乙盒中取一個(gè)球是紅球的概率，

(2)從甲盒中取一個(gè)紅球，從乙盒中取一個(gè)藍(lán)球；

甲盒中剩余m-1個(gè)紅球，n個(gè)藍(lán)球，乙盒中剩余m-1個(gè)紅球，n個(gè)藍(lán)球.此時(shí)從甲盒中取一個(gè)球是紅球的概率等于從乙盒中取一個(gè)球是紅球的概率，

(3)從甲盒中取一個(gè)藍(lán)球，從乙盒中取一個(gè)紅球；

甲盒中剩余m個(gè)紅球，n-1個(gè)藍(lán)球，乙盒中m-2個(gè)紅球，n+1個(gè)藍(lán)球.此時(shí)從甲盒中取一個(gè)球是紅球的概率大于從乙盒中取一個(gè)球是紅球的概率，

(4)從甲盒中取一個(gè)藍(lán)球，從乙盒中取一個(gè)藍(lán)球；

甲盒中剩余m個(gè)紅球，n-1個(gè)藍(lán)球，乙盒中m-1個(gè)紅球，n個(gè)藍(lán)球.此時(shí)從甲盒中取一個(gè)球是紅球的概率大于從乙盒中取一個(gè)球是紅球的概率，

綜上所述，第一次從甲乙兩個(gè)盒子中各取1個(gè)球進(jìn)行交換后，第二次從甲乙兩個(gè)盒子中各取1個(gè)球(排除第一次交換的球)，從甲盒中取一個(gè)球是紅球的概率不小于從乙盒中取一個(gè)球是紅球的概率，因此我們有結(jié)論p2Eξ1.