許世雄+奎霞

[摘 要]隨著數(shù)學在現(xiàn)代社會中扮演的角色越來越重要，數(shù)學早已不再僅僅是數(shù)學家、工程師們必須具備的專業(yè)知識。普通人要適應(yīng)現(xiàn)代社會的發(fā)展，也要具備基本的數(shù)學素養(yǎng)。通過分析數(shù)學素養(yǎng)的內(nèi)涵，并與PISA對數(shù)學素養(yǎng)的理解與評價標準進行對比，發(fā)現(xiàn)目前我國數(shù)學教育的進步與不足，并從PISA中取長補短。

[關(guān)鍵詞]PISA；數(shù)學素養(yǎng)；比較研究；數(shù)學教育

數(shù)學素養(yǎng)一詞，可能對很多數(shù)學教師而言比較新鮮。但實際上，數(shù)學素養(yǎng)一詞由來已久。早在1956年10月，《數(shù)學通報》刊登的一篇蘇聯(lián)文獻的譯稿中，就出現(xiàn)了數(shù)學素養(yǎng)一詞[1]。1987年，全國教育工作會議召開，會后頒布了《中共中央關(guān)于教育體制改革的決定》，明確提出“教育體制改革的根本目的是提高民族素質(zhì)”。隨著素質(zhì)教育的推行，之前的課程標準、教學大綱中多次出現(xiàn)“數(shù)學素質(zhì)”，而“數(shù)學素養(yǎng)”一詞盡管也會出現(xiàn)在《數(shù)學教學》期刊（1982年第6期）上，但并未引起教育界的共鳴。起初，國內(nèi)學者大多認為數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學素質(zhì)是同義詞。更由于素質(zhì)教育的推行，直到20世紀末，“數(shù)學素質(zhì)”在文獻中出現(xiàn)的頻率遠高于“數(shù)學素養(yǎng)”。但隨著素養(yǎng)教育的不斷推進和研究的深入，學者們開始認為數(shù)學素質(zhì)和數(shù)學素養(yǎng)兩詞在內(nèi)涵上有很大區(qū)別。學者們認為素質(zhì)的形成必須建立在先天基因的基礎(chǔ)上，而素養(yǎng)主要是通過后天的培養(yǎng)和練習能夠獲得的知識、技能、技巧等經(jīng)驗系統(tǒng)。從教育的角度看，培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)更符合數(shù)學教育的目的。數(shù)學素養(yǎng)其“養(yǎng)”字更具有動態(tài)的特征，更能體現(xiàn)出現(xiàn)代社會對教育的要求和對個人能力的要求[2]。因此，數(shù)學素養(yǎng)一詞逐漸被人們所接受，有關(guān)數(shù)學素養(yǎng)的文獻也越來越多，并出現(xiàn)在綱領(lǐng)性文件中。有一個典型的例子，以前教育部頒布的義務(wù)教育數(shù)學課程標準與普通高中數(shù)學課程標準中，幾乎沒有提到過“數(shù)學素養(yǎng)”，用的都是“數(shù)學素質(zhì)”一詞；而在《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中四次提到數(shù)學素養(yǎng)，數(shù)學素質(zhì)一詞則沒有出現(xiàn)；《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》中九次提到數(shù)學素養(yǎng)，只有開頭提到數(shù)學素質(zhì)一次[3][4]。

從1997年開始，經(jīng)濟發(fā)展與合作組織（OECD）發(fā)起了國際學生評估項目（PISA），目的是測評在即將完成義務(wù)教育時，各國學生掌握全面參與社會所需要的終身學習能力的程度，其中就有對數(shù)學素養(yǎng)的評估。PISA的數(shù)學素養(yǎng)測試，得到了我國廣大學者的肯定。國內(nèi)很多學者均表示，我國的數(shù)學教育有很多地方可以借鑒PISA。PISA測試每三年進行一次，中國的香港、澳門、臺灣第一次參加的PISA測試分別是PISA2000、PISA2003和PISA2006。上海2009年開始參加PISA測試，并在PISA2009、PISA2012兩次測試中的數(shù)學素養(yǎng)成績位列全球第一，在國內(nèi)外引起了強烈的反響[5]。

一、數(shù)學素養(yǎng)內(nèi)涵的差異

在我國，對數(shù)學素養(yǎng)內(nèi)涵的界定一直沒有統(tǒng)一，在最新的教育部課程標準中也沒有具體給出數(shù)學素養(yǎng)的明確定義。我國早期關(guān)于數(shù)學素養(yǎng)的研究中，王子興等學者把數(shù)學素養(yǎng)界定為人的一種穩(wěn)定狀態(tài)，數(shù)學素養(yǎng)是一種知識或素質(zhì)[6]。此時的數(shù)學素養(yǎng)是一維概念。以后，劉俊先等學者把數(shù)學素養(yǎng)理解為人們靈活應(yīng)用數(shù)學的理論與方法，觀察、分析、解決問題的能力[7]。此時，數(shù)學素養(yǎng)是“能力+能力”或者“知識+能力”，表現(xiàn)為二維概念。隨著研究的深入，人們開始把數(shù)學素養(yǎng)理解為知識、能力、情感與其他因素的統(tǒng)一體。此時的數(shù)學素養(yǎng)是多維的[8]，并與新課程標準的三維目標（知識與技能、過程與方法、情感、態(tài)度與價值觀）一致。目前，《上海市中小學數(shù)學課程標準（試行稿）》是國內(nèi)唯一對數(shù)學素養(yǎng)給出專門定義的文件，文件中指出：數(shù)學素養(yǎng)是人們通過數(shù)學教育以及自身的事件和認識活動所獲得的數(shù)學基本知識、基本技能、數(shù)學思想和觀念，以及由此形成的數(shù)學思維品質(zhì)和解決問題能力的總和[9]。可以看出，隨著國內(nèi)學者對數(shù)學素養(yǎng)研究的不斷深入，對數(shù)學素養(yǎng)內(nèi)涵的界定不只關(guān)注數(shù)學知識和數(shù)學技能，也開始關(guān)注個人的情感，體現(xiàn)了我國教育在人文關(guān)懷方面的巨大進步。

PISA2003、PISA2006與PISA2009三次測試對數(shù)學素養(yǎng)所下的一致定義是：數(shù)學素養(yǎng)是個體識別與理解數(shù)學在世界中所起作用的能力，作出有根據(jù)的數(shù)學判斷的能力，以及作為一個關(guān)心社會、善于思考的公民，為了滿足個人生活需要而使用和從事數(shù)學活動的能力[10]。在PISA2012測試中，數(shù)學素養(yǎng)作為重點測試項目，對其界定發(fā)生了一些改變，指個體在各種背景下進行數(shù)學表述、數(shù)學運用和數(shù)學闡釋的能力。它包括數(shù)學式的推理，以及使用數(shù)學概念、步驟、事實和工具來描述、解釋與預(yù)測現(xiàn)象。它幫助個體認識數(shù)學在現(xiàn)實世界中所起的作用，做出有根據(jù)的判斷和決策，以成為具有建設(shè)性、參與意識和反思能力的公民。

從比較中可以發(fā)現(xiàn)，我國教育者對數(shù)學素養(yǎng)的認識越來越深入，數(shù)學素養(yǎng)的內(nèi)涵越來越廣，維度越來越多。但從始至終都更強調(diào)數(shù)學基礎(chǔ)知識與基本技能的重要性，沒有把解決實際問題的能力放在首要位置上。而PISA數(shù)學素養(yǎng)是建立在終身學習的動態(tài)學習基礎(chǔ)上的，與“養(yǎng)”字的動態(tài)性相對應(yīng)，關(guān)注數(shù)學的學以致用和將來進入社會的可持續(xù)發(fā)展。PISA數(shù)學素養(yǎng)并非狹義的“數(shù)學知識”，與傳統(tǒng)教學相比，PISA關(guān)注“現(xiàn)實生活中的數(shù)學”，并非“離開生活的抽象數(shù)學”，讓學生體會到數(shù)學的工具性作用。

二、數(shù)學測試的不同

我國基礎(chǔ)教育中的中考或平時測試比較關(guān)注學生對課堂內(nèi)容的學習，重點考查學生的數(shù)學知識和數(shù)學技能。因此，測試卷中每一題的考查目標都能在考試大綱中找到與之相對應(yīng)的條目。解題的已知條件是充足的，但基本都是不多不少，通常學生要用完所有的已知條件才能解出試題。測試中很少有以現(xiàn)實生活為背景的題目，大多數(shù)都是“脫離生活的抽象數(shù)學”。雖然數(shù)學測試題中有應(yīng)用題，但應(yīng)用題有標準答案，對學術(shù)情境關(guān)注太多，應(yīng)用題不是開放題，而是封閉題[11]。測試中的難題充斥著大量的數(shù)學計算和數(shù)學解題技巧。

PISA測試更關(guān)注學生在應(yīng)用數(shù)學解決實際問題時的潛力，以及由問題所激發(fā)出的綜合應(yīng)用知識的能力。PISA數(shù)學素養(yǎng)測試中的有些內(nèi)容是教科書以外的知識，測試題分為多項選擇題、封閉題、開放題三類[12]。開放題占據(jù)了總題目的1/3。PISA所有數(shù)學測試題都是以實際生活為背景，學生若想解決這些數(shù)學問題，必須將實際問題“數(shù)學化”，這與PISA對數(shù)學素養(yǎng)的理解相符合。endprint

三、數(shù)學評價的不同

我國對學生數(shù)學學習的評價，通常是在學生試卷上找到學生解題答案與標準答案之間的不同，發(fā)現(xiàn)他們的不足，并用分數(shù)的形式體現(xiàn)出來。但對于那些區(qū)分學生思維層次的問題，又經(jīng)常一刀切，對于解題過程嚴格按步驟評分。這樣的評價往往更注重的是學生獲得的答案是否正確，而不是怎樣獲得答案的。

PISA評卷把學生的數(shù)學解題過程分為三個維度，即內(nèi)容、過程、情境，在這些維度的基礎(chǔ)上劃分不同的能力水平。這樣做，可以有層次地區(qū)分學生的思維能力，努力發(fā)掘?qū)W生解答中所蘊含的合理成分。甚至當學生回答的內(nèi)容與題目不相關(guān)，但是卻不互相矛盾時，也可以得到分數(shù)。這種激勵性的、發(fā)現(xiàn)亮點的評價原則，值得借鑒。PISA將學生的數(shù)學素養(yǎng)總成績及各維度上的成績與學生的個人特征數(shù)據(jù)（如數(shù)學自我效能感、數(shù)學焦慮等）以及學校內(nèi)外影響他們學習的關(guān)鍵因素（如家庭經(jīng)濟條件等）聯(lián)系起來進行綜合評價，考慮個體差異，使教育評價更加公平[13]。

四、PISA對我國數(shù)學測試的啟示

在我國，許多學生都會表現(xiàn)出這樣一種情況，即考試題目會做，但將同樣的題目放在生活中卻不知從何下手[14]。這其中一個重要原因就是試題中缺乏與實際生活的聯(lián)系，而且試題對學生的生活實踐很少有預(yù)見性的價值。我國的數(shù)學測試題基本都是封閉題，很難找到開放題，這使學生思維的靈活性受到較大限制。又因為測試題大多無背景，所考查的內(nèi)容也與學生的實際生活聯(lián)系不多。長此以往，會使學生對數(shù)學的實用性產(chǎn)生懷疑，與國際上著眼于終身可持續(xù)發(fā)展教育的觀念不相符合。因此，可在數(shù)學測試中增加以實際生活為背景的數(shù)學題，以及能讓學生充分地發(fā)散思維、發(fā)揮自己數(shù)學能力的開放題。這樣不但與國內(nèi)新課標的理念相契合，也符合國際發(fā)展趨勢。

五、PISA對我國數(shù)學評價的啟示

PISA數(shù)學素養(yǎng)對有些測試結(jié)果的評價，不是簡單地給學生一個分數(shù)進行認定，而是用代碼區(qū)分學生通過不同思維得出的答案，即便學生們最終的答案都是同樣正確的，但因所用方法不同也會得到不同的代碼，從而區(qū)分出學生們對同一問題的不同思考方式。并且在評價時，對每位學生的水平會進行分層，以便更細致地考查學生的數(shù)學能力。

我國常用的數(shù)學評價，通常在比較了學生答案與參考答案的不同后，會以分數(shù)的形式簡單地呈現(xiàn)出來，對學生數(shù)學能力進行籠統(tǒng)的肯定或者否定，這種過于概括的做法，忽略了學生的數(shù)學思考過程，容易打擊學生學習的積極性。教育者應(yīng)使評價成為“水泵”，而不是“篩子”，即讓教育評價通過反饋功能促進教育改良，而不是成為淘汰學生的工具。并且數(shù)學評價也應(yīng)該是多維的，應(yīng)關(guān)注學生的個性化發(fā)展和創(chuàng)造性表現(xiàn)，不應(yīng)只單純地考慮學生的數(shù)學成就（主要表現(xiàn)為考試分數(shù)），也應(yīng)考慮到學生的個體差異帶來的影響（如家庭背景等社會因素的影響）。在新課程的三維目標評價中，“過程與方法”“情感、態(tài)度與價值觀”是評價的難點，我們可以從PISA數(shù)學素養(yǎng)評價中得到一定的啟示和借鑒[10]。因此，如何改進我國傳統(tǒng)的評價方式，在評價中增加與學生的互動，從而充分發(fā)揮評價對教學的反饋與診斷功能，是今后廣大教育工作者的一個研究重點。

六、上海PISA連勝對我國數(shù)學教育的啟示

2009年，首次參加PISA測試的上海在閱讀、數(shù)學、科學領(lǐng)域的成績都位列全球第一，并在PISA2012中蟬聯(lián)三項冠軍。國外媒體除了震驚之余，也發(fā)出了不同的聲音，其中有許多消極的評論，如質(zhì)疑抽樣的可靠性，認為中國學生成績好的代價是課業(yè)負擔過重，中國學生缺少創(chuàng)造力等。同時，也有不少積極的聲音，如贊嘆上海教育質(zhì)量高，上海課改成功等。無論是積極的評論還是消極的評論，我們都應(yīng)辯證地看待。雖然很多外媒對中國學生的印象仍是只會死記硬背，但是包括OECD秘書長安赫爾·古里亞和學者安德里亞斯·施萊歇爾等權(quán)威人士都批評了這種刻板印象。他們認為，上海很多學生都表現(xiàn)出很強的在新情境中應(yīng)用知識并解決實際問題的能力，不只會死記硬背[15]。但我國其他很多地方的中小學數(shù)學教育，仍是以讓學生大量記憶、做練習題為主。這種機械式的訓(xùn)練，只會讓學生變成“解題機器”。在這一方面，應(yīng)該學習和借鑒上海的數(shù)學教育。但是，上海PISA測試也暴露出了一些問題，并且也是中國數(shù)學教育中有一定代表性的問題。如參與數(shù)學課外補習能帶來顯著的數(shù)學成績提升，但是來自不同家庭經(jīng)濟社會地位的學生參與課外補習的機會存在較大差異[16]；數(shù)學課業(yè)負擔重，課外作業(yè)較多；在校授課時間長[17]等。作為數(shù)學教育工作者，必須直面這些問題，并努力嘗試通過實踐解決這些問題。

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（責任編輯 郭向和）endprint