董佳毅??
摘要:數(shù)學(xué)模型離不開應(yīng)用場(chǎng)景,是構(gòu)建應(yīng)用場(chǎng)景和數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間聯(lián)系的有效方法。本文首先探討了初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)模型應(yīng)用存在的問(wèn)題,并以具體的教學(xué)活動(dòng)和數(shù)學(xué)模型應(yīng)用為案例,探討了初中數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)方法和應(yīng)用方式,為初中數(shù)學(xué)科目教學(xué)中數(shù)學(xué)模型思想的應(yīng)用提供資料參考。
關(guān)鍵詞:初中;數(shù)學(xué)模型;解決;實(shí)際問(wèn)題
構(gòu)建初中數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題,一直是初中數(shù)學(xué)科目教師教學(xué)與教研活動(dòng)開展的重點(diǎn)。但由于初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用對(duì)教師的專業(yè)化水平有較高要求,因而教師在具體的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用中仍然存在著一些問(wèn)題。如何解決這些問(wèn)題,運(yùn)用好數(shù)學(xué)模型這一有效的工具,成為廣大初中數(shù)學(xué)教師重點(diǎn)研究和實(shí)踐的課題。
一、 數(shù)學(xué)模型運(yùn)用在初中數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)問(wèn)題
(一) 對(duì)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用不夠重視
數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)科目的核心方法,在教學(xué)活動(dòng)中運(yùn)用好數(shù)學(xué)模型,能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際建立聯(lián)系,提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)科目的學(xué)習(xí)興趣。雖然數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用在新課標(biāo)中予以明確標(biāo)出,但部分教師仍然固守應(yīng)試教育的思想,忽視了對(duì)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用。這是由于數(shù)學(xué)模型在教學(xué)活動(dòng)中的應(yīng)用,需要教師靈活地運(yùn)用教學(xué)資源。但如果能夠應(yīng)用好數(shù)學(xué)模型,則不會(huì)出現(xiàn)這一問(wèn)題,因而數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用,對(duì)教師的教學(xué)能力、課堂設(shè)計(jì)能力和教學(xué)資源調(diào)用能力提出了挑戰(zhàn)。
(二) 沒(méi)有發(fā)揮數(shù)學(xué)模型的發(fā)散性和拓展性
數(shù)學(xué)模型作為數(shù)學(xué)科目的基礎(chǔ)工具,是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的模板。正因如此,數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用,要求教師能夠?qū)⑵渑c學(xué)過(guò)的其他知識(shí)建立聯(lián)系,通過(guò)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用,來(lái)拓展課堂教學(xué)的廣度和寬度。很多教師在應(yīng)用數(shù)學(xué)模型中,不重視對(duì)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用拓展,雖然在教學(xué)過(guò)程中,使用了數(shù)學(xué)建模的思想,但對(duì)于得到的數(shù)學(xué)模型,卻并沒(méi)有進(jìn)行變式拓展訓(xùn)練。這雖然實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想的滲透,但卻沒(méi)有讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何靈活地應(yīng)用數(shù)學(xué)模型,導(dǎo)致建模思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中所發(fā)揮的作用受到限制,影響了對(duì)學(xué)生應(yīng)用能力的提高。
(三) 教學(xué)資源不符合學(xué)生的生活實(shí)際
想要有效地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)科目學(xué)習(xí)興趣,就要從學(xué)生的生活實(shí)踐出發(fā),選取與學(xué)生息息相關(guān)的教學(xué)資源,并以此為基礎(chǔ),構(gòu)建數(shù)學(xué)模型思想的教學(xué)過(guò)程。但部分教師在日常教學(xué)中,卻習(xí)慣拿來(lái)主義,對(duì)于建模所使用的例題、場(chǎng)景沒(méi)有仔細(xì)斟酌,這導(dǎo)致很多建模的場(chǎng)景與學(xué)生的生活實(shí)踐相去甚遠(yuǎn)。例如,在幾何最短距離模型中,采用了小馬飲水過(guò)河的場(chǎng)景,雖然這一場(chǎng)景有一定的童趣性,但城市中的學(xué)生普遍對(duì)小馬飲水和小馬過(guò)河的場(chǎng)景不敏感。如果教師能夠適當(dāng)改變場(chǎng)景,將其轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生買玩具、去少年宮等場(chǎng)景,必然能夠極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。這種死板的套用經(jīng)典教學(xué)情境的情況十分普遍,不利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,也無(wú)助于激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的了解。
二、 構(gòu)建初中數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題例題與研析
初中數(shù)學(xué)科目中所應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型,可以分為方程和方程組模型、函數(shù)模型、不等式和不等式組模型、概率和統(tǒng)計(jì)模型、幾何模型幾種經(jīng)典模型,在具體的教學(xué)活動(dòng)中,教師一定要選擇好模型的應(yīng)用場(chǎng)景,使建模的場(chǎng)景更貼近學(xué)生的生活,從而培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
(一) 方程和方程組模型
方程和方程組模型在日常生活中十分常見(jiàn),在學(xué)生的實(shí)際生活中應(yīng)用得也比較廣泛。想要提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力,教師就要?jiǎng)?chuàng)設(shè)符合學(xué)生的生活化情境,并以此為基礎(chǔ)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建方程和方程組模型。只有這樣,才能有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,才能讓學(xué)生樂(lè)于對(duì)數(shù)學(xué)模型在實(shí)際生活中的應(yīng)用展開探究。
例題:(2007年某市中考試題)A、B兩地相距18公里,甲工程隊(duì)要在A、B兩地間鋪設(shè)一條輸送天然氣管道,乙工程隊(duì)要在A、B兩地間鋪設(shè)一條輸油管道.已知甲工程隊(duì)每周比乙工程隊(duì)少鋪設(shè)1公里,甲工程隊(duì)提前3周開工,結(jié)果兩隊(duì)同時(shí)完成任務(wù),求甲、乙兩工程隊(duì)每周各鋪設(shè)多少公里管道?
變式:學(xué)校新建設(shè)了一條200米的標(biāo)準(zhǔn)跑道,同學(xué)們都喜歡到跑道上慢跑鍛煉身體。小明和小紅一起在跑道上運(yùn)動(dòng)。已知小明作為運(yùn)動(dòng)健將,每秒鐘比小紅多跑5米,但小紅比小明提前5秒開跑,小紅和小明同時(shí)到達(dá)終點(diǎn),問(wèn)小紅和小明每秒跑多少米。
例題是某市的中考題,該題目作為經(jīng)典題目,題目的場(chǎng)景為工程隊(duì)施工。這一場(chǎng)景雖然在數(shù)學(xué)題目中比較常見(jiàn),但卻不適用于教學(xué)活動(dòng),這是由于這一場(chǎng)景對(duì)于中學(xué)生而言,過(guò)于遙遠(yuǎn),無(wú)法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。而變式,將題目的場(chǎng)景轉(zhuǎn)化為小紅和小明慢跑的場(chǎng)景,這種運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)景同學(xué)們?cè)谌粘I钪薪?jīng)常遇到,并且同學(xué)之間也有讓跑得慢的同學(xué)先跑、跑得快的同學(xué)后追的游戲,因而變式更加適用于在教學(xué)中應(yīng)用,而對(duì)于例題的工程隊(duì)伍施工的場(chǎng)景,可以在運(yùn)用變式完成數(shù)學(xué)建模過(guò)程教學(xué)后,用于數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用拓展訓(xùn)練。
(二) 函數(shù)模型
例題:(2007年貴州某市中考試題)某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價(jià)為40元的蘋果,物價(jià)部門規(guī)定每箱售價(jià)不得高于55元。市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),若每箱以50元的價(jià)格銷售,平均每天銷售90箱,價(jià)格每提高1元,平均每天少銷售3箱。
(1) 求平均每天銷售量y(箱)與銷售價(jià)x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式。
(2) 求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤(rùn)w(元)與銷售價(jià)x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式。
(3) 當(dāng)每箱蘋果的銷售價(jià)為多少元時(shí),可以獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?
變式:學(xué)校小超市為了給學(xué)生補(bǔ)充營(yíng)養(yǎng),采購(gòu)了一批單價(jià)為4元的果奶產(chǎn)品,該產(chǎn)品計(jì)劃售價(jià)不高于5.5元。通過(guò)調(diào)查分析,如果每瓶果奶以5元的價(jià)格銷售,那么平均每天能賣出90瓶,價(jià)格每提高1元,則每天少銷售3瓶。
(1) 求平均每天的銷售量y(瓶)與銷售價(jià)x(元/瓶)之間的函數(shù)關(guān)系式。
(2) 求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤(rùn)w(元)與銷售價(jià)x(元/瓶)之間的函數(shù)關(guān)系式。endprint
(3) 當(dāng)牛奶的銷售價(jià)為多少元時(shí),可以獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?
例題中所給出的場(chǎng)景為水果店批發(fā)水果,雖然該場(chǎng)景學(xué)生也會(huì)遇到,但由于水果批發(fā)、公路建設(shè)、路程問(wèn)題等,學(xué)生在習(xí)題中經(jīng)常遇見(jiàn),對(duì)于此類問(wèn)題已經(jīng)麻木。恰逢學(xué)校校內(nèi)超市新進(jìn)了一批果奶,這種果奶口味很受學(xué)生歡迎,我在教學(xué)中就將上述水果批發(fā)的場(chǎng)景,更換為與學(xué)生生活相關(guān)的學(xué)校超市果奶采購(gòu)和銷售的場(chǎng)景。由于果奶學(xué)生經(jīng)常買來(lái)喝,甚至當(dāng)天在學(xué)生書桌上還擺著幾瓶沒(méi)喝完的果奶,因而該場(chǎng)景成功地激發(fā)了學(xué)生的探究興趣,極大地提高了教學(xué)效率,鍛煉了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
(三) 幾何模型
例題:如圖,在直角梯形ABCD中,已知AD=3,BF⊥DC,∠CBF=30°,求邊DC的長(zhǎng)度。
變式:學(xué)校東北角要安裝運(yùn)動(dòng)器械,計(jì)劃砍掉一棵樹AB,在地面上事先劃定以點(diǎn)B為圓心,半徑與AB等長(zhǎng)的圓形危險(xiǎn)區(qū)域,某工人站在距離B點(diǎn)3米遠(yuǎn)的排球評(píng)分臺(tái)CD頂點(diǎn),在C處測(cè)得樹頂端A的仰角為60°,樹的底部俯角為30°。問(wèn)距離B點(diǎn)8米的同學(xué)是否在危險(xiǎn)區(qū)域內(nèi)。
例題是一道比較經(jīng)典的梯形求邊的幾何題目,這個(gè)題目同學(xué)在習(xí)題中經(jīng)常遇見(jiàn)。但該題目作為數(shù)學(xué)模型,其抽象性較強(qiáng),如果教師在教學(xué)中,僅僅是以數(shù)學(xué)模型的方式教學(xué),無(wú)法實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何運(yùn)用幾何模型解決實(shí)際問(wèn)題。筆者以學(xué)校最近的伐樹工作為案例,將該題目變式為相關(guān)于校園伐樹,求安全距離的場(chǎng)景。該場(chǎng)景涉及學(xué)生的安全,并且源自于校園最近發(fā)生的事情,因而能夠有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。該變式趣味性強(qiáng),情境性高,因而在教學(xué)中的應(yīng)用,讓同學(xué)們把握了幾何模型與生活實(shí)際之間的聯(lián)系,提高了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
綜上所述,初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)模型的具體應(yīng)用中,教師一定要確保對(duì)教學(xué)情境的選擇和應(yīng)用,符合學(xué)生的生活實(shí)際。只有這樣,才能最大化地發(fā)揮模型思想的作用,才能激發(fā)學(xué)生的探究積極性,讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何使用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的目的。
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