聶晶品++陸廣地

摘 要：復(fù)數(shù)的概念（第一課時）關(guān)鍵問題是：為什么引入復(fù)數(shù)、怎么引入復(fù)數(shù)（虛數(shù)單位i的引入）、什么是復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)怎么分類，從教材結(jié)構(gòu)分析教材是按照關(guān)鍵問題呈現(xiàn)，但復(fù)數(shù)比之前學(xué)過的數(shù)更抽象，尤其是虛數(shù)單位i引入，會引發(fā)學(xué)生認(rèn)知上沖突、心理上排斥，如果在教學(xué)中按部就班呈現(xiàn)，使得數(shù)學(xué)課堂顯得“冰冷”，失去讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)感性一面，本文展示從研究歷史來更好地理解概念，在教學(xué)中更好地讓學(xué)生體會概念產(chǎn)生“火熱”一面。

關(guān)鍵詞：復(fù)數(shù)的概念 數(shù)系擴充史 教學(xué)感悟

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）09（b）-0124-02

《復(fù)數(shù)的概念》是五年制高職《數(shù)學(xué)（第四冊）》第17章復(fù)數(shù)及其應(yīng)用的起始課，教材章首語簡要說明虛數(shù)引入是由解方程產(chǎn)生，并簡要介紹復(fù)數(shù)在一些實踐應(yīng)用。對復(fù)數(shù)的概念（第一課時）關(guān)鍵問題是：為什么引入復(fù)數(shù)、怎么引入復(fù)數(shù)、什么是復(fù)數(shù)（虛數(shù)單位i的引入）、復(fù)數(shù)怎么分類，分析教材中復(fù)數(shù)概念呈現(xiàn)方式：復(fù)數(shù)產(chǎn)生背景→探究歷史名題→介紹虛數(shù)i→復(fù)數(shù)的相關(guān)概念→思考交流→對概念理解應(yīng)用。教材是按照關(guān)鍵問題呈現(xiàn)，但復(fù)數(shù)概念比較抽象，尤其是虛數(shù)單位i引入，會引發(fā)學(xué)生認(rèn)知上沖突，筆者在實際教學(xué)中嘗試引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)系擴充史來引入復(fù)數(shù)的概念。

1 研究歷史理解概念

從歷史發(fā)展來看，早在公元3世紀(jì)，丟番圖在《算術(shù)》中就遇到了二次方程無解的問題，但此后的數(shù)學(xué)家都一致認(rèn)為當(dāng)判別式小于零時方程是無解的。復(fù)數(shù)歷史的真正開端是16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡丹在解決著名問題：“將10分成兩部分，使它們的乘積等于40”時首次給出了形如“5+和5-兩個解，但他認(rèn)為這是不可能的情形。二十幾年以后，另一位意大利數(shù)學(xué)家邦貝利解三次方程時也發(fā)現(xiàn)一組“不可能的情形”這令邦貝利非常吃驚。為了更進(jìn)一步探索，他提出設(shè)想解決了矛盾，還由此給出了虛數(shù)運算法則。但是，邦貝利的發(fā)現(xiàn)并沒有改變虛數(shù)的“命運”，直到德國著名數(shù)學(xué)家萊布尼茨在研讀邦貝利的《代數(shù)學(xué)》一書時，對邦貝利的討論并不滿意，因此對其進(jìn)行了更加深入的研究時，又一次遇到了“不可能”的情形，隨后，萊布尼茨利用上述方法從理論上證明了卡丹公式在“不可能”的情形下也是成立的，虛數(shù)并不是求根的障礙。

研究歷史，能使我們對虛數(shù)單位的產(chǎn)生過程獲得深刻認(rèn)識，歷史上數(shù)學(xué)家并不是直接面對x2=-1來擴充實數(shù)系的，而是因注意到兩個數(shù)的和的存在讓我們沒有理由去懷疑兩個加數(shù)的存在，于是只有一種可能，那就是還存在除了實數(shù)之外的數(shù)。這促使數(shù)學(xué)家們創(chuàng)造出了虛數(shù)單位i，這也是數(shù)學(xué)家研究動機的源頭。

2 歷史讓概念不再冰冷教學(xué)實踐

張奠宙教授指出，一般把數(shù)學(xué)成果分為3種不同的形態(tài)：第一種是數(shù)學(xué)家建構(gòu)數(shù)學(xué)思想、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理時的原始形態(tài)；第二種是公開發(fā)表的，寫在論文里、教科書上的學(xué)術(shù)形態(tài)；第三種是數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中的教育形態(tài)。對于數(shù)學(xué)教師，其主要責(zé)任是如何把數(shù)學(xué)的原始形態(tài)、學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生容易理解的教育形態(tài)，以揭示“冰冷美麗”背后“火熱的思考”的數(shù)學(xué)本質(zhì)”[2]。筆者通過研究歷史對復(fù)數(shù)概念引入設(shè)計了如下問題情境。

問題1：回顧將10分成兩部分，使得二者的乘積為40，求這兩個數(shù)。

問題2：思考這問題在實數(shù)范圍無解，但卻存在這兩數(shù)的和、積是確實的實數(shù)，請大家思考這意味著什么？

教師引導(dǎo)學(xué)生研究上述兩問題本質(zhì)是揭示引入新數(shù)必要性，上述兩問題解決了為什么引入復(fù)數(shù)。緊接是怎樣引入復(fù)數(shù)，實質(zhì)是讓學(xué)生理解對虛數(shù)單位i引入必要性。

以下是虛數(shù)單位i的引入的教學(xué)實錄。

師：實際從數(shù)系擴充史中我們不難發(fā)現(xiàn)這樣現(xiàn)象，當(dāng)生活中和數(shù)學(xué)內(nèi)部出現(xiàn)原有數(shù)系無法表達(dá)數(shù)時，我們會引入一個新的數(shù)……（數(shù)的發(fā)展回顧與小結(jié)）

師：現(xiàn)在，我們回到剛才的問題存在這兩數(shù)的和、積是確實的實數(shù)，而解方程時卻發(fā)現(xiàn)這樣問題沒有實數(shù)解，這個問題如何解決呢？

生1：說明應(yīng)該引入一個新數(shù)。

師：什么新數(shù)？（用什么表示）

生：……

師：上述問題簡單化實質(zhì)是一個什么樣數(shù)平方后是負(fù)數(shù)？（看學(xué)生反應(yīng)）

師：轉(zhuǎn)化式子是？2=-4，？2=-9，？2=-100，…。要是一個新數(shù)平方為這樣負(fù)數(shù)，如果我們每個式子創(chuàng)造一個新數(shù)是不可能，我們想如何找到這些問題的共同點？

生：……

生2：就是要使這個數(shù)的平方等于-1。（但不知用什么表示好）

師：為什么把上述式子歸結(jié)為？2=-1？

生2：？2=-1×4，？2=-1×9，？2=-1×100，…，只要引入一個新數(shù)，使得新數(shù)的平方等于-1，這些式子就都可表示，只是這樣數(shù)怎么表示不知道。

師：很好，這也是16世紀(jì)數(shù)學(xué)家思考過問題（PPT顯示：數(shù)學(xué)家歐拉用i表示這個數(shù)。數(shù)學(xué)史料及時介入）；現(xiàn)在，我們知道-1可以開平方根了，-1的平方根是多少？

生3：i（-i稍后得出，開始學(xué)生不知道有）。

師：也就是說-1的平方根為±i，或說方程x2=-1，x=±i。

師：回到前面的問題，如x2=-4，則x=？

生4：x=2i。

師：是2i？

生5：還有-2i。

師：對，由此可看出虛數(shù)單位i可以與實數(shù)2相乘。

師：虛數(shù)單位i不僅與實數(shù)可以相乘，而且也可與實數(shù)進(jìn)行加減乘除四則運算，實數(shù)與虛數(shù)單位i的基本的乘法與加法運算自然就產(chǎn)生了一個新的數(shù)——復(fù)數(shù)。（隨后引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)什么是復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)概念應(yīng)用）

3 教學(xué)反思

借助數(shù)學(xué)史中名題：兩個數(shù)的和積存在這兩個數(shù)怎能不存在，教師抓住時機讓學(xué)生在自由言說中發(fā)現(xiàn)引入新數(shù)的必要性，這是本次課難點也是本次課亮點地方，教師這樣做對于突破教學(xué)難點起到了很大的作用，同時讓學(xué)生看到了數(shù)學(xué)是充滿生機和不斷發(fā)展的，這是本次課的亮點地方。

基于歷史的概念教學(xué)不僅讓數(shù)學(xué)知識不再冰冷，還能培育學(xué)生核心價值觀。中共18大以來，社會主義核心價值觀是當(dāng)前中國文化的主流要求，各級部門要求將其貫穿到社會的所有部分，當(dāng)然應(yīng)該在教育的整個過程體現(xiàn)。數(shù)學(xué)文化用文化的力量調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，用科學(xué)的價值啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神，用先進(jìn)思想培育學(xué)生的情操，用人文情懷影響學(xué)生的正確觀念，用數(shù)學(xué)史（包含中國數(shù)學(xué)史）中代表性人物與思想熏陶學(xué)生的核心素養(yǎng)。這些都與核心價值觀的要求無論在外在目的與內(nèi)在的重心是一致的。

參考文獻(xiàn)

[1] 張奠宙.微積分教學(xué)：從冰冷的美麗到火熱的思考[J].高等數(shù)學(xué)研究，2006（2）：2.

[2] 張奠宙.關(guān)于數(shù)學(xué)知識的教育形態(tài)[J].數(shù)學(xué)通報，2001（4）：2.

[3] 陳鋒，薛鶯.從課堂“微探究”談初中數(shù)學(xué)有效教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2013（4）：10.

[4] 張奠宙，張蔭南.新概念用問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)教學(xué)[J].高等數(shù)學(xué)教育，2004，7（3）：8-10.endprint