王曉秋

摘要：用實(shí)例將“變式”解題用在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，充分體現(xiàn)它的簡(jiǎn)捷性與容易性。變式在概念教學(xué)中的可逆性、簡(jiǎn)潔性、由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的相互轉(zhuǎn)化思想。

關(guān)鍵詞：變式；簡(jiǎn)捷；教學(xué)；數(shù)形結(jié)合；特殊到一般

G633.6

對(duì)于具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解題過(guò)程中感到非常困難或者無(wú)法可解時(shí)，不妨把給出的條件或結(jié)論作某些變化，達(dá)到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的目的。“變式”就是從特殊變到一般，從較復(fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)單，從抽象變到具體，從整體變化回到局部或保持特征的最簡(jiǎn)單方式。先從簡(jiǎn)單入手，再處理較為特殊的問(wèn)題，并歸納，聯(lián)想“數(shù)”“形”結(jié)合，解決一般性問(wèn)題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中“變”是絕對(duì)的，“不變”是相對(duì)的，萬(wàn)事萬(wàn)物在變化中進(jìn)步，在變化中成長(zhǎng)。數(shù)學(xué)問(wèn)題中的“變”是奇妙無(wú)窮的，處處體現(xiàn)“變”之容易，“變”之簡(jiǎn)捷?，F(xiàn)以實(shí)例說(shuō)“變式”在解題中的“簡(jiǎn)捷”。

一、注重概念、定理、公式的教學(xué)。

首先，數(shù)學(xué)概念、法則、性質(zhì)、定理常常具有可逆性，例如七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)由“正數(shù)”逆變提出“負(fù)數(shù)”的概念；有理數(shù)的減法法則可由加法法則轉(zhuǎn)變；去括號(hào)法則逆變出添括號(hào)法則；在冪的運(yùn)算性質(zhì)中，有（ab）n=anbn （a、b為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)）。下面計(jì)算（ ）2003·（ ）2004。對(duì)于有些學(xué)生來(lái)說(shuō)就比較困難，困難在于對(duì)公式的變化沒(méi)有深刻的理解。公式（ab）n=anbn可以逆過(guò)來(lái)寫(xiě)成anbn=（ab）n，而an=an-1·a，根據(jù)實(shí)際需要作恰當(dāng)?shù)淖兓?，先將?）2004 =（ ）2003·（ ）變形，再計(jì)算：

（ ）2003（ ）2004=（ ）2003·（ ）2003·（ ）=[（ ）（ ）]2003·（ ）=[（ ）2-（ ）2]2003·（ ）=12003（ ）= 。

其次，在概念中教學(xué)中，“變式”也能體現(xiàn)它的“容易”，例如：二次根式的教學(xué)中，形如 （a≥0）叫二次根式，必須強(qiáng)調(diào)二次根式具有雙重非負(fù)性。例如已知 =1，求x的取值范圍。很多學(xué)生無(wú)從下手，感到困難，我把它變成 =x-1，學(xué)生們很快明白是考查了公式： = = 。因此 =x-1只能有x-1>0，再問(wèn)為什么x-1不能等于零，指出x-1在分母中，同學(xué)們立刻就把問(wèn)題解決了。又如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式2x2-3，在有理數(shù)中無(wú)法分解，現(xiàn)在學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)和二次根式 通過(guò)變式，此問(wèn)題就簡(jiǎn)單容易， ，由此可見(jiàn)“變式”教學(xué)在概念的掌握和運(yùn)用中是多么重要。例如：已知 ，求a-2b的值。分析：要求a-2b的值，表面看條件與結(jié)論無(wú)聯(lián)系，但想一想公式 則可得 ， ，

∴a-2b=2。又例如：已知方程組 ，且0

二、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中經(jīng)常用到，是我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題中的思維方法，也是一種變式。任何事務(wù)的發(fā)展都是由低級(jí)到高級(jí)的轉(zhuǎn)化，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們利用人的思維發(fā)展規(guī)律，達(dá)到事半功倍的效果。例如：n為正整數(shù)，求 的值。開(kāi)始，我沒(méi)有直接要求學(xué)生計(jì)算，而是要求把 變成兩個(gè)分式的差，很快學(xué)生得出 ，再要求分子必須是1，則 再把 變成以上形式。 ，在學(xué)生熱烈的探討中，要求的式子的值可以變式計(jì)算為：

再推廣到

又例如，已知： 都是正實(shí)數(shù)。

求證： 。

分析：我們學(xué)習(xí)了 ，a為正數(shù)， ， （ 為正數(shù)），如果 都為正數(shù)。則 ，然后把以上不等式相加，即可得結(jié)果。

證明： 為正實(shí)數(shù)， ， ， …… ，相加得：

在幾何問(wèn)題中，我們同樣用到從特殊到一般的變式思維，例如，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，BF的延長(zhǎng)線交射線CD于點(diǎn)G，①若 =3，求 的值。②若 =m，求 的值。

（1）

學(xué)生對(duì)此類題不知從何下手，求線段的比值必須轉(zhuǎn)化到三角形相似中來(lái)，構(gòu)造相似 三角形，并尋找到中間橋梁，把已知 =3連接到所求 中。分析：如圖①，過(guò)E作EH//AB交BG于點(diǎn)H，則ΔEHF∽ΔABF，

，第②問(wèn)中已知 ，可以由①得出結(jié)果

又例如：如圖：OC為 AOB的角平分線，P為上一定點(diǎn)，過(guò)P作任一直線交OA、OB于點(diǎn)E、F，試證： 恒為定值。分析：先考慮EF變化到特殊位置， 的情形，不妨設(shè)為如圖（1），此時(shí)Δ 為一個(gè)等腰三角形， ， ，由已知P是 的中點(diǎn)，取 的中點(diǎn)D，

則知 為定值，然后在證明任一直線EF交OA、OB就簡(jiǎn)單多了，過(guò)P作PD//OE，交OF于D， ，同理 ，兩式相加即得

結(jié)論： 。

三、在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我常常根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和邏輯推理能力，而“變式”的思維模式是在整體的數(shù)學(xué)能力中體現(xiàn)出來(lái)的，它需要從已知信息中挖掘出大量變化的，獨(dú)特的新信息的思維方式，它具有多向性、變通性、流暢性、獨(dú)特性的特點(diǎn)。因此數(shù)學(xué)教學(xué)的目的就是培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題，解決問(wèn)題發(fā)展數(shù)學(xué)的能力，以及發(fā)展學(xué)生的智力，提高思維、觀察、注意、記憶、聯(lián)想等能力。為了使“變式”的思維模式能順利開(kāi)展，教師必須提高自身素質(zhì)，在教學(xué)過(guò)程中及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生，利用教材中的公式、定理、定義、公里等縱橫對(duì)比，概括，歸納，形成一定的模式，盡量要求學(xué)生對(duì)同一問(wèn)題從多途徑，多方向思考。例如：對(duì)同一個(gè)“數(shù)”跳出“抽象的數(shù)”的這個(gè)圈子，聯(lián)想到數(shù)軸、方程的根和三角形的邊長(zhǎng)，當(dāng)我們賦予它某種含義后，自然而然就找到幾何的背景，從而增進(jìn)了對(duì)問(wèn)題的理解，然后就從“數(shù)”變到“形”的思維。同樣的一個(gè)幾何問(wèn)題，跳出“幾何”這個(gè)圈子，聯(lián)想到面積、方程、函數(shù)等等，同樣增加了解決問(wèn)題的方法。例如：在數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)，必須跳出 是一個(gè)無(wú)理數(shù)這個(gè)圈子，到幾何中去尋找，在RtΔABC中 C=90°，AC=2個(gè)單位長(zhǎng)，BC=1個(gè)單位長(zhǎng)，則AB= ，如圖，原點(diǎn)與A重合，以A為圓心，以AB為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的數(shù)為 。

又例如：已知a>0，b>0，c>0，求證： + > 。分析：此題是代數(shù)的不等式證明。因?yàn)閍>0，b>0，c>0， >0， >0， >0。我們?nèi)绻龃鷶?shù)證明這個(gè)圈，變化到幾何證明。用兩邊之和大于第三邊，問(wèn)題就簡(jiǎn)單了。構(gòu)造直角三角形，如圖：作RtΔABC，∠ACB=∠BCD=90°，AC=a，BC=c，CD=b，CE=a根據(jù)勾股定理： ， ， 而在ΔABD中，AB+BD>AD，AD=a+b，而a+b> ，所以 + > 。

從某種意義上說(shuō)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是為了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，而解題是數(shù)學(xué)問(wèn)題的核心，而從事數(shù)學(xué)教學(xué)就是質(zhì)疑、釋疑、解疑的過(guò)程，即提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程。而“變式”就是在解決問(wèn)題過(guò)程中起到“簡(jiǎn)捷”，“靈活”而又可操作的杠桿作用。