唐鈺淇

【摘要】數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合問題在高考中經(jīng)常出現(xiàn)。文章以一道高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題為例，提出此問題的幾種常用解法，并將該問題推廣到一般情形，得到幾個基本結(jié)論。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；代數(shù)法；幾何法；三角函數(shù)法

2017年湖南省高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷最后一題為：如圖1，過原點作兩條相互垂直的直線分別與圓相交于點、、、，求的最大值。

一、幾種解法

解法一：代數(shù)法

設(shè)直線的方程為，與圓的交點為、，滿足，即，由韋達定理有

，，

則，，

①

直線與直線垂直，設(shè)其方程為 ，與圓的交點為、.類似可推得

②

由①和②有

③

當(dāng)時，上式右邊取得最大值，即最大值為.

另外，也可由①和②得

④

根據(jù)基本不等式有

即的最大值為4，此時，，兩直線與軸的夾角均為45度.

解法二：幾何方法一

如圖2，設(shè)圓心為，連接、、、，作交于點E，交于點，則點、分別是、的中點. 由于，則四邊形是矩形.

故，

則.

由基本不等式有.

解法三：幾何方法二

如圖2，根據(jù)圓的切割線定理，有

即⑤

因為OEPF為矩形，故

即⑥

由⑤⑥可得，則

從而可得.

解法四：三角函數(shù)法

如圖2，設(shè)，

則，

則

⑦

當(dāng)時，式⑦右邊取得最大值1，即最大值為1，故的最大值為4.

二、一般情形推廣

將此問題推廣到一般情形如下：

問題：過原點作兩條相互垂直的直線分別與圓相交于點、和、，求的最大值.

解：如圖2，設(shè)直線與直線的方程分別為和，與圓的四個交點分別為、、、.參照解法一，可得

，，

，，

，

，

我們不難得到

且必須滿足.

根據(jù)基本不等式，的最大值為.

同時還得出如下結(jié)論：

結(jié)論1：、兩線段中點連線的長度為定值，等于原點到圓心的距離.

證明：、兩線段的中點分別為、.則

.

結(jié)論2：、兩線段中點連線的中點，與原點和圓心連線的中點重合.

證明：設(shè)原點和圓心連線的中點為，的中點為，則

，

因此的中點坐標與點的坐標相同.

根據(jù)結(jié)論2可以得出：

推論：、兩線段的中點均在以為圓心，半徑為的圓上.

結(jié)論3：等于連線所圍區(qū)域面積的2倍.

證明：（1）當(dāng)，即原點在圓之外，如圖2，連線所圍區(qū)域即陰影部分.

則.

（2）當(dāng)，即原點位于圓內(nèi)，如圖3，所圍區(qū)域為圓內(nèi)接四邊形.

（3）當(dāng)，即原點位于圓上，、與原點重合，所圍區(qū)域為直角三角形，因此 .

三、結(jié)束語

數(shù)形結(jié)合問題一般可以采用代數(shù)法、幾何法、三角函數(shù)法求解，也可運用幾種方法聯(lián)合求解。在學(xué)習(xí)中，我們要根據(jù)實際情況靈活運用。對于某些具體問題，我們可以通過推廣拓展至一般情形，從而更深入地分析和解決問題。endprint