蔡弘毅

【摘 要】在我國(guó)，伴隨著教育事業(yè)不斷的向前發(fā)展，相關(guān)教育方面的改革，也在不斷的向前發(fā)展，高等數(shù)學(xué)是我們教學(xué)重要的組成部分，而這其中的泰勒公式就是高等數(shù)學(xué)的重要的理論之一，對(duì)于相關(guān)數(shù)學(xué)理論的研究是有著非常重大的意義的。對(duì)于泰勒公式的研究，我們一定要做到全面深入的了解，對(duì)于基本概念和基本原理以及基本的數(shù)學(xué)思想要加以掌握，并詳細(xì)的分析在運(yùn)用的過(guò)程當(dāng)中所存在并應(yīng)注意的問(wèn)題，這樣才有利于我們研究工作順利的開(kāi)展。該篇文章對(duì)于泰勒公式在高等數(shù)學(xué)當(dāng)中的應(yīng)用進(jìn)行重點(diǎn)的分析與探討，以供相關(guān)人員參考。

【關(guān)鍵詞】泰勒公式；高等數(shù)學(xué)；應(yīng)用與研究

1.前言

泰勒公式，是我們高等數(shù)學(xué)當(dāng)中的基礎(chǔ)知識(shí)，雖然很基礎(chǔ)，但是其應(yīng)用的范圍卻是十分的廣泛的，主要適用于物理和計(jì)算機(jī)方面，當(dāng)然，也可以用于數(shù)據(jù)的分析以及最優(yōu)化理論等等數(shù)學(xué)的分支當(dāng)中，所以，對(duì)于泰勒公式的研究是十分的重要的。在此基礎(chǔ)之上，該篇文章針對(duì)泰勒公式的相關(guān)概念以及思想理念進(jìn)行講解，然后重點(diǎn)闡述其在高等數(shù)學(xué)當(dāng)中的應(yīng)用，以作出相應(yīng)的貢獻(xiàn)。

2.泰勒公式

2.1概念

泰勒公式可以運(yùn)用若干個(gè)的連加式去代表或者表示相應(yīng)的函數(shù)，這些相加起來(lái)的項(xiàng)，則可以通過(guò)相應(yīng)的函數(shù)在某一個(gè)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)，或者是在其臨近的一個(gè)點(diǎn)（n+1）次導(dǎo)數(shù)當(dāng)中求解出來(lái)。在高等數(shù)學(xué)當(dāng)中，其泰勒公式就是利用我們相關(guān)函數(shù)在某個(gè)相應(yīng)點(diǎn)附近的取值的應(yīng)用的公式，只要其函數(shù)夠光滑，我們就能夠在已經(jīng)知道額函數(shù)某個(gè)點(diǎn)相關(guān)導(dǎo)數(shù)的數(shù)值的情況之下，運(yùn)用我們的泰勒公式，求出函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)上的取值。當(dāng)x=0時(shí)的泰勒公式，我們?cè)谝欢ǖ某潭戎嫌职阉Q之為麥克勞林公式，在進(jìn)行相關(guān)的應(yīng)用的時(shí)候，一定要記得去注意比較帶皮亞諾余項(xiàng)與帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式成立的條件是不同的，并且，我們還還應(yīng)該去掌握一些初等的函數(shù)的麥克勞林公式，從而在一定的程度之上加深對(duì)泰勒公式的理解及其應(yīng)用。

2.2相關(guān)的思想理念

英國(guó)的數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)明出泰勒公式，而且使其得到了非常廣泛的運(yùn)用。在我們的日常生活以及數(shù)學(xué)研究當(dāng)中，當(dāng)我們想要去解決一些數(shù)學(xué)當(dāng)中比較難的問(wèn)題時(shí)，通常就會(huì)想到一些比價(jià)復(fù)雜的函數(shù)，而在此時(shí)，泰勒公式就顯得非常的重要了。這是因?yàn)樘├展奖旧砭途哂谢睘楹?jiǎn)的功能能力，運(yùn)用相關(guān)的泰勒公式，可以使得一些復(fù)雜的函數(shù)變得簡(jiǎn)單化，容易得出結(jié)果。有效的運(yùn)用泰勒公式在一定的程度之上能夠?yàn)槲覀兛焖俚娜ソ鉀Q問(wèn)題，也利于數(shù)學(xué)進(jìn)一步的研究以及學(xué)生學(xué)習(xí)也就是說(shuō)，泰勒公式的相關(guān)理念，就是簡(jiǎn)單化，明了化，而且易于我們掌握。

3.泰勒公式在高等數(shù)學(xué)當(dāng)中的應(yīng)用研究

我們都知道，泰勒公式在許許多多的方面都得到了廣泛的應(yīng)用，不僅僅是在求解一些極限值或者是不等式的證明以及近似計(jì)算方面，都發(fā)揮著不可替代的作用，而且，對(duì)于去求解一些高階的導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)的數(shù)值和判斷其函數(shù)的極限等等方面，有有著非常重要的作用，以下我們主要對(duì)泰勒公式相關(guān)的應(yīng)用作出一些簡(jiǎn)單的概述。

3.1求取極限值

運(yùn)用泰勒公式去求取極限值的方法是比較的簡(jiǎn)單的，而且在求解的過(guò)程當(dāng)中，也比較的方面快捷，比如，求取

，對(duì)于該項(xiàng)題目，如果去采用洛必達(dá)法進(jìn)行計(jì)算求解

的話，就需要運(yùn)用6次，比較的繁雜，但是如果僅僅是使用泰勒公式進(jìn)行求解的話，就顯得容易的多了，下面，我們就簡(jiǎn)單

的作出其相應(yīng)的求解的過(guò)程，因?yàn)?/p>

，故 ，可以得出結(jié)果，原式

= ，這樣看來(lái)的話，

其計(jì)算過(guò)程是十分的簡(jiǎn)便的，運(yùn)用泰勒公式的時(shí)候，我們一定要注意一個(gè)問(wèn)題，在計(jì)算時(shí)，要充分的開(kāi)展到其分子與分母簡(jiǎn)化之后的系數(shù)不是零的階數(shù)就行了。

根據(jù)以上所解所得，我們可以看到，充分的去運(yùn)用泰勒公式在我們求取極限值當(dāng)中是起著十分重要的作用的，不但可以將其運(yùn)算進(jìn)行簡(jiǎn)化，從而簡(jiǎn)化計(jì)算的步驟，還非常的容易理解，掌握起來(lái)也比較的簡(jiǎn)單。

3.2判斷相關(guān)函數(shù)的極值

在我們的數(shù)學(xué)研究當(dāng)中，去判斷相關(guān)函數(shù)的極值的方法一般都是：當(dāng)f'（x）等于零的時(shí)候，而且 時(shí)，就可以判斷其 就是 的極大值或者是極小值了，但是我們沒(méi)有考慮到的是，如果這個(gè)時(shí)候運(yùn)用 的話，就沒(méi)有辦法判斷出是不是其極值點(diǎn)了，在該種情況之下，我們就可以運(yùn)用泰勒公式了，該種公式是可以進(jìn)行快速有效的解決問(wèn)題的。比如： 在 相關(guān)點(diǎn)x的一、二、三階之處的導(dǎo)數(shù)都是零，運(yùn)用

便可以得出，當(dāng)其 大于

等于零時(shí)， 在x的位置就取最小值，當(dāng)其小于零的時(shí)候就可以取最大值了。如果 不等于零的情況我們也加以了計(jì)算，總之運(yùn)用泰勒公式就可以簡(jiǎn)單快捷的得出想要的結(jié)果，而且非常容易掌握，不難發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用相關(guān)的泰勒公式去判斷其函數(shù)香瓜極致有著十分重要的作用與意義。

3.3高階導(dǎo)數(shù)的求解

主要是運(yùn)用泰勒公式進(jìn)行高階導(dǎo)數(shù)的求解，而且我們還可以反過(guò)來(lái)去求解其相關(guān)高階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值，這樣既可以避免我們逐步求解的繁瑣復(fù)雜的過(guò)程，而且還可以使得求解更加的簡(jiǎn)單便捷，還易于掌握。

結(jié)束語(yǔ)

總而言之，泰勒公式在我們相關(guān)的高等數(shù)學(xué)的解題方面應(yīng)用是十分的廣泛的，，有尋求等價(jià)無(wú)窮小量、求極限以及相關(guān)的不等式證明、乃至近似計(jì)算幾方面的應(yīng)用。該篇文章主要講解泰勒公式的相關(guān)定義以及相關(guān)的理念，從而便于我們對(duì)泰勒公式有進(jìn)一步的了解，而且還重點(diǎn)的去研究了泰勒公式在高等數(shù)學(xué)當(dāng)中，求極限值、判斷其相關(guān)函數(shù)的極限值以及高階導(dǎo)數(shù)方面的一些應(yīng)用，。我們只有充分的把握住了其泰勒公式基本的概念以及運(yùn)用的范圍與方法，才可以加深理解和運(yùn)用，在此，希望該篇文章能夠?qū)ο嚓P(guān)的人員產(chǎn)生一定的影響，并對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)研究可以作出一定的貢獻(xiàn)，也希望專業(yè)人員可以多做點(diǎn)評(píng)，加以改正，以為更多人員作出貢獻(xiàn)。

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