朱長和

【摘要】分?jǐn)?shù)是小學(xué)生需要著重理解和掌握的重要的數(shù)，這不僅僅是由于分?jǐn)?shù)在我們的日常生活中有著極其廣泛的應(yīng)用，還因為學(xué)生通過分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)將有助于加深對整數(shù)和小數(shù)等知識的理解，進一步感受數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而形成良好的知識結(jié)構(gòu)。筆者教學(xué)過《分?jǐn)?shù)的意義》之后有一些思考，我們在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生以生活經(jīng)驗為基礎(chǔ)，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)內(nèi)涵；要加強比較，促進理解提升；必須以數(shù)軸來強化分?jǐn)?shù)的意義在“數(shù)”上的拓展，加深學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解。

【關(guān)鍵詞】 分?jǐn)?shù)；本質(zhì)；思考

分?jǐn)?shù)是小學(xué)生需要著重理解和掌握的重要的數(shù)，這不僅僅是由于分?jǐn)?shù)在我們的日常生活中有著極其廣泛的應(yīng)用，還因為學(xué)生通過分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)將有助于加深對整數(shù)和小數(shù)等知識的理解，進一步感受數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而形成良好的知識結(jié)構(gòu)。為此，在蘇教版教材中，分三次來學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義，三年級時學(xué)生曾經(jīng)初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)，知道把一個物體、一個圖形或由許多物體組成的整體平均分成幾份，其中的一份或幾份可以用幾分之一或幾分之幾來表示。本單元主要是探索并理解分?jǐn)?shù)的意義，探索并掌握分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。在此之后，學(xué)生還將繼續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的四則運算和混合運算，學(xué)習(xí)依據(jù)分?jǐn)?shù)的意義分析和解答相關(guān)的實際問題。通過這單元內(nèi)容的教學(xué)，不僅可以擴展學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識，而且能夠有效提升學(xué)生思維的抽象水平，促進其對現(xiàn)實生活中數(shù)量關(guān)系的進一步理解和把握。

一、以生活經(jīng)驗為基礎(chǔ)，理解知識本質(zhì)內(nèi)涵

實踐表明，學(xué)生的生活經(jīng)驗是教學(xué)內(nèi)容的載體，是情感的誘因，是教學(xué)活動的平臺。本節(jié)課中，引導(dǎo)學(xué)生在相對抽象的層面進一步理解分?jǐn)?shù)的意義是教學(xué)重點，同時也是教學(xué)難點。學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解從來就不是一蹴而就的，而是不斷豐富、逐步完善、螺旋上升的過程。在構(gòu)筑分?jǐn)?shù)的概念時，主要分三個層次來幫助學(xué)生逐步豐富和完善對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識。第一層次，出示蛋糕圖、長方形、一米直條圖和由6個圓圈組成的一個整體，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系在此前活動中對分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識，借助圖形說說這4個分?jǐn)?shù)所表達的意義，讓學(xué)生說一說是把什么平均分成幾份，表示這樣的幾份。第二層次，引入單位“1”的概念，加強對分?jǐn)?shù)意義的理解。實踐證明，在分?jǐn)?shù)意義的抽象過程中，認(rèn)識單位“1”是建立分?jǐn)?shù)意義的重要環(huán)節(jié)，而準(zhǔn)確建立單位“1”的概念則是重中之重，這一方面是因為只有建立單位“1”的概念，不同情境中的分?jǐn)?shù)才會有更高層面的一致性，分?jǐn)?shù)的大小比較以及相關(guān)的四則運算也才能合乎邏輯地實施；另一方面，只有真正理解單位“1”的概念，學(xué)生才能更好地解釋具體情境中的分?jǐn)?shù)含義，并在此基礎(chǔ)上分析和解決相應(yīng)的實際問題。教學(xué)中通過問學(xué)生，剛才平均分的對象是什么，答案可以是一個物體、一個計量單位，還可以是由許多物體組成的一個整體，告知學(xué)生這在我們數(shù)學(xué)上可以用自然數(shù)“1”表示，即單位“1”，并讓學(xué)生說說生活中我們可以把哪些東西 當(dāng)作單位“1”進行平均分，并展示“一群羊”“4千克蘋果”“一條線段”“一堆圓片”，幫助學(xué)生豐富單位“1”的概念。第三層次，帶入新知理解分?jǐn)?shù)的意義，這里首先讓學(xué)生用單位“1”平均分來分別解釋、說明每個分?jǐn)?shù)的含義；接著讓學(xué)生綜合這些分?jǐn)?shù)“都是怎樣得到的數(shù)”，思考不同分?jǐn)?shù)表示的含義的共同點，抽象出分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征；然后依據(jù)感受到并交流出的本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生“說出怎樣的數(shù)是分?jǐn)?shù)”。出示“把（）看作單位‘1 ，平均分成幾份，表示這樣的幾份，得到分?jǐn)?shù)（）”模板，指名讓學(xué)生說一說，并作相應(yīng)板書。拋出問題“那分?jǐn)?shù)是怎么得到的呢？”，就顯得水到渠成了，“把單位‘1平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)就是分?jǐn)?shù)?！泵绹J(rèn)知心理學(xué)家奧蘇泊爾說過“影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。要探明這一點，并應(yīng)據(jù)此進行教學(xué)”。以上活動，從學(xué)生熟悉的生活經(jīng)驗和知識基礎(chǔ)出發(fā)，有效喚醒學(xué)生原有“平均分”和“認(rèn)識幾分之幾”的認(rèn)識，經(jīng)過三個層次的鋪墊點撥，逐步抽象出分?jǐn)?shù)的本質(zhì)內(nèi)涵。這樣建立概念的過程，是一個感知具體事實，分析各個對象的含義，綜合各個對象的共同特點，抽象一類事物的本質(zhì)屬性，進一步概括出概念的過程。這樣的教學(xué)既有效尊重了學(xué)生原有的知識經(jīng)驗，適應(yīng)了他們的學(xué)習(xí)需求，又加強了數(shù)學(xué)概念的抽象和表達過程，幫助學(xué)生進一步積累探索學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，感受數(shù)學(xué)的基本思想。

二、加強比較，促進理解提升

數(shù)學(xué)課堂對我們教師的要求是不僅要傳授知識和方法，更要注重學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)。有比較才有發(fā)現(xiàn)，為了讓學(xué)生更好地從本質(zhì)上理解分?jǐn)?shù)的意義，本節(jié)課設(shè)置了三個比較環(huán)節(jié)。第一次比較，用分?jǐn)?shù)表示涂色部分，師：“三幅圖單位‘1相同嗎？那為什么都用分?jǐn)?shù)四分之一表示？”生：“都是把單位‘1平均分成4份，表示這樣的1份，所以都用四分之一表示?！睅煟骸皩α耍鼈兌际前褑挝弧?平均分成4份，表示這樣的1份，所以都用四分之一表示，和單位‘1具體是什么沒有關(guān)系。”第二次比較，師：“那是不是單位‘1是什么就不重要了呢？”出示，涂色表示出四分之一，師：“都是四分之一，為什么涂色三角的個數(shù)卻不一樣呢？”“看來單位‘1很重要，它決定著分?jǐn)?shù)所對應(yīng)的數(shù)量。第一幅圖是4個三角的四分之一，所以涂1個三角；第二幅圖是8個三角的四分之一，所以涂2個三角；第三幅圖是12個三角的四分之一，所以涂3個三角。所以單位‘1很重要?！钡谌伪容^，用分?jǐn)?shù)表示涂色部分，“這一次單位‘1相同嗎？涂色的方框的個數(shù)呢？既然都相同，為什么表示的分?jǐn)?shù)卻各不相同呢？”“這樣看來，要準(zhǔn)確表示一個分?jǐn)?shù)，我們既要關(guān)注單位‘1是什么，還要關(guān)注單位‘1被平均分成了幾份，表示這樣的幾份”，同時進行課件演示，聯(lián)系上圖，“被平均分成的份數(shù)就是分?jǐn)?shù)的分母，表示的份數(shù)就是分?jǐn)?shù)的分子，這就是分?jǐn)?shù)的意義?！蓖ㄟ^這樣的三次層次的比較，為學(xué)生提供了豐富的感性素材，觸發(fā)了思維的火花，讓學(xué)生在求同辨異中主動進行抽象和概括，在思考中逐步明晰知識要點，在體驗中領(lǐng)悟知識本質(zhì)，并積累數(shù)學(xué)抽象的活動經(jīng)驗。而在教學(xué)中，則盡可能展示學(xué)生進行比較過程中的各種體驗和感悟，幫助他們將模糊的感受明朗化、零散的體驗系統(tǒng)化，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的有效提升。

三、以數(shù)軸強化分?jǐn)?shù)的意義在“數(shù)”上的拓展

我們知道分?jǐn)?shù)既可以表示兩個量之間的關(guān)系，同時也可以表示一個具體的數(shù)值，和整數(shù)相比，在刻畫事物的量的特性上分?jǐn)?shù)顯得更加準(zhǔn)確。本節(jié)課我們需要幫助學(xué)生體會：一是在隨便兩個分?jǐn)?shù)間有若干個分?jǐn)?shù)，著重讓學(xué)生體驗它的稠密性。二是在數(shù)軸上每個分?jǐn)?shù)都有相對應(yīng)的點。練習(xí)時，出示數(shù)軸（教學(xué)時說數(shù)直線），并說明：在數(shù)軸上，每一個數(shù)都有著對應(yīng)的位置，比如我們之前學(xué)過的整數(shù)0、1、2、…可以這樣表示，并標(biāo)上數(shù)字，“哪一段可以用單位‘1表示呢？”師，“上面這些分?jǐn)?shù)分別是將單位‘1平均分成幾份，表示這樣的幾份？你能在數(shù)直線上找出這些分?jǐn)?shù)的位置，并和大家說說你是怎么想的嗎？”（在學(xué)生說的過程中，課件出示這些分?jǐn)?shù)對應(yīng)的點）適時追問：“在這條數(shù)直線上，除剛才這些分?jǐn)?shù)以外，你還能找到其他的分?jǐn)?shù)嗎？說說這個分?jǐn)?shù)的含義和在數(shù)直線上的大致位置范圍。像這樣的分?jǐn)?shù)你找得完嗎？”通過以上的活動延伸，就可以讓學(xué)生比較深入地體會分?jǐn)?shù)和整數(shù)、小數(shù)一樣也是一種數(shù)，初步感受分?jǐn)?shù)的稠密性。

為了突破學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識局限在0-1之間，在學(xué)生建立分?jǐn)?shù)概念時，需要將學(xué)生的思維進行適當(dāng)?shù)耐卣寡由?。師：“在剛才的學(xué)習(xí)中，我們在數(shù)直線上找了一下分?jǐn)?shù)對應(yīng)的位置，那么請同學(xué)們繼續(xù)看數(shù)直線，分?jǐn)?shù)僅僅存在于整數(shù)0-1之間嗎？在1后面你就找不到分?jǐn)?shù)了嗎？比如我們在這個位置找到了四分之一，并且在數(shù)軸上數(shù)出了2個四分之一、3個四分之一，你還能繼續(xù)往下數(shù)嗎？”學(xué)生會順勢數(shù)出：4個四分之一 ，并且能判斷出4個四分之四就是1。之后老師讓學(xué)生接著往下數(shù)5個四分之一，6個四分之一是……在數(shù)的過程中學(xué)生自然又會自我懷疑，這些數(shù)是不是分?jǐn)?shù)了，這時老師相機引領(lǐng)學(xué)生理解這里究竟是多少（指著四分之五處）。學(xué)生經(jīng)過思考，認(rèn)為是四分之五，馬上又有學(xué)生對此進行反駁，認(rèn)為這個點所對應(yīng)的分?jǐn)?shù)應(yīng)該比1大。教師這時及時追問：“在數(shù)直線上每一點都有對應(yīng)的一個數(shù)，這個點對應(yīng)的數(shù)顯然比1大了，而且還不能用整數(shù)表示，那么它是幾分之幾呢？怎么表示呢？”這一問題正是學(xué)生思維沖突最強烈的問題，而教學(xué)實踐表明，恰當(dāng)?shù)恼J(rèn)知沖突對學(xué)生思維發(fā)展是至關(guān)重要的。學(xué)生就這一問題展開討論，最后形成共識：這個分?jǐn)?shù)比1大，由5個四分之一組成，是四分之五，而后面的分?jǐn)?shù)則可以此類推，同時教師指出：像這樣的分?jǐn)?shù)，在后面我們將會進一步研究。在上述的教學(xué)中，學(xué)生根據(jù)以前的學(xué)習(xí)探究，對真分?jǐn)?shù)已經(jīng)能與數(shù)軸上的點進行了一一對應(yīng)，但是由于之前沒有接觸過假分?jǐn)?shù)，因此存在思維定式。今天的教學(xué)憑借數(shù)軸無限延伸的特征，讓學(xué)生及時打破思維定式，憑著整數(shù)和小數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生進行知識遷移，感知在1后面還有無限多個分?jǐn)?shù)，并且這些分?jǐn)?shù)都比1大，同時通過這個過程，也可以讓學(xué)生更好地理解整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間的相互關(guān)系，從而促進良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。