【摘要】作為一道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（一試）原創(chuàng)模擬題，試題除了“科學(xué)性、能力性”之外，還要做到“新穎性”、“界定性”、“選拔性”。立意新穎，不為題海戰(zhàn)術(shù)開方便之門。界定明確，對(duì)一線教練員的教學(xué)有導(dǎo)向功能。有效區(qū)分，讓不同層次水平的學(xué)生高低立顯。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 新穎性 界定性 選拔性 導(dǎo)向功能

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）24-0106-02

高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽在即，為方便學(xué)生備考。筆者組織了高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（一試）模擬題的命制工作，命題組緊扣“科學(xué)性、新穎性、選拔性、能力性、界定性”[1]的原則命制試題。筆者也參與了解答題第10題的命制。現(xiàn)將其命制歷程及解法與各位同仁分享，不到之處敬請(qǐng)各位批評(píng)指正。

一、問題呈現(xiàn)

題目（1）已知，求證：

（2）若正數(shù)滿足，求的最小值。

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察了不等式的性質(zhì)、代數(shù)式的恒等變形能力。其中第（1）小問一題多解，可以從代數(shù)式的恒等變形或?qū)?shù)法等視角進(jìn)行思考。設(shè)問梯度得當(dāng)，能使不同的數(shù)學(xué)競(jìng)賽者得到他應(yīng)得的分?jǐn)?shù)，測(cè)試效度較好。

二、命制歷程

1.試題立意

根據(jù)雙向細(xì)目表的要求，在解答題第10題的位置需要命制一道以不等式為載體的最值問題，題目要求新穎、具備壓軸性，有一定的區(qū)分度，能起到選拔功能。試題要求界定明確，為高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（一試）模擬題，命題范圍不得超出中學(xué)數(shù)學(xué)大綱。

2.試題命制與打磨

命制方案：命題組試圖通過組合法[2-3]命制一道二元函數(shù)最值問題，既堅(jiān)持與高等數(shù)學(xué)的銜接，為學(xué)生后續(xù)升入大學(xué)學(xué)習(xí)作鋪墊，又使試題不落俗套，讓數(shù)學(xué)競(jìng)賽者無范本可循，讓試題有一定的新穎性。

（1）多問題重組，形成初稿

復(fù)雜生于簡(jiǎn)單，第10題的命制從兩個(gè)簡(jiǎn)單的問題開始。

問題1 已知，求證

問題1的命制思路：筆者注意到，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)。即：；在不等式兩邊同乘以得：，生成問題1。

問題2 已知，求證：

問題2的命制思路：由于，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)。同時(shí)注意到二次多項(xiàng)式的判別式小于0，故；則

；故，由此生成問題2。

將問題1與問題2組合形成問題3。

問題3 已知，，求證：

不難發(fā)現(xiàn)，問題3中要求證的不等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)。即二元函數(shù)當(dāng)時(shí)，取得最小值。于是想到將“”，即“”作為已知條件，衍生出新的問題，形成初稿。

初稿 若正數(shù)滿足，求的最小值。

（2）考慮界定性原則，改成二稿

命題組預(yù)估到本題作為高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（一試）模擬題難度偏大，且審題教師解題后給出的幾種參考解法中包括拉格朗日乘數(shù)法，故命題組認(rèn)為初稿有超出中學(xué)數(shù)學(xué)大綱范圍之嫌。而高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（一試）難度的界定為不得超出中學(xué)數(shù)學(xué)大綱范圍。初稿可以用作高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（二試）試題，其有高等數(shù)學(xué)背景，但可以用初等數(shù)學(xué)方法來解。如若作為一試試題，區(qū)分度較差，必須給出梯度，層層遞進(jìn)。故命題組采用“分步設(shè)問”的方式，將問題2作為第一問，初稿問題作為第2問，以此降低試題的難度，提高試題的區(qū)分度，形成二稿。

二稿 （1）已知，求證：

（2）若正數(shù)滿足，求的最小值。

三、解法展示

解法1 （1）因?yàn)椋?/p>

則，

從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)。

（2）由題意得：，由，得 ，即；

，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)；當(dāng)時(shí)，，

又由（1）得，

故

解法2 （1）構(gòu)造輔助函數(shù)，

，令，即：；

亦即：，

又，故，

即原方程解為，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增。

所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值。

故：，即：

（2）下同解法1

解法3 （1）令，

則，，，

故函數(shù)在處的切線方程為：；

故

（2）下同解法1

四、總結(jié)

作為一道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（一試）原創(chuàng)模擬題，試題除了“科學(xué)性、能力性”之外，還要做到“新穎性”、“界定性”、“選拔性”。立意新穎，不為題海戰(zhàn)術(shù)開方便之門。界定明確，對(duì)一線教練員的教學(xué)有導(dǎo)向功能。有效區(qū)分，讓不同層次水平的學(xué)生高低立顯。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱華偉.從數(shù)學(xué)競(jìng)賽到競(jìng)賽數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[2]劉蔣巍. 例談試題打磨的九種方法[J]. 文理導(dǎo)航（下旬），2016，（12）：98.

[3]劉蔣巍.命題轉(zhuǎn)換的9種方法在教學(xué)中的運(yùn)用[M].南昌：江西科學(xué)技術(shù)出版社，2016.