摘 要：數(shù)學問題是數(shù)學課程的心臟，因而解題教學是數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié)之一。另一方面采用題海戰(zhàn)術，使量變達到質變的教學模式是有悖新課改理念的。新課程的重要目的之一就是“減負”，只有對學生所遇到的現(xiàn)有問題進行充分利用，要善于挖掘具體數(shù)學問題包含的數(shù)學本質，傳授數(shù)學知識體系及應用的技能，使學生學會學習，而且能夠做到真正意義上快樂的學習，舉一反三，螺旋式上升，逐步形成對問題類數(shù)學問題的解題教學模式，這是我們的樂學課堂所遵循的理念。而數(shù)學的教學模式很多，通過對數(shù)學問題解決后引導學生進一步思考，加工，以類比，或推廣，或延展，或變形，或抽象概況等諸多方式引發(fā)的數(shù)學教學模式是有效的。

關鍵詞：有效教學；樂學；教學模式；數(shù)學解題；數(shù)學問題

一、引言

數(shù)學問題是數(shù)學課程的心臟，因而解題教學是數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié)之一。高中數(shù)學教師都會致力于探索數(shù)學問題的解題教學，并形成了一些行之有效的教學模式。如一般的習題課教學模式：教師引導、示范——學生依照、模仿——鞏固應用、遷移——形成解題能力。再比如試卷分析課，也包含了數(shù)學問題的教學環(huán)節(jié)。同樣是問題教學兩者處理的模式卻大相徑庭，這不僅跟教學的目的有關，而且與所處的教學時段的背景有關。但無論是何時何地數(shù)學問題教學都不僅僅為了解決具體的某個數(shù)學問題，和對相關數(shù)學概念、公式、定理等的重復理解與應用。如果僅局限于此，那么很難想象要通過多少的練習量才能使學生掌握知識及應用的能力。這種采用題海戰(zhàn)術，使量變達到質變的方式是有悖新課改理念的。新課程的重要目的之一就是“減負”，如何做到減負這一目的也是當代一線教師和教育專家急需改進和探索的重要道路。只有對學生所遇到的現(xiàn)有問題進行充分利用，要善于挖掘具體數(shù)學問題包含的數(shù)學本質，傳授數(shù)學知識體系應用的技能，使學生學會學習，而且能夠做到真正意義上快樂的學習，舉一反三，螺旋式上升，逐步形成對一類數(shù)學問題的解題模式，這是我們的樂學課堂所遵循的理念。為此如何更有效或高效地對數(shù)學問題進行分析，并形成行之有效的教學模式是每個數(shù)學老師都要思考和探索的問題。

為使學生更有效地學會學習，學會應用數(shù)學知識解決數(shù)學問題。本人多年來專注于對高中數(shù)學解題的摸索與探究，對高中數(shù)學問題的解決與問題教學有自己的一些獨到的看法，希望能與同僚產生一定的共鳴。

二、實例

（浙江2016年10月學考第7題）在空間中，下列命題正確的是（ ）。

A.經過三個點有且只有一個平面。

B.經過一個點和一條直線有且只有一個平面。

C.經過一個點且與一條直線平行的平面有且只有一個。

D.經過一個點且與一條直線垂直的平面有且只有一個。

問題的解決本身并不難，A項沒有指出不共線的三點，所以錯誤；B項沒有說明直線外的一點，所以錯誤；C項符合條件的平面有0個或無數(shù)個，若點在直線上則為0個，若點在直線外，先過該點作出與已知直線平行的直線（唯一），過所作直線（不過已知直線）的任一平面均與已知直線平行。D選項正確。通過問題的解決發(fā)現(xiàn)很有必要對“經過一個點的個數(shù)問題”進行匯總，探究。于是在教學中引導學生改變命題“經過一個點且與一條直線垂直的平面有且只有一個”中的直線平面或垂直平行形成新的命題。教師可以先示范以下例子，并讓學生依照類比寫出相關命題，并對命題進行辨析，使學生得到思維上的激發(fā)。

師：1.經過一個點且與一條直線垂直的直線有且只有一條；錯誤，無數(shù)條。

2.經過一個點且與一個平面垂直的平面有且只有一個；錯誤，無數(shù)個。

3.經過一個點且與一條直線平行的平面有且只有一個；錯誤，0個或無數(shù)個。

生：4.經過一個點且與一條直線平行的直線有且只有一條；錯誤，0條或1條。

5.經過一個點且與一個平面垂直的直線有且只有一條；正確。

6.經過一個點且與一個平面平行的平面有且只有一個；錯誤，0個或1個。

7.經過一個點且與一個平面平行的直線有且只有一條；錯誤，0條或無數(shù)條。

通過對上述的匯總分析，使學生形成知識的塊狀結構，通過比較、知識的碰撞、知識概念的進一步辨析，有助于對數(shù)學本質的理解，激發(fā)學生的進一步思考，打開學生的思維之門，能夠促進數(shù)學知識的應用與遷移，體現(xiàn)了一種有效教學模式。之后再讓學生思考下面四個命題的真假，并說明理由，以此來檢測學生有效學習的效率。

命題1：經過一個點且與兩條異面直線都平行的直線有且只有一條。

命題2：經過一個點且與兩條異面直線都平行的平面有且只有一個。

命題3：經過一個點且與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條。

命題4：經過一個點且與兩條異面直線都垂直的平面有且只有一個。

題1：已知點[A（-1，2），B（3，1）]，點[P]為[x]軸上的動點，則[PA+PB]的最小值為____。

題2：已知點[P]是雙曲線[C=x24-y25=1]右支上的點，[F]為雙曲線的左焦點，點[A（1，4）]，則[PA+PF]的最小值為____。

題3：已知點[P]是拋物線[y2=2x]上的動點，點[P]到準線的距離為[d]，且點[P]在[y]軸上的射影[M]，點[A（72，4）]，則[PA+PM]的最小值是____。

學生分析的大致情況為：（圖形如下）

題1：[A]關于x軸對稱的點[A'（-1，-2）]，則有[PA+PB=PA'+PB≥A'B=5]，當且僅當[A'，P，B]三點在一直線上時，“=”成立。

題2：記雙曲線的右焦點為[F2（3，0）]，則[PA+PF=PA+PF2+2a≥AF2+4=25+4]，當且僅當[A，P，F(xiàn)2]三點在一直線上時，“=”成立。

題3：作[PN]垂直準線于[N]，[F]為拋物線的焦點，則[PA+PM=PA+PN-12=PA+PF-12≥AF-12=92]，當且僅當APF三點在一直線上時，“=”成立。

師：請同學們思考，三個數(shù)學問題有什么共同的表現(xiàn)形式（條件，結論），它們的解答上有沒有共性（涉及的定理，公式，概念或法則）。請你改變一些條件或編寫一道類似的數(shù)學問題與同學分享?；蜻M行適當?shù)赝茝V變形。

通過學生的思考，分析，交流，評價總結，抽象，概括出數(shù)學問題類所包含的數(shù)學概念、公式、定理等基礎知識，處理此類問題的數(shù)形結合和轉化化歸思想，并揭示數(shù)學問題所涵蓋的數(shù)學本質，形成相關數(shù)學問題的解題模式：已知平面內有兩定點[A，B]，點[P]是某曲線上的動點，

①[A，B]位于曲線兩側時，線段[AB]與曲線的交點[P]，使得[PA+PB]最小值為[AB]。

②當[A，B]位于曲線同側時，直線[AB]與曲線的交點[P]，使得[PA-PB]最大值為[AB]。

并讓學生完成下列數(shù)學問題，以便檢測是否形成相應數(shù)學問題的解題能力。

1.[F]是拋物線[y2=2x]的焦點，[P]是拋物線上任一點，[A（3，1）]是定點，則[PA+PF]的最小值是____。

2.已知點[A]的坐標為[（3，2）]，[F]為拋物線[y2=2x]的焦點，若點[P]在拋物線上移動，當[PA+PF]取得最小值時，則點[P]的坐標是（ ）。

A.[（1，2）] B.[（2，2）] C.[（2，-2）] D.[（3，6）]

3.設[F1，F(xiàn)2]分別是橢圓[x225+y216=1]的左、右焦點，[P]為橢圓上任意點，點[M（6，4）]，則[PM+PF1]的最大值為（ ）。

A.12 B.13 C.14 D.15

4.在直線[l：3x-y-1=0]上求一點[P]，使得[P]到[A（4，1）]和[P（0，4）]的距離之差最大。

三、數(shù)學問題解決的有效教學模式

數(shù)學的教學模式很多，這種通過對數(shù)學問題解決后引導學生進一步思考，加工，以類比，或推廣，或延展，或變形，或抽象概況等諸多方式引發(fā)的數(shù)學教學模式是有效的。至少體現(xiàn)在以下三個方面：

其一，教學模式的內容很貼近學生學習的最近發(fā)展區(qū)是有效的。內容的出發(fā)點是學生剛剛思考過的數(shù)學問題，正所謂趁熱打鐵，在此基礎上進行的內容變式，很能形成知識沖突，對學生理解數(shù)學知識概念、揭示數(shù)學本質是行之有效的。內容的表現(xiàn)形式具有全面性與完善性，有效促進學生形成數(shù)學知識結構和思想方法等數(shù)學能力。內容的形成方式有助于能帶動學生學習的積極性，由于問題之間較高的相似度，使得學生對數(shù)學問題的解決充滿好奇與信心，有效地提高了學生的數(shù)學知識遷移能力。學會公式定理的應用等是有效成果之一。

其二，教學模式的過程全面體現(xiàn)學生使學生成為學習的主體是有效的。過程中學生先完成一個或幾個具體數(shù)學問題作為熱身，然后教師引導學生在原有的數(shù)學問題上加以適當?shù)母淖?，或對幾個具體問題進行抽象概況，以及知識方法上共性的探討。這些開放性的問題起點低，人人都可以參與，各抒己見，又能呈現(xiàn)發(fā)散性數(shù)學思維，使得學生在數(shù)學課堂上是快樂的。過程中要求教師要組織學生活動，提“好”問題，發(fā)揮教師主動，將更多的時間空間交給學生自主思考，談論，闡述，評價。學生在對數(shù)學問題進行加工時，是對數(shù)學知識理解最好的見證，并對加工后的數(shù)學問題進行解決，也是對數(shù)學知識遷移最好的落實。各個活動環(huán)節(jié)注重學生參與，落實新課改教學理念，一定程度上展現(xiàn)樂學課堂教學過程的有效性。

其三，教學模式的結果能使學生學會學習是有效的。結果解決的不僅是某個具體的數(shù)學問題，而是一類或相關的問題類問題是有效成果之一。結果中不僅包含了問題類解決所含的數(shù)學知識體系和知識應用遷移能力，而且還包含了知識體系及知識應用習得的常用方式——舉一反三、抽象概況、歸納類比、轉化變形等學習能力。為終身學習打下基礎是又一有效成果。

在現(xiàn)有的高中學習規(guī)劃中，學生的學業(yè)壓力甚大，不僅在量上面對繁多的課程，要求單位時間內消化更多的知識與方法，而且在數(shù)學能力的要求上更甚，如計算能力、語言表述能力，抽象概況能力等思維方法。樂學課堂下基于數(shù)學問題解決的教學模式能讓學生學會舉一反三，避免題海戰(zhàn)術，實現(xiàn)減負目標。實例證明這種教學模式很多程度上促進了學生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)；學生參與度高，課堂氣氛活躍，能激發(fā)學生對知識產生興趣，產生積極學習心理傾向，對增強有效教學具有重要作用。

四、感悟與反思

樂學課堂下基于數(shù)學問題解決的有效教學模式對教師的要求有以下幾點：

第一，教師要多做，學生才能少做。教師要多做題，并及時匯總、分類。不僅要提前知道數(shù)學問題所包含的數(shù)學知識概念、公式、定理和數(shù)學思想方法，而且要善于從數(shù)學思想上進行提煉和反思，思考如何使學生掌握形成數(shù)學能力。要給學生一杯水，教師自己先要擁有一桶水。只有如此教師才能抓住數(shù)學問題的本質和規(guī)律，引導學生對數(shù)學問題進行加工處理，凌駕于有效教學之上。也只有如此才能實現(xiàn)學生是站在巨人的肩膀上，教師則要勇于做好這個巨人的一部分。也只有如此才能避免題海戰(zhàn)術，實現(xiàn)新課改做到減負的目的。

第二，教師要發(fā)揮主導作用。有效教學模式關鍵在于教師精心設計問題或巧妙地引導學生發(fā)現(xiàn)問題，調動學生學習的積極性。培養(yǎng)能靈活運用知識，敢于創(chuàng)新勇于探索的學生，而不是只能套用知識，受固有方法的框框約束的死板的人。讀書無疑者，須教有疑，有疑者，卻要無疑，到這里方是長進。

總之，落實素質教育、培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，是時代發(fā)展的要求，減負是一個系統(tǒng)工程，不是一朝一夕就能完成的工作，但是如果我們的廣大教師在數(shù)學問題教學中多思考，多專研，注重有效教學，從學生的切實利益出發(fā)，多增設學生活動的教學，增強學生學會學習的教學，使得我們的樂學課堂真正意義上讓學生能夠快樂地學習，能夠感受到學習數(shù)學的樂趣。路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索。正所謂教無定法，教學的模式千萬種，無論采用哪一種，關鍵在于有效。

參考文獻：

[1]常新秋，如何進行有效教學，http：//www.teacherclub.com.cn/tresearch/a/1018064666cid00001

[2]百度文庫，有效教學.

[3]百度文庫，數(shù)學解題教學模式.

[4]百度文庫，數(shù)學問題解題教學.

作者簡介：

林愛秀（1983.03—），女，浙江省溫州市蒼南人，中國共產黨員，畢業(yè)于浙江師范大學，數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)，本科生。