楊文+李毅

【摘 要】 隨著數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和教材對(duì)數(shù)學(xué)思想滲透的重視，初高中數(shù)學(xué)思想教學(xué)銜接性問(wèn)題進(jìn)一步加劇.影響初高中數(shù)學(xué)思想教學(xué)銜接性的因素有：教師對(duì)初高中數(shù)學(xué)課標(biāo)內(nèi)容要求重視和理解不夠；初高中數(shù)學(xué)教師間交流不夠；初高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)思想挖掘不夠；初高中數(shù)學(xué)教師對(duì)教育本質(zhì)認(rèn)識(shí)不夠.改善初高中數(shù)學(xué)思想教學(xué)銜接性的建議是：加強(qiáng)對(duì)初高中數(shù)學(xué)課標(biāo)的認(rèn)識(shí)；加強(qiáng)初高中數(shù)學(xué)教師間的交流；加強(qiáng)對(duì)教材知識(shí)、習(xí)題的深入挖掘；轉(zhuǎn)變教育教學(xué)觀念.

【關(guān)鍵詞】 初高中；數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)；教材；數(shù)學(xué)思想；銜接性

1 問(wèn)題的提出

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓、靈魂，它是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本目的.重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，是提高個(gè)體思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)、發(fā)展智力的關(guān)鍵所在，也是現(xiàn)代社會(huì)對(duì)人才培養(yǎng)的基本要求[1].正因?yàn)槿绱耍咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)一再?gòu)?qiáng)調(diào)高中學(xué)生必須在九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，做到具有必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能以及基本數(shù)學(xué)思想.在此，對(duì)初高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)思想的銜接性問(wèn)題進(jìn)行梳理顯得很有必要，對(duì)進(jìn)一步提高教師對(duì)數(shù)學(xué)思想教學(xué)的重視程度也有積極意義.（以調(diào)研區(qū)北師大版初中數(shù)學(xué)教材和人教版高中（必修）為例）

2 初高中課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)思想的銜接性

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）》（以下簡(jiǎn)稱義務(wù)教育標(biāo)準(zhǔn)）和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡(jiǎn)稱高中標(biāo)準(zhǔn)）在總體目標(biāo)中都指出讓學(xué)生“獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)（包括數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）以及基本的數(shù)學(xué)思想和必要的應(yīng)用技能.”這說(shuō)明了數(shù)學(xué)思想在基礎(chǔ)教育階段的重要性.表1就兩種課標(biāo)中提到的數(shù)學(xué)思想加以列舉比較[2].

從表1中，可以看出對(duì)初高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想滲透的重視，而且在數(shù)學(xué)思想的銜接上呈現(xiàn)出基本一致的整體性和螺旋上升的延續(xù)性.這就為教師在教學(xué)過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)思想的滲透提供了理論基礎(chǔ)和規(guī)范性.

3 初高中教材中部分主要數(shù)學(xué)思想的銜接性

3.1 初高中教材中字母代替數(shù)思想的銜接性

用字母代替數(shù)思想是初高中數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)學(xué)思想之一，也是代數(shù)的基本特征，它可以把數(shù)或數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)明而普遍地表現(xiàn)出來(lái)，也可以使一些復(fù)雜的運(yùn)算變得簡(jiǎn)單，這是發(fā)展符號(hào)意識(shí)，進(jìn)行量化刻畫(huà)地基礎(chǔ)，也是從常量研究過(guò)渡到變量研究的基礎(chǔ)[3].

初中案例1 （七年級(jí)上冊(cè)第99頁(yè)）你在心里想好一個(gè)兩位數(shù)，將十位數(shù)字乘以2，然后加3，再將所得新數(shù)乘以5，最后得到的數(shù)加個(gè)位數(shù).把你的結(jié)果告訴我，我就知道你心里想的兩位數(shù).你知道其中的道理嗎？

解 設(shè)你心里想好的兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字分別是a和b，按照運(yùn)算步驟，最后結(jié)果為10b+15+a，因此只要把計(jì)算結(jié)果減15，得到的數(shù)就是你心中想好的兩位數(shù).以上例題，運(yùn)用字母代替數(shù)的數(shù)學(xué)思想，用字母把數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)，簡(jiǎn)化了題目的解答，揭示了題目的本質(zhì).

高中案例2 （《中學(xué)數(shù)學(xué)解題》第134頁(yè)）

求證：2549>49！.

解析 要證2549>49！可證n+12n>n?。╪∈N）.

因?yàn)閚+12=n（n+1）2n=1+2+3+…nn

>n1×2×3×…×n

1+2+3+…nnn>1×2×3×…×n=n！

n+12n>n！，

n=49，得49+1249>49！.

以上例題，用字母n代替數(shù)字，即可證得2549>49！.

3.2 初高中教材中方程與函數(shù)思想的銜接性

函數(shù)思想一般就是指構(gòu)造函數(shù)繼而利用函數(shù)的性質(zhì)去處理問(wèn)題，整理出函數(shù)解析式和靈活運(yùn)用函數(shù)的特點(diǎn)是把握函數(shù)思想的關(guān)鍵.方程思想就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過(guò)解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決的思想方法.二者是密不可分的.

初中案例3 （九年級(jí)下冊(cè)48頁(yè)例2）某旅館有客房120間，每間房的日租金為160元時(shí)，每天都客滿.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每間客房的日租金增加10元，那么客房每天出租數(shù)會(huì)減少6間.不考慮其他因素，旅館將每間客房的日租金提高到多少時(shí)，客房日租金的總收入最高[4]？

解 由題意，設(shè)每間客房的日租金提高10x元，則每天客房出租數(shù)會(huì)減少6x間.設(shè)客房日租金總收入為W，得： W=（160+10x）（120-6x）=-60（x-2）2+19440，當(dāng)x=2時(shí)，這時(shí)每間客房的日租金為160+10×2=180（元）.

答：當(dāng)每間客房的日租金提高到180元時(shí)，客房收入最高，最高為19440元.以上例題，將得到的數(shù)量關(guān)系看作二次函數(shù)，進(jìn)而配方求值.

高中案例4 （高三某復(fù)習(xí)資料）橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上，短軸長(zhǎng)為2，離心率為22，直線l與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A，B，且AP=3PB.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求m的取值范圍.

解 （1）略.（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），l與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx+m，

2x2+y2=1，得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0，Δ=4（k2-2m2+2）>0，x1+x2=-2kmk2+2，x1·x2=m2-1k2+2. 因?yàn)锳P=3PB.所以-x1=3x2，3（x1+x2）2+4x1·x2=0代入整理得k2（4m2-1）+2m-2=0，所以k2=2-2m24m2-1>0，

解得-1 3.3 初高中教材中轉(zhuǎn)化與化歸思想的銜接性

轉(zhuǎn)化與化歸思想就是將原問(wèn)題進(jìn)行變形，使之轉(zhuǎn)化為熟悉的或已解決的或易于解決的問(wèn)題，即可獲得原有問(wèn)題的解決，解題過(guò)程就是不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程：化繁為簡(jiǎn)，化難為易，化生為熟，從而使問(wèn)題得以解決.

初中案例5

解方程組：x+y+z=23， （1）

x-y=1，（2）

2x+y-z=20.（3）

解 由方程（2）得x=y+1， （4）

把（4）代入（1）（3），得2y+z=22， （5）

3y-z=18.（6）

解由（5）（6）組成的二元一次方程組，得y=8，

z=6.

把y=8代入（4），得x=9.（摘自北師大版八年級(jí)上冊(cè)130頁(yè)例）以上例題，將三元一次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組，再轉(zhuǎn)化成一元一次方程，進(jìn)而求得解.

高中案例6 （高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）第27頁(yè)例1）已知a、b、c、d都是實(shí)數(shù)，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證：ac+bd≤1.

證明 設(shè)b=sinα，a=cosα，c=cosβ，d=sinβ；則ac+bd=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）≤1.

以上例題，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將其轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)，進(jìn)而證明.

3.4 初高中教材中數(shù)形結(jié)合思想的銜接性

數(shù)形結(jié)合就是以“形”直觀地表達(dá)數(shù)，以“數(shù)”精確地研究形.它包括兩個(gè)方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”.兩方面有機(jī)結(jié)合才是完整的數(shù)形結(jié)合.數(shù)學(xué)大師華羅庚曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，數(shù)離形時(shí)少直觀，形離數(shù)時(shí)難入微.

初中案例7 （八年級(jí)上冊(cè)第7頁(yè)數(shù)學(xué)理解第2題）1876年，美國(guó)總統(tǒng)加菲爾德利用如圖1驗(yàn)證了勾股定理.你能利用它驗(yàn)證勾股定理嗎[4]？