王雯然

摘 要：數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，它和代數(shù)、方程、函數(shù)、解析幾何等許多知識(shí)相關(guān)。在數(shù)列知識(shí)中運(yùn)用的遞推思想方法、分類討論等思想方法與解題技巧在數(shù)學(xué)解題中非常有用，掌握數(shù)列解題的思路與技巧對(duì)提高數(shù)學(xué)解題效率益處巨大。對(duì)高中數(shù)列解題的思路技巧進(jìn)行了總結(jié)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)列問(wèn)題；解題思路

高中數(shù)學(xué)的數(shù)列問(wèn)題解題方法思路靈活多樣，其中包含遞推思想、函數(shù)思想等許多數(shù)學(xué)思想和方法，因此，掌握和靈活運(yùn)用數(shù)列問(wèn)題的解題思路和技巧對(duì)提高數(shù)學(xué)思維能力有重要作用。筆者作為一名高中數(shù)學(xué)愛(ài)好者，結(jié)合高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)踐，對(duì)數(shù)列問(wèn)題的求解思路和方法進(jìn)行總結(jié)，希望對(duì)數(shù)列部分的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、運(yùn)用化歸的思想和方法求解數(shù)列問(wèn)題

數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式和數(shù)列知識(shí)應(yīng)用是整個(gè)高中數(shù)列解題的核心問(wèn)題。在數(shù)列問(wèn)題的解題中，求通項(xiàng)公式對(duì)解決數(shù)列問(wèn)題來(lái)說(shuō)非常重要。其解題方法多種多樣，其中許多數(shù)列問(wèn)題可以用化歸的思想方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等差（比）數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行解決，這樣就能非常方便地進(jìn)行求解。

例1.把數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等差型數(shù)列an-an-1=f（n）形式求通項(xiàng)公式。

已知a1=1，an-an-1=n-1。求：an。

解題分析：對(duì)于此類等差型數(shù)列，常采用疊加法進(jìn)行求解。

∵an-an-1=n-1，a2-a1=1，a3-a2=2，

∴a4-a3=3…可求出an-an-1=n-1。把上面式子相加能得到an-a1=1+2+3+…+n-1，∴an= 。

解題要點(diǎn)：用該方法求通項(xiàng)公式，一是疊加后等式左邊能進(jìn)行錯(cuò)項(xiàng)相消，二是等式右邊要能容易求和。

例2.把數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等比型數(shù)列 =f（n）形式求通項(xiàng)公式。

已知a1=1， = 求：通項(xiàng)公式an。

解題分析：對(duì)于等比型數(shù)列求通項(xiàng)公式，一般采用把若干等式的左右兩邊分別相乘的方法，即累乘方法來(lái)求通項(xiàng)公式。

∵ = ， = ， = … = 。

把這些等式左右分別相乘可得： = ，∴an= 。

要求：運(yùn)用累乘方法求通項(xiàng)公式，要求等式兩邊能夠化簡(jiǎn)。

二、運(yùn)用函數(shù)和方程的思想求解數(shù)列問(wèn)題

運(yùn)用函數(shù)的概念與性質(zhì)對(duì)數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行分析轉(zhuǎn)化，從而使數(shù)列問(wèn)題容易求解；運(yùn)用方程的思想求解數(shù)列問(wèn)題，就是從數(shù)列問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，把數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程或不等式的形式來(lái)使問(wèn)題得到解決。運(yùn)用這兩種方法求解數(shù)列問(wèn)題，要注意挖掘問(wèn)題中的隱含條件，建立函數(shù)解析式和方程式是其解題的重點(diǎn)。

例3.有等差數(shù)列an，其前n項(xiàng)之和是Sn，a3=12，S12>0，S13<0。

（1）求公差d的取值范圍；（2）求S1，S2，S3…S12中的最大值，并講出原因。

解題分析：（1）在本題中利用方程（不等式）的思想就比較容易求解問(wèn)題，通過(guò)利用通項(xiàng)公式an和前n項(xiàng)和公式Sn來(lái)構(gòu)建不等式就能方便求出公差的范圍。（2）對(duì)于在數(shù)列問(wèn)題中求前n項(xiàng)和的最大值問(wèn)題，利用函數(shù)的思想和方法，把Sn的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，這樣問(wèn)題就變成求函數(shù)的最值問(wèn)題，此題就容易解

決了。

解題思路：（1）∵a3=a1+2d，可求出a1=12-2d，∴S12=12a1+66d=12（12-2d）+66d=144+42d>0，S13=13a1+78d=13（12-2d）+78d=156+52d<0，解不等式組144+42d>0156+52d<0，可求出：-

（2）求Sn的函數(shù)表達(dá)式，Sn=na1+ n（n-1）d=n（12-2d）+ n（n-1）d= n- （5- ）2- （5- ）2，∵d<0，∴ （5- ）2取最小值時(shí)，前n項(xiàng)和Sn最大。結(jié)合（1）中d的取值范圍，可求出6< （5- ）<6.5，∵n只能取正整數(shù)，∴n=6時(shí)，[n- （5- ）]2最小，由此可求出S6最大。

對(duì)于本題還可以換另一種思路來(lái)求解，即通過(guò)求出an>0，an+1<0來(lái)求解。∵d<0，∴a1>a2>a3>…>a13，根據(jù)S13=13a7<0，得出a7<0，再根據(jù)S12=6（a6+a7）>0，得出a6>0，∴可得出S6的值最大。

三、運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法求解數(shù)列問(wèn)題

數(shù)學(xué)歸納法也是求解數(shù)列問(wèn)題的常用基本方法之一，運(yùn)用歸納法其關(guān)鍵是要證明n=k+1時(shí)命題成立，該方法也是由遞推來(lái)進(jìn)行歸納的解題方法。

例4.假設(shè)有an= + + +…+ ，n∈N

證明： n（n+1）

解題分析：此題和自然數(shù)n相關(guān)，可運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法求解證明。當(dāng)n=1容易求證，重點(diǎn)在于求n=k+1時(shí)，ak+1=ak+ 式子成立，因此，在n=k的式子中加入 ，再與所證明的結(jié)論進(jìn)行比較來(lái)求解。根據(jù)歸納法的步驟，其求解思路如下：

當(dāng)n=1時(shí)，an= ， n（n+1）= ， （n+1）2=2，∴n=1時(shí)結(jié)論成立。

假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即有， k（k+1）

當(dāng)n=k+1時(shí)，只要證明下式成立即可：

k（k+1）+

可先證明結(jié)論左邊式子： k（k+1）+ > k（k+1）+（k+1）= （k+1）（k+3）> （k+1）（k+2）。

再證明結(jié)論右邊式子： （k+1）2+ = （k+1）2+ < （k+1）2+（k+ ）= （k+2）2。

（k+1）（k+2）

解題思路要點(diǎn)：本題在解題中適當(dāng)運(yùn)用了縮放法，即分別將 縮小成了k+1和將 放大成了k+ ，這兩步的放與縮是證明結(jié)論成立的關(guān)鍵步驟，如何縮與放要與結(jié)論進(jìn)行比較后確定，但要按照適當(dāng)?shù)脑瓌t進(jìn)行縮與放。

總之，在數(shù)列問(wèn)題的解題中思路方法比較多，只要靈活運(yùn)用各種解題的思路和方法就能高效快速地求解數(shù)列問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

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[2]王云霞.數(shù)學(xué)建模方法在高中數(shù)學(xué)解題中的探究[J].西北大學(xué)，2014（7）.

編輯 李建軍