陳袁哲+趙煜

摘要：本文主要研究“比較”這一數(shù)學(xué)思維方法。通過對(duì)思維、數(shù)學(xué)思維以及比較這一數(shù)學(xué)思維方法的文獻(xiàn)研究，就三年級(jí)下冊(cè)“面積的概念”教學(xué)內(nèi)容做了一份教學(xué)設(shè)計(jì)，不僅試圖用比較教學(xué)法進(jìn)行“面積的概念”的教學(xué)，還旨在教學(xué)過程中向?qū)W生滲透“比較”的數(shù)學(xué)思維方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；小學(xué)數(shù)學(xué)；比較；教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 關(guān)于數(shù)學(xué)思維的研究

1.1關(guān)于思維

心理學(xué)給思維的定義：思維是人腦借助于語(yǔ)言對(duì)客觀事物的本質(zhì)及其規(guī)律的間接與概括的反映。關(guān)于思維的特征，目前比較一致的認(rèn)為思維具有方向性、概括性和間接性的特征。就思維基本規(guī)律的研究來(lái)看，有反映同一律和思維相似律這兩個(gè)基本規(guī)律。

1.2關(guān)于數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系）交互作用并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動(dòng)。它具有一般思維的根本特征，但又有自己的個(gè)性。將一般思維的特性和數(shù)學(xué)的特點(diǎn)兩個(gè)方面結(jié)合起來(lái)分析，就能得出數(shù)學(xué)思維的特性主要是概括性、問題性和相似性。

2. 關(guān)于比較的研究

2.1關(guān)于數(shù)學(xué)的一般方法

數(shù)學(xué)思維的一般方法是指數(shù)學(xué)思維過程中運(yùn)用的基本方法。它們是觀察與實(shí)驗(yàn)，比較、分類與系統(tǒng)化，歸納、演繹與數(shù)學(xué)歸納法，模型化與具體化，類比與映射，聯(lián)想與猜想等。

2.2關(guān)于比較的研究

任樟輝在《數(shù)學(xué)思維論》中寫到，比較法側(cè)重于探索和發(fā)現(xiàn)，是數(shù)學(xué)思維最基本的方法之一。比較是確定有關(guān)事物的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)的思維方法。比較的過程是有關(guān)事物進(jìn)行分析，區(qū)分每個(gè)事物各方面的特征，再將有關(guān)事物按其特征進(jìn)行對(duì)比，得出哪些方面具有共同性，哪些方面又有區(qū)別性，從而鑒別出這些事物間的異同。比較是概括的基礎(chǔ)，通過抽象得出的屬性是在比較以后才能認(rèn)識(shí)其共性與個(gè)性的。

數(shù)學(xué)中的比較是多方面的，包括量的大小的比較，形式結(jié)構(gòu)和關(guān)系的對(duì)比，數(shù)學(xué)性質(zhì)的比較等。比較的目的是認(rèn)識(shí)有關(guān)事物的區(qū)別和聯(lián)系、明確相互之間存在的同一性與相似性，以便在解決問題時(shí)加以利用，促使問題轉(zhuǎn)化并獲解，在解題過程中，它既是一種整體的思考方法，也經(jīng)常在各個(gè)局部加以運(yùn)用。從概念的發(fā)展、命題的推演或證明到數(shù)學(xué)問題的解決，都滲透著比較方法的運(yùn)用。

3. 在教學(xué)中滲透比較思想的教學(xué)設(shè)計(jì)

下文是筆者對(duì)于面積概念的教學(xué)，試著運(yùn)用比較的數(shù)學(xué)思維方法來(lái)設(shè)計(jì)的教學(xué)環(huán)節(jié)。

3.1 教學(xué)內(nèi)容

人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)》三年級(jí)下冊(cè)P71-74頁(yè)，面積概念的教學(xué)。

3.2 學(xué)情分析

“面積”這一個(gè)概念，對(duì)于三年級(jí)學(xué)生，幾乎可以說(shuō)是一個(gè)全新的知識(shí)。不少學(xué)生雖然在生活中都聽聞“面積”一詞，但是頭腦中卻沒有一個(gè)明確清晰的概念。在上這一課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)并且建立了周長(zhǎng)的概念，這對(duì)面積概念的教學(xué)將產(chǎn)生一定的負(fù)面影響。學(xué)生的思維仍以具體形象思維為主，生活經(jīng)驗(yàn)的不足，都將有可能使學(xué)生在學(xué)習(xí)面積概念的過程中將其與周長(zhǎng)概念混淆。因此，在教學(xué)“面積”時(shí)，一是要盡早地將其與“周長(zhǎng)”進(jìn)行比較，讓學(xué)生更早地辨析兩者的區(qū)別，二是應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)具體的面的大小的感知活動(dòng)，與周長(zhǎng)的感知活動(dòng)進(jìn)行比較，結(jié)合實(shí)例讓學(xué)生形成對(duì)面積含義的體驗(yàn)。

3.3教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：使學(xué)生初步建立面積的概念，能正確區(qū)分周長(zhǎng)與面積的概念。

過程與方法：學(xué)生在比較周長(zhǎng)與面積的過程中，深入對(duì)比較這一數(shù)學(xué)思維方法的體驗(yàn)，能有意識(shí)地在學(xué)習(xí)過程中運(yùn)用“比較”這一數(shù)學(xué)思維方法來(lái)解決數(shù)學(xué)問題；

情感與態(tài)度、價(jià)值觀：讓學(xué)生感受“比較”這一數(shù)學(xué)思維方法的魅力，主動(dòng)地在學(xué)習(xí)生活中運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思維方法來(lái)分析、解決問題；

3.4教學(xué)流程

3.4.1教學(xué)材料

PPT上呈現(xiàn)兩條線段，一條長(zhǎng)，一條短。

3.4.2任務(wù)與提問設(shè)計(jì)

（1）任務(wù)：引出面積概念，引導(dǎo)學(xué)生用“與周長(zhǎng)比較”的數(shù)學(xué)思維方法來(lái)學(xué)習(xí)面積的概念。

（2）提問設(shè)計(jì)：

①哪條線段能夠圍成更大的圖形？

②請(qǐng)學(xué)生分析自己的錯(cuò)誤。

③那圖形的大小可以用什么表示呢？

④請(qǐng)同學(xué)們來(lái)比較面積和周長(zhǎng)這兩個(gè)概念的不同。

⑤請(qǐng)同學(xué)們選擇一個(gè)身邊的物體，用手指分別指出它的周長(zhǎng)和面積。

3.4.3學(xué)生探索成果的展示與教師引導(dǎo)

（1）學(xué)生探索成果展示：大部分同學(xué)認(rèn)為長(zhǎng)線能夠圍成更大的圖形。

（2）教師引導(dǎo)：

①PPT呈現(xiàn)長(zhǎng)線圍成一個(gè)月亮，而短線圍成了一個(gè)圓。

通過動(dòng)畫將長(zhǎng)線圍成的月亮放在了短線圍成的圓里面，更加直觀地向?qū)W生證明：

長(zhǎng)線圍成的圖形面積也有可能比短線圍成的面積小。

②教師追問：同學(xué)們剛開始為什么會(huì)回答錯(cuò)。請(qǐng)同學(xué)們分析一下犯這個(gè)錯(cuò)誤的原因。

③教師引導(dǎo)學(xué)生們回憶周長(zhǎng)的概念：線的長(zhǎng)短是用周長(zhǎng)這個(gè)概念表示的。線長(zhǎng)則周長(zhǎng)長(zhǎng)，線短則周長(zhǎng)短。而這里比較的是圖形的大小。這與周長(zhǎng)長(zhǎng)短是有區(qū)別的。

④教師引出面積的概念：線的長(zhǎng)短可以用周長(zhǎng)來(lái)表示，而圖形的大小應(yīng)用面積這個(gè)概念來(lái)表示。

⑤教師引導(dǎo)學(xué)生用比較的數(shù)學(xué)思維方法來(lái)比較周長(zhǎng)和面積這兩個(gè)概念。

概念的比較：周長(zhǎng)的概念是封閉圖形一周的長(zhǎng)度；面積的概念是物體的表面或封閉圖形的大小。

感知的比較：教師引導(dǎo)同學(xué)們通過選擇身邊的一個(gè)物體，如數(shù)學(xué)課本面、課桌面，用手分別比劃出它們的周長(zhǎng)和面積。

3.4.4階段性小結(jié)

圖形的大小是不能用周長(zhǎng)來(lái)比的，應(yīng)用面積來(lái)比，并且周長(zhǎng)與面積的概念是不同的，應(yīng)學(xué)會(huì)比較。

以上教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)就是緊緊圍繞“比較”這一數(shù)學(xué)思維方法而展開的，因?qū)W生易將面積的概念與周長(zhǎng)的概念混淆，在設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)就先通過一個(gè)趣味的小游戲使同學(xué)們回憶周長(zhǎng)的概念，對(duì)于“長(zhǎng)的線段和短的線段圍成的圖形哪個(gè)更大”這一問題，必然會(huì)有不少同學(xué)不自覺地想到周長(zhǎng)，脫口而出地回答長(zhǎng)的線段圍成的圖形大。而教師通過PPT上呈現(xiàn)長(zhǎng)的線段圍成的月亮圖形被放在短的線段圍成的圓中，讓同學(xué)們意識(shí)到原來(lái)圖形的大小是不能用周長(zhǎng)來(lái)表示的，讓學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)面積的概念前就能意識(shí)到周長(zhǎng)和圖形的大小不是同一件事。之后教師直接告訴同學(xué)們面積的概念，又通過概念上的比較和具體感知的比較，讓同學(xué)們更加深刻地感受到周長(zhǎng)與面積概念的不同。通過這樣的“比較”教學(xué)，同學(xué)們對(duì)面積的概念將會(huì)更加清晰。在做習(xí)題時(shí)，若還是出現(xiàn)混淆的情況，同學(xué)們也能夠像老師在課堂上所用的比較思維方式那樣，自己去比較面積與周長(zhǎng)概念。

4. 結(jié)語(yǔ)

“比較”這一基本的數(shù)學(xué)思維方式，不僅在概念的教學(xué)中可以運(yùn)用，還可以在公理、法則的教學(xué)中，在習(xí)題講解等情況下使用。教師通過在教學(xué)中滲透比較的數(shù)學(xué)思維方式，讓學(xué)生體驗(yàn)?zāi)亍氨容^”思維過程中問題的清晰化、明朗化，學(xué)會(huì)自己去運(yùn)用“比較”的數(shù)學(xué)思維方式來(lái)分析問題和解決問題，從而孕育自身的數(shù)學(xué)思維。

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