董興勇

【摘要】 數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學習高等數(shù)學的基礎(chǔ).生活中具有較大的應(yīng)用價值.數(shù)列求和是數(shù)列的重要組成部分.通過對數(shù)列求和知識的學習，不但可以提高學生的分析、歸納能力和邏輯推理能力，還能很好地鍛煉發(fā)散性思維.

【關(guān)鍵詞】 高中；數(shù)列；求和；有效方法

數(shù)列求和在高考和各種數(shù)學競賽中都占有重要的地位.除了等差數(shù)列和等比數(shù)列可以直接用公式求和外，大部分數(shù)列的求和都需要一定的技巧，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想的靈活運用.教師要引導學生掌握方法，形成規(guī)律性的認識，從而掌握通性通法，構(gòu)建知識框架，提高學習能力.學生通過對數(shù)列知識的探究和歸納理解其中蘊含的思想和方法，更好地應(yīng)用函數(shù)思想、方程思想，并且靈活地理解基本概念和公式，在應(yīng)用中能夠達到得心應(yīng)手、舉一反三的程度.通過對方法的探究，學生會發(fā)現(xiàn)問題，有針對性地分析和思考問題，進而解決問題，達到對知識的掌握.下面介紹四種數(shù)列求和的基本方法和技巧.

一、公式求和法，掌握基本求和方法

公式求和法是解決數(shù)列求和最為基本的方法，是其他求和方法的基礎(chǔ).在進行數(shù)列求和的教學過程中，首先，教師需要給學生介紹的就是公式求和法.讓學生能運用等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項和公式求和，教師還要引導學生通過自主探究推導公式，通過合作交流深刻理解公式，從而可以在運用中游刃有余.公式法是一種非常直觀的方法，學生只需要把公式掌握好，在題目中找到相應(yīng)的量進行套用即可，是一種簡單易行的方法.

典例賞析 已知等比數(shù)列{an}的所有項均為正數(shù)，首項a1=1，且a4，3a3，a5成等差數(shù)列.求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

分析 由數(shù)列{an}是等比數(shù)列可得a4=q3，a3=q2，a5=q4，根據(jù)a4，3a3，a5成等差數(shù)列可以求出q，再根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式即可求解.

解 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，

由條件可知a4，3a3，a5成等差數(shù)列，∴6q2=q3+q4.

解得q=-3或q=2，

∵q>0，∴q=2，∴Sn= 1-2n 1-2 =2n-1.

在審題的過程中，學生要準確把握首項、末項、公差、公比、第n項和前n項和等信息，還要注意是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，這樣才可以靈活地通過已知的信息最終求出首項和公差（或公比），從而完成公式求和的解題過程.

二、分組求和法，分別解答各個擊破

分組求和法是解決數(shù)列求和的常用方法.此類題型的顯著特點是：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列和等比數(shù)列組成，則求和時可以用分組求和法，把具有相同性質(zhì)的數(shù)列分別求和后相加減.這種方法使學生可以通過各個擊破的方式來解決問題，降低解題難度，從而逐步有效地解決問題.

典例賞析 已知數(shù)列{an}的通項公式an=n+1，若bn=2 an+ 1 2an ，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.

分析 根據(jù)已知條件先求得數(shù)列{bn}的通項公式bn=2 an+ 1 2an =2 n+1+ 1 2n+1 =2n+ 1 2n +2，通過觀察發(fā)現(xiàn)，此數(shù)列可分為三個數(shù)列{2n}， 1 2n ，{2}，因此，可以采用先分別求出這三個滿足條件的和，再合并即可解決.

在解題的過程中，要學會找到具有共性的各個數(shù)列，進而根據(jù)每一個數(shù)列來一一進行計算，實現(xiàn)對問題的解決.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型有兩類：（1）若an=bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，求{an}的前n項和；（2）通項公式為an= bn，n∈奇數(shù)，cn，n∈偶數(shù) 的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和.

三、錯位相減法，靈活應(yīng)用解決問題

錯位相減法是解決數(shù)列求和的一種重要方法.必須熟練掌握，高中教材中等比數(shù)列的前n和公式推導用的就是這種方法.它主要適用于一個數(shù)列的每一項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，在解決這類數(shù)列求和問題的時候就可以用錯位相減法.即數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和，就采用錯位相減法，這種方法的關(guān)鍵是錯位后找到對應(yīng)項，然后，進行求和處理即可.

學生在解題時通過認真閱讀，仔細思考，可以看出此題在求和時適合采用的方法就是錯位相減法.解決這類問題時，學生需要注意前n項和兩邊同時乘等比數(shù)列{bn}的公比，然后，“錯位”作差求解.利用錯位相減法求和還要注意，首先，要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；其次，在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式.

四、裂項相消法，分析歸納總結(jié)規(guī)律

裂項相消法是解決數(shù)列求和的一種行之有效的方法.在求和過程中，學生需要把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，在消去了一些不必要的項后，簡化了計算，從而可以快速求和.使用裂項相消法求和時，一定要注意消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，需要注意未被消去的項有前后對稱的特點.

典例賞析 已知數(shù)列{an}的通項公式an=2-n.數(shù)列{bn}滿足bn= 1 a2n-1·a2n+1 ，求{bn}的前n項和Tn.

通過對題目的閱讀和思考，學生要有一定的判斷能力，能夠看出這一類題是否適合采用裂項相消法求和.把數(shù)列的每一項分裂成兩項，使得相加后項與項之間能夠抵消，但在抵消的過程中，有的是依次相消，有的是間隔相消.利用裂項相消法要注意，列項相消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項.將通項裂項后，有時需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項相等.如，若{an}是等差數(shù)列，則 1 anan+1 = 1 d 1 an - 1 an+1 ， 1 anan+2 = 1 2d 1 an - 1 an+2 .

上面介紹了幾種數(shù)列求和的常用方法，其實，數(shù)列求和的方法還有很多，如倒序相加法、遞推轉(zhuǎn)化法、并項求和法、數(shù)學歸納法等.數(shù)列求和問題題型多樣，技巧性也較強，以致數(shù)列求和問題成為高中數(shù)學的一個難點，在各級各類考試中都會涉及對數(shù)列求和的考察，因此，在平時的學習中要善于總結(jié)規(guī)律.

總之，在數(shù)列求和的學習過程中，教師要引導學生找到數(shù)列求和的突破口，掌握好基本題型和解題的基本思想方法，進而在解題過程中可以靈活運用這些解題方法.學生掌握了數(shù)列求和的基本方法后還要不斷地實踐，通過強化訓練來鞏固，最終的達到快速、靈活、輕松解決數(shù)列求和.通過數(shù)列求和知識的學習與運用，學生的邏輯思維和推理判斷能力會進一步得到提高，為學生提供了一個更加廣闊的數(shù)學學習空間.