張晴霞+閔超+林敏

【摘要】全概率公式是概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn).本文采用啟發(fā)式結(jié)合總結(jié)式的教學(xué)方法，從一個(gè)有趣的生活實(shí)例——蒙提霍爾問(wèn)題入手，通過(guò)教師循序漸進(jìn)地設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，從而歸納出全概率公式，再?gòu)囊话愕教厥猓ㄟ^(guò)實(shí)際問(wèn)題案例的分析及應(yīng)用，達(dá)到教會(huì)學(xué)生使用全概率公式來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的目的.

【關(guān)鍵詞】蒙提霍爾問(wèn)題；全概率公式；教學(xué)設(shè)計(jì)

【基金支持】（1）2015.6.1—2016.5.31，西南石油大學(xué)教師教學(xué)研究重點(diǎn)資助項(xiàng)目，“利用現(xiàn)代教育技術(shù)實(shí)現(xiàn)《概率統(tǒng)計(jì)》立體化教學(xué)模式的研究和實(shí)踐”，（項(xiàng)目編號(hào)2015JXYJ-23）；（2）2013.02—2016.07四川省教育廳教學(xué)改革研究項(xiàng)目“多元化人才培養(yǎng)模式下的大學(xué)數(shù)學(xué)系列課程改革與實(shí)踐”（項(xiàng)目編號(hào)X15021301019）；（3）2015.11.1—2017.08.10，高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心教學(xué)改革項(xiàng)目，“將優(yōu)秀微課作品應(yīng)用于概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)的教學(xué)模式的探索與實(shí)踐”（無(wú)項(xiàng)目編號(hào)）

全概率公式是概率論中的一個(gè)重要的公式，也是教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.在許多的概率統(tǒng)計(jì)的教材中，通常都是直接給出樣本空間的劃分（分割）的定義，然后以定理的形式給出全概率公式[1，2].但是筆者在給工科學(xué)生講授這部分內(nèi)容時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果按照教材上的方式來(lái)講解，學(xué)生會(huì)感到非常的枯燥，而且接受起來(lái)也存在一定的困難.尤其是面對(duì)一些貼近生活的實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生不能很好地應(yīng)用該公式.從而使得部分學(xué)生逐漸喪失信心，產(chǎn)生畏難情緒，失去學(xué)習(xí)的興趣.因此有必要對(duì)全概率公式的教學(xué)進(jìn)行比較深入細(xì)致的設(shè)計(jì).

在教學(xué)中，對(duì)于一個(gè)新知識(shí)的講解，“引入”是十分關(guān)鍵的.著名的數(shù)學(xué)家拉普拉斯說(shuō)過(guò)：“生活中最主要的問(wèn)題，其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率問(wèn)題.”由此可見，在現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見概率問(wèn)題.因此，在概率統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)中，可以通過(guò)分析現(xiàn)實(shí)生活中的一些有趣的案例導(dǎo)入新課.一方面，可以激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，另一方面也有助于學(xué)生理解抽象復(fù)雜的公式.鑒于此，本文采用啟發(fā)式結(jié)合總結(jié)式的教學(xué)方法，從一個(gè)有趣的生活實(shí)例——蒙提霍爾問(wèn)題入手，通過(guò)教師循序漸進(jìn)地設(shè)問(wèn)，從而歸納出全概率公式，再?gòu)囊话愕教厥猓ㄟ^(guò)實(shí)際問(wèn)題案例的分析及應(yīng)用，達(dá)到教會(huì)學(xué)生使用全概率公式來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的目的.整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)“以教師為主導(dǎo)、以學(xué)生為主體”的教學(xué)理念，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、思考，并教會(huì)學(xué)生怎樣應(yīng)用所學(xué)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)“授人以漁”.

一、回顧前面學(xué)習(xí)的知識(shí)

教師在講授新內(nèi)容之前可以花幾分鐘的時(shí)間復(fù)習(xí)與新內(nèi)容密切相關(guān)的一個(gè)或者幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，自然地過(guò)渡到新課.這是一種“以舊入境，推舊引新”的“復(fù)習(xí)式”切入法[3].這樣便于將新舊知識(shí)邏輯性地聯(lián)系起來(lái)，利于教師循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí).同時(shí)有利于鞏固已有知識(shí)，并引發(fā)學(xué)生積極思考，利用所學(xué)新知識(shí)解決問(wèn)題.

教師首先和學(xué)生一起回顧在前一節(jié)中學(xué)習(xí)的知識(shí)：條件概率公式和乘法公式[1].

條件概率：設(shè)A，B為隨機(jī)試驗(yàn)E的兩個(gè)事件，且P（A）>0，則稱P（B|A）=P（AB）P（A）為事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率.而在實(shí)際應(yīng)用中，我們很少直接利用這個(gè)公式來(lái)計(jì)算條件概率，而是事先根據(jù)實(shí)際情況算出條件概率，再利用它來(lái)計(jì)算積事件的概率，也就是乘法公式P（AB）=P（A）P（B|A）（或P（AB）=P（B）P（A|B））.這兩個(gè)公式在概率統(tǒng)計(jì)中非常有用，而關(guān)于這兩個(gè)公式的應(yīng)用有很多.先來(lái)看一個(gè)例子.

二、由有趣的生活實(shí)例引入全概率公式

引例（蒙提霍爾問(wèn)題）在一個(gè)綜藝節(jié)目中，有編號(hào)為1、2、3的三扇門，門后分別藏有兩只山羊和一輛寶馬汽車作為獎(jiǎng)品，門后的獎(jiǎng)品的種類主持人是知道的，當(dāng)然參賽選手不知道.參賽選手答對(duì)題目后，可以從三扇門中任選一扇門，得到相應(yīng)的獎(jiǎng)品.現(xiàn)在假設(shè)該參賽選手選中了1號(hào)門，主持人將未選的兩扇門中打開一扇（例如3號(hào)門），后面是一只山羊.如果你是參賽選手，現(xiàn)在主持人再給你一次改變選擇的機(jī)會(huì)，你是否改變選擇，將選中的1號(hào)門換為2號(hào)門？

蒙提霍爾問(wèn)題（Monty Hall problem，也稱為三門問(wèn)題）是一個(gè)著名的概率趣題，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)源自博弈論的數(shù)學(xué)游戲問(wèn)題[4].該問(wèn)題出自美國(guó)的一個(gè)電視游戲節(jié)目Lets Make a Deal，由于該節(jié)目是由蒙提霍爾主持的，因此通常稱這個(gè)問(wèn)題為蒙提霍爾問(wèn)題.

給出引例之后，教師通過(guò)設(shè)問(wèn)的方式進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考.提問(wèn)：假設(shè)你是參賽選手，你會(huì)怎樣選擇？改選還是堅(jiān)持原來(lái)的選擇呢？留一些時(shí)間讓學(xué)生參與討論，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.對(duì)于該問(wèn)題，學(xué)生們眾說(shuō)紛紜，各執(zhí)一詞，有從心理學(xué)分析原因的，有從邏輯分析原因的.此時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度來(lái)分析問(wèn)題，指出“改選”或“不改選”最關(guān)鍵的問(wèn)題在于何種選擇會(huì)對(duì)參賽者更有利，也就是獲得寶馬汽車的可能性更大一些.用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述就是：哪種選擇下獲得寶馬汽車的概率更大一些.因此，我們需要計(jì)算“改”與“不改”兩種策略下，選中寶馬汽車的概率.

為了后面計(jì)算的方便，需要先將事件描述清楚，并用字母表示出來(lái).當(dāng)參賽選手的選擇從1號(hào)門變到2號(hào)門時(shí)，他能否中獎(jiǎng)，完全取決于1號(hào)門后面到底是寶馬還是山羊.于是設(shè)B1=“1號(hào)門后面為寶馬汽車”，B2=“1號(hào)門后面為山羊”.易知，B1和B2是互斥的事件，且有P（B1）=13，P（B2）=23.參賽者中寶馬汽車這個(gè)事件被1號(hào)門后面是山羊和1號(hào)門后面是寶馬分割成了兩部分.另設(shè)A=“參賽者改變選擇，并最終中寶馬汽車”.則顯然有P（A|B1）=0，P（A|B2）=1.“參賽者改變選擇，并最終中寶馬汽車”這個(gè)事件的概率的計(jì)算如下：

P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）=13×0+23×1=23.

于是我們得到了，改變選擇獲得寶馬車的概率是P（A）=23.

接下來(lái)讓學(xué)生自己考慮，不改變選擇時(shí)獲得寶馬汽車的概率是多少呢？設(shè)事件C=“參賽者不改變選擇，并最終中寶馬汽車”.與前面類似的方法可以得到，

P（C）=P（B1）P（C|B1）+P（B2）P（C|B2）=13×1+23×0=13.

對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行分析，啟發(fā)學(xué)生從結(jié)果中總結(jié)規(guī)律.

P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）=∑2i=1P（Bi）P（A|Bi）.

強(qiáng)調(diào)：表達(dá)式P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）雖然形式上比較復(fù)雜，但實(shí)際計(jì)算起來(lái)卻很簡(jiǎn)單，并且能夠體現(xiàn)事件發(fā)生的先后次序.

分析時(shí)要指出此類問(wèn)題的本質(zhì)特點(diǎn)：多個(gè)事件對(duì)所求事件的概率都有概率“貢獻(xiàn)”.進(jìn)而，通過(guò)提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生將其推廣到一般情況的思考，體現(xiàn)由特殊到一般的思想，從而推導(dǎo)出全概率公式.所設(shè)問(wèn)題如下.

（?。┊?dāng)對(duì)A事件發(fā)生的概率有影響的事件為n個(gè)（B1，B2，…，Bn）時(shí)，是否有類似的表達(dá)式？

（ⅱ）上式成立需要滿足什么條件？

利用對(duì)問(wèn)題（?。┖停áⅲ┑幕卮?，引出劃分的概念和全概率公式.

三、全概率公式及證明

1.回顧劃分（完備事件組）的概念，指出這是全概率公式成立的條件之一.

關(guān)于劃分，由兩個(gè)事件相互對(duì)立，推廣到n個(gè)事件時(shí)，要注意通過(guò)兩者之間的共性，實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容之間的銜接：

（?。〣iBj=（i，j=1，2，…，n，i≠j）；

（ⅱ）∪ni=1Bi=Ω.

2.全概率公式的定理及其證明.

定理（全概率公式）設(shè)事件B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個(gè)劃分，且P（Bi）>0（i=1，2，…，n），則對(duì)任意事件AΩ，有

P（A）=∑ni=1P（Bi）P（A|Bi）.

給出定理之后，與引例的分析做對(duì)比.事實(shí)上，引例中的表達(dá)式即為全概率公式在n=2時(shí)的特例，引導(dǎo)學(xué)生思考能否根據(jù)引例的分析過(guò)程類推得出全概率公式的證明.

證明由BiBj=（i≠j），Ω=B1+B2+…+Bn，得

A=AΩ=AB1+AB2+…+ABn，

P（A）=P（AB1）+P（AB2）+…+P（ABn）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+…+P（Bn）P（A|Bn）=∑ni=1P（Bi）P（A|Bi）.

證明完畢后再來(lái)說(shuō)明全概率公式的數(shù)學(xué)思想.全概率公式是對(duì)加法原理和乘法公式的綜合運(yùn)用，蘊(yùn)含了“化整為零、積零成整”、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)思想，將受多個(gè)因素影響的復(fù)雜事件的概率分解成不同影響因素對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)單事件概率之和.

四、全概率公式的應(yīng)用

通過(guò)具體例子（產(chǎn)品抽樣檢查問(wèn)題）來(lái)說(shuō)明全概率公式的應(yīng)用方法，這里體現(xiàn)的是從一般到特殊的思想.

例（產(chǎn)品抽樣檢查）設(shè)倉(cāng)庫(kù)中共有10箱產(chǎn)品，其中甲、乙、丙三廠各有5，3，2箱，且已知甲、乙、丙三廠的次品率分別為10%，15%，20%，現(xiàn)從中任取1箱，再?gòu)脑撓渲腥稳?件產(chǎn)品，求取到次品的概率.

1.問(wèn)題分析：分析這類問(wèn)題的特點(diǎn)，說(shuō)明為什么這類問(wèn)題可以用全概率公式求解.取到的產(chǎn)品可能由甲、乙、丙三個(gè)廠中任何一個(gè)廠生產(chǎn)，因此，該產(chǎn)品為次品的概率受到甲、乙、丙三廠的綜合影響，每個(gè)工廠都有概率“貢獻(xiàn)”，因此應(yīng)考慮運(yùn)用n=3的全概率公式.

2.求解步驟：對(duì)事件進(jìn)行描述，計(jì)算公式中各項(xiàng)的概率.

解設(shè)A=“任取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品為次品”，B1，B2，B3分別表示“所取得的產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)”，

P（A）=∑3i=1P（Bi）P（A|Bi）

=0.5×0.1+0.3×0.15+0.2×0.20

=0.135.

注意：在求解過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生思考全概率公式中各項(xiàng)概率（特別是條件概率）該怎么計(jì)算，加深對(duì)全概率公式應(yīng)用的認(rèn)識(shí).

3.問(wèn)題總結(jié)：應(yīng)用全概率公式的關(guān)鍵在于，對(duì)所求事件A有概率貢獻(xiàn)的全部原因都要分析清楚，將所有的可能性都要考慮進(jìn)來(lái).另外強(qiáng)調(diào)，公式中的條件概率是根據(jù)實(shí)際情況直接得到的，不是利用條件概率公式計(jì)算的.

五、由設(shè)問(wèn)引出貝葉斯公式

在解決了上面問(wèn)題之后，通過(guò)設(shè)問(wèn)的方式引導(dǎo)學(xué)生做更加深入的思考.

在產(chǎn)品抽樣檢查例題中，若取得的產(chǎn)品為次品，問(wèn)該產(chǎn)品是最可能由哪個(gè)廠生產(chǎn)？

引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考并分析出這類問(wèn)題的特點(diǎn).全概率公式可以說(shuō)是解決“知因求果”的問(wèn)題，而上面提出的這個(gè)問(wèn)題則是相反的，這類問(wèn)題是已知結(jié)果，推斷原因，遇到這種“執(zhí)果探因”的情況又該如何解決呢？

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題.在已知該產(chǎn)品是次品的條件下，分別考慮該次品是來(lái)自各個(gè)廠的概率，即分別求：該次品來(lái)自甲廠的概率P（B1|A），該次品來(lái)自乙廠的概率P（B2|A），該次品來(lái)自丙廠的概率P（B3|A），這是三個(gè)條件概率，利用前面學(xué)習(xí)的條件概率的知識(shí)可以分別求得：

通過(guò)比較上面的概率可知，次品來(lái)自甲廠的概率最大，因此，可以認(rèn)為該次品最有可能是由甲廠生產(chǎn)的.上面三個(gè)概率的計(jì)算主要是利用條件概率公式、乘法公式和全概率公式得到的，將上面的三個(gè)公式推廣到一般情形，就可以得到貝葉斯公式.由設(shè)問(wèn)引出貝葉斯公式，又很自然地導(dǎo)入了下一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，做到了教學(xué)內(nèi)容之間的相互銜接.

【參考文獻(xiàn)】

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[3]馬友文.拿什么打開思路名師最吸引學(xué)生的課堂切入點(diǎn)[M].重慶：西南師范大學(xué)出版社，2008.

[4]程園園，程多嬌.三門問(wèn)題及其擴(kuò)展應(yīng)用[J].中國(guó)統(tǒng)計(jì)，2016（5）：44-45.