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        探析三角函數(shù)教學(xué)的新視角

        2017-03-09 20:53:04王漢進(jìn)
        關(guān)鍵詞:全等三角形編制三角函數(shù)

        王漢進(jìn)

        [摘 要] 三角函數(shù)中有很多值得我們研究的問(wèn)題,有些問(wèn)題可以用全新的視角去發(fā)現(xiàn),有些是與不同知識(shí)的新結(jié)合,以具體問(wèn)題為例對(duì)此進(jìn)行深入探討.

        [關(guān)鍵詞] 三角函數(shù);三角形;向量;全等三角形;編制;應(yīng)用

        三角知識(shí)一直是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ),同時(shí)也是解決生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的工具,以三角函數(shù)問(wèn)題為載體的立意新穎的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題一直受到命題專家的青睞;多年來(lái),三角知識(shí)一直是高中學(xué)生比較頭疼的問(wèn)題,特別是如何探究任意三角形的邊角關(guān)系去解決一些日常生活中與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題,本文筆者通過(guò)幾道典型試題的剖析,旨在闡述對(duì)于三角函數(shù)和三角變換問(wèn)題的處理技巧,相信能給讀者帶來(lái)一定的幫助.

        三角函數(shù)與三角形在“接觸”中升級(jí)

        以三角函數(shù)為載體的解三角形問(wèn)題,通常是給出三角形的邊角關(guān)系,求角、邊即最值問(wèn)題,主要考查三角變換能力和正弦、余弦定理靈活運(yùn)用能力.

        說(shuō)明:通過(guò)本題的解析過(guò)程可以歸納出處理三角形問(wèn)題要注意三個(gè)方面的問(wèn)題:①巧用三角形內(nèi)角和性質(zhì)與誘導(dǎo)公式的有機(jī)結(jié)合進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化;②在解題中合理融入三角函數(shù)性質(zhì);③準(zhǔn)確靈活運(yùn)用正弦、余弦定理進(jìn)行解題.

        三角函數(shù)與平面向量因“牽手”而深化

        將三角函數(shù)問(wèn)題融入平面向量的知識(shí)平臺(tái)上進(jìn)行考查的創(chuàng)新題型是近年來(lái)出現(xiàn)頻率較高的“流行”題型,主要涉及平面向量與三角函數(shù)相結(jié)合探求三角函數(shù)的最值等相關(guān)問(wèn)題.

        說(shuō)明:本題以平面向量知識(shí)為平臺(tái)考查三角函數(shù)問(wèn)題,解題的關(guān)鍵思想是進(jìn)行數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化,將此類向量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解,常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化途徑為:①利用向量平行或垂直的充要條件;②利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì);③利用向量模長(zhǎng)公式.

        三角形解的個(gè)數(shù)判別新認(rèn)識(shí)

        解三角形是三角函數(shù)中一個(gè)較難的知識(shí)點(diǎn),從我們大量教學(xué)實(shí)踐來(lái)看,求三角形解的個(gè)數(shù)判別是較難的知識(shí)點(diǎn). 為什么這個(gè)知識(shí)點(diǎn)不好教呢?很多老師說(shuō):我們不是有正弦定理和余弦定理么?書(shū)本上不是有圖形判別方式嗎?用這樣的方式就可以解決三角形解的個(gè)數(shù). 但從學(xué)生解決問(wèn)題實(shí)踐來(lái)看,完全與我們教師所想的情況不符. 學(xué)生在解的個(gè)數(shù)判別時(shí)并不會(huì)利用教材圖形化的方式去解決,學(xué)生為何不選擇教材的方式呢?筆者認(rèn)為第一個(gè)原因是教材方式的煩瑣性,學(xué)生對(duì)于圖形的使用遠(yuǎn)沒(méi)有運(yùn)算來(lái)得方便;第二個(gè)原因是更主要的,教材沒(méi)有把解的判斷更好的方式與初中數(shù)學(xué)中全等三角形的判斷聯(lián)系起來(lái),學(xué)生對(duì)于初中數(shù)學(xué)全等三角形判別方式可謂是根深蒂固,試想:為什么三邊都明確告知的三角形唯有一解?為什么兩邊一夾角都明確告知的三角形唯有一解?為什么兩角一邊都明確告知的三角形唯有一解?為什么兩邊一對(duì)角都明確告知的三角形有可能有多種情況?我們來(lái)看如何利用初中固有知識(shí)創(chuàng)新解決這一學(xué)生痼疾:

        說(shuō)明:回頭我們思考這樣的創(chuàng)新解決方式,筆者認(rèn)為初中全等三角形判別方式是學(xué)生頭腦中已經(jīng)固有的解決模型,教材另辟蹊徑反而顯得累贅,我們不妨使用學(xué)生已經(jīng)固有的知識(shí)結(jié)合新的問(wèn)題,從全等三角形判別方式(邊邊邊、邊角邊、角角邊)以及大邊對(duì)大角的三角形性質(zhì),讓學(xué)生輕松地獲得了三角形解的個(gè)數(shù)的判別. 這種基于知識(shí)全面性的理解和使用有助于引導(dǎo)學(xué)生站在更高的角度審視問(wèn)題解決新思路,為解決更多問(wèn)題開(kāi)拓了新思路.

        三角問(wèn)題的創(chuàng)新編制

        學(xué)生能解決問(wèn)題是學(xué)習(xí)的一種層次,但是從僅僅解決問(wèn)題、會(huì)做題的角度來(lái)說(shuō),這僅僅是初級(jí)層次.可以這么說(shuō),通過(guò)解題學(xué)生了解了知識(shí)使用的程度和頻率,但是卻往往不清楚同類型問(wèn)題背景載體下還有哪些知識(shí)值得挖掘使用,這才是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的第二層次.筆者以三角中的一個(gè)典型問(wèn)題舉例說(shuō)明:

        學(xué)生創(chuàng)編1:若b=2,△ABC為銳角三角形,求sinA+sinC的取值范圍.

        學(xué)生創(chuàng)編2:若b=2,求ac的最大值.

        學(xué)生創(chuàng)編3:若b=2,求a2+c2的最大值.

        學(xué)生創(chuàng)編4:若b=2,求△ABC的面積的最大值.

        學(xué)生創(chuàng)編5:若b=2,求三角形邊b所在高的最大值;

        說(shuō)明:從問(wèn)題本身出發(fā),往往僅僅只能解決一個(gè)知識(shí)點(diǎn),但是教師引導(dǎo)下的問(wèn)題創(chuàng)編,讓學(xué)生從同樣問(wèn)題背景載體下的不同知識(shí)使用以及知識(shí)整合的使用,讓學(xué)生對(duì)于知識(shí)的熟練程度和黏合程度有了更大的認(rèn)識(shí)(解答從略).

        總之,三角函數(shù)是一種特殊的、以角度為自變量的函數(shù)模型,是非常有創(chuàng)新角度的函數(shù)模型. 有些問(wèn)題以常規(guī)變量建立函數(shù)模型解決起來(lái)非常困難,但以角度去思考本身就是一種理解層面的創(chuàng)新. 三角函數(shù)正是因?yàn)榻梃b了函數(shù)特征,又具備角度靈活性的特點(diǎn),在很多知識(shí)中顯示了承接性.三角知識(shí)中有很多重要的知識(shí),正余弦定理、三角公式等,但是這些知識(shí)不能孤立地來(lái)看待,這些知識(shí)下可以鏈接初中數(shù)學(xué),上可以串接向量、實(shí)際運(yùn)用問(wèn)題,做到創(chuàng)新使用、融會(huì)貫通,是我們學(xué)會(huì)一種知識(shí)、掌握一種知識(shí)的重要心得. 這樣長(zhǎng)期引導(dǎo)有助于學(xué)生以點(diǎn)及面地看待知識(shí),循序漸進(jìn)地理解知識(shí),融會(huì)貫通地使用知識(shí),將學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的理解和運(yùn)用提高到一個(gè)新的學(xué)習(xí)境界,培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決能力和一定的創(chuàng)新素養(yǎng).

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