王漢進

[摘 要] 三角函數(shù)中有很多值得我們研究的問題，有些問題可以用全新的視角去發(fā)現(xiàn)，有些是與不同知識的新結(jié)合，以具體問題為例對此進行深入探討.

[關(guān)鍵詞] 三角函數(shù)；三角形；向量；全等三角形；編制；應用

三角知識一直是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，是學習高等數(shù)學和應用技術(shù)學科的基礎，同時也是解決生產(chǎn)實際問題的工具，以三角函數(shù)問題為載體的立意新穎的數(shù)學應用問題一直受到命題專家的青睞；多年來，三角知識一直是高中學生比較頭疼的問題，特別是如何探究任意三角形的邊角關(guān)系去解決一些日常生活中與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題，本文筆者通過幾道典型試題的剖析，旨在闡述對于三角函數(shù)和三角變換問題的處理技巧，相信能給讀者帶來一定的幫助.

三角函數(shù)與三角形在“接觸”中升級

以三角函數(shù)為載體的解三角形問題，通常是給出三角形的邊角關(guān)系，求角、邊即最值問題，主要考查三角變換能力和正弦、余弦定理靈活運用能力.

說明：通過本題的解析過程可以歸納出處理三角形問題要注意三個方面的問題：①巧用三角形內(nèi)角和性質(zhì)與誘導公式的有機結(jié)合進行角的轉(zhuǎn)化；②在解題中合理融入三角函數(shù)性質(zhì)；③準確靈活運用正弦、余弦定理進行解題.

三角函數(shù)與平面向量因“牽手”而深化

將三角函數(shù)問題融入平面向量的知識平臺上進行考查的創(chuàng)新題型是近年來出現(xiàn)頻率較高的“流行”題型，主要涉及平面向量與三角函數(shù)相結(jié)合探求三角函數(shù)的最值等相關(guān)問題.

說明：本題以平面向量知識為平臺考查三角函數(shù)問題，解題的關(guān)鍵思想是進行數(shù)學轉(zhuǎn)化，將此類向量的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題進行求解，常見的轉(zhuǎn)化途徑為：①利用向量平行或垂直的充要條件；②利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)；③利用向量模長公式.

三角形解的個數(shù)判別新認識

解三角形是三角函數(shù)中一個較難的知識點，從我們大量教學實踐來看，求三角形解的個數(shù)判別是較難的知識點. 為什么這個知識點不好教呢？很多老師說：我們不是有正弦定理和余弦定理么？書本上不是有圖形判別方式嗎？用這樣的方式就可以解決三角形解的個數(shù). 但從學生解決問題實踐來看，完全與我們教師所想的情況不符. 學生在解的個數(shù)判別時并不會利用教材圖形化的方式去解決，學生為何不選擇教材的方式呢？筆者認為第一個原因是教材方式的煩瑣性，學生對于圖形的使用遠沒有運算來得方便；第二個原因是更主要的，教材沒有把解的判斷更好的方式與初中數(shù)學中全等三角形的判斷聯(lián)系起來，學生對于初中數(shù)學全等三角形判別方式可謂是根深蒂固，試想：為什么三邊都明確告知的三角形唯有一解？為什么兩邊一夾角都明確告知的三角形唯有一解？為什么兩角一邊都明確告知的三角形唯有一解？為什么兩邊一對角都明確告知的三角形有可能有多種情況？我們來看如何利用初中固有知識創(chuàng)新解決這一學生痼疾：

說明：回頭我們思考這樣的創(chuàng)新解決方式，筆者認為初中全等三角形判別方式是學生頭腦中已經(jīng)固有的解決模型，教材另辟蹊徑反而顯得累贅，我們不妨使用學生已經(jīng)固有的知識結(jié)合新的問題，從全等三角形判別方式（邊邊邊、邊角邊、角角邊）以及大邊對大角的三角形性質(zhì)，讓學生輕松地獲得了三角形解的個數(shù)的判別. 這種基于知識全面性的理解和使用有助于引導學生站在更高的角度審視問題解決新思路，為解決更多問題開拓了新思路.

三角問題的創(chuàng)新編制

學生能解決問題是學習的一種層次，但是從僅僅解決問題、會做題的角度來說，這僅僅是初級層次.可以這么說，通過解題學生了解了知識使用的程度和頻率，但是卻往往不清楚同類型問題背景載體下還有哪些知識值得挖掘使用，這才是數(shù)學問題解決的第二層次.筆者以三角中的一個典型問題舉例說明：

學生創(chuàng)編1：若b=2，△ABC為銳角三角形，求sinA+sinC的取值范圍.

學生創(chuàng)編2：若b=2，求ac的最大值.

學生創(chuàng)編3：若b=2，求a2+c2的最大值.

學生創(chuàng)編4：若b=2，求△ABC的面積的最大值.

學生創(chuàng)編5：若b=2，求三角形邊b所在高的最大值；

說明：從問題本身出發(fā)，往往僅僅只能解決一個知識點，但是教師引導下的問題創(chuàng)編，讓學生從同樣問題背景載體下的不同知識使用以及知識整合的使用，讓學生對于知識的熟練程度和黏合程度有了更大的認識（解答從略）.

總之，三角函數(shù)是一種特殊的、以角度為自變量的函數(shù)模型，是非常有創(chuàng)新角度的函數(shù)模型. 有些問題以常規(guī)變量建立函數(shù)模型解決起來非常困難，但以角度去思考本身就是一種理解層面的創(chuàng)新. 三角函數(shù)正是因為借鑒了函數(shù)特征，又具備角度靈活性的特點，在很多知識中顯示了承接性.三角知識中有很多重要的知識，正余弦定理、三角公式等，但是這些知識不能孤立地來看待，這些知識下可以鏈接初中數(shù)學，上可以串接向量、實際運用問題，做到創(chuàng)新使用、融會貫通，是我們學會一種知識、掌握一種知識的重要心得. 這樣長期引導有助于學生以點及面地看待知識，循序漸進地理解知識，融會貫通地使用知識，將學生對于基礎知識的理解和運用提高到一個新的學習境界，培養(yǎng)學生問題解決能力和一定的創(chuàng)新素養(yǎng).