謝瑤謀
摘 要:全等三角形的內(nèi)容是初二數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)知識(shí),也是教學(xué)中的難點(diǎn)。許多學(xué)生由于基礎(chǔ)知識(shí)薄弱或無(wú)法進(jìn)行邏輯推理等原因,造成了在學(xué)習(xí)中遇到重重障礙的困境,致使全等三角形的教學(xué)工作難以有實(shí)質(zhì)性的跨域,針對(duì)這些實(shí)踐中出現(xiàn)的問(wèn)題提出了幾點(diǎn)解題策略,望對(duì)各位同仁有所裨益。
關(guān)鍵詞:中學(xué)數(shù)學(xué);全等三角形;解題策略
全等三角形這類(lèi)題目在考試中多以大題形式出現(xiàn),要求證明兩三角形全等或根據(jù)已知的三角形求另一三角形的某個(gè)邊長(zhǎng),這樣的大題若失分則成績(jī)難以提高,因此,在初中教學(xué)中,數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)將此問(wèn)題重視起來(lái)。
一、全等三角形在實(shí)踐解題中出現(xiàn)的問(wèn)題
1.基礎(chǔ)概念掌握不牢固
所謂全等三角形是指經(jīng)過(guò)翻轉(zhuǎn)、平移后,能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形,而該兩個(gè)三角形的三條邊及三個(gè)角都對(duì)應(yīng)相等。驗(yàn)證兩個(gè)全等三角形一般用邊邊邊(SSS)、邊角邊(SAS)、角邊角(ASA)、角角邊(AAS)和直角三角形的斜邊,直角邊(HL)來(lái)判定。有些初中生在學(xué)習(xí)全等三角形時(shí),認(rèn)為概念類(lèi)的知識(shí)根本用不著記憶,只要在實(shí)踐中多加練習(xí)自然就能明白,因此,忽略了概念的重要性。在證明兩個(gè)三角形全等的過(guò)程中根本不清楚需要用到哪些條件,如此,怎能學(xué)好全等三角形知識(shí)。
2.思路不清,邏輯混亂
證明兩個(gè)三角形全等的過(guò)程,是邏輯推理、分析、整合的過(guò)程,如果在大腦中不能形成一個(gè)嚴(yán)密的邏輯推理程序是無(wú)法解決三角形全等問(wèn)題的。這一點(diǎn)具體體現(xiàn)在,有些學(xué)生不清楚要證明A問(wèn)題需要先證明B還是先證明C,或者是將B和C證明出來(lái)后,又如何與A產(chǎn)生聯(lián)系,這種思路不清、邏輯混亂的現(xiàn)象成了學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)的絆腳石。
3.思維固定,無(wú)法舉一反三
在教學(xué)實(shí)踐中,有很多學(xué)生出現(xiàn)過(guò)類(lèi)似的現(xiàn)象,教師教給一種方法后,在學(xué)生的腦海中形成了固定的思維模式,當(dāng)題目換了另外一個(gè)說(shuō)法后,學(xué)生就無(wú)法理解其中的意思了,當(dāng)然在解題時(shí)也就會(huì)顯得很慌亂。
二、關(guān)于全等三角形的解題策略
在解決數(shù)學(xué)三角形全等的相關(guān)問(wèn)題時(shí),教師首先要教導(dǎo)學(xué)生將基礎(chǔ)性的概念牢牢掌握,因?yàn)橹挥性诔浞掷斫飧拍畹幕A(chǔ)上才能實(shí)現(xiàn)證明、計(jì)算的過(guò)程,否則,無(wú)異于空談。其次,是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力,理清思路,不管要證明的圖形樣式有多么復(fù)雜,唯記住一點(diǎn)萬(wàn)變不離其宗,一定要找到自己所要求的三角形。最后是教導(dǎo)學(xué)生要做到活學(xué)活用,培養(yǎng)學(xué)生一題多解的能力,通過(guò)多種渠道達(dá)到求解的目的。以下筆者將舉出幾個(gè)經(jīng)典解題方法,簡(jiǎn)要分析。
1.如圖1,已知△ABC中,AB=2AC,∠BAD=∠CAD,DA=DB,求證:DC⊥AC。
解題思路:如圖1,在AB線段上取一中點(diǎn)E,因?yàn)锳D=BD,AE=BE,DE=DE,所以,△ADE≌△BDE,所以,∠BED=∠AED=90°,又因?yàn)?,AB=2AC,所以,AC=AE,∠DAB=∠CAD,AD=AD,所以,△AED≌△ACD,所以,∠ACD=∠AED=90°,所以DC⊥AC。這道題中,是典型的中線法證明求解過(guò)程,通過(guò)連接中點(diǎn)和頂點(diǎn)的方法構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形,并以公共邊為突破點(diǎn)實(shí)現(xiàn)證明求解的目的。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō),只要能想到做輔助線ED,基本就可以達(dá)到求解的目的了。所以,在實(shí)踐教學(xué)中,教師應(yīng)當(dāng)教導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)做必要的輔助線來(lái)求解。
2.見(jiàn)圖2,在△ABC中,線段BD平分∠ABC,點(diǎn)E、F分別是AB、BC邊上的一點(diǎn),∠EDF+∠EBF=180°。求證:DF=DE。
這道題可以有三種方法來(lái)解,分別是:截長(zhǎng)法、補(bǔ)短法和以“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”這一法則來(lái)證明DF=
DE。限于篇幅原因,第二種和第三種本文只給出相應(yīng)的圖示,以下具體講解第一種方法。
截長(zhǎng)法解題思路:如圖,在線段AB上取一點(diǎn)G,可得BG=BF,由此可知,△BDF≌△BDG,所以,DG=DF,又因?yàn)椋螮DF+∠EBF=180°,所以,在四邊形BEDF中∠4+∠3′=180°,∠4′+∠3=180°,∠3′=∠3,所以,∠4=∠4′,所以,△DEG是等腰三角形,所以DG=DE,又因?yàn)镈F=DG,所以,DF=DE。這道題是通過(guò)將原有的線段經(jīng)過(guò)截?cái)?,達(dá)到與另一個(gè)三角形實(shí)現(xiàn)全等的解題過(guò)程,進(jìn)而使問(wèn)題得到解決,另外,此題還涉及了四邊形的內(nèi)角和與等腰三角形的知識(shí)點(diǎn),對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)又是一次知識(shí)的提高。
3.在圖3中,△ABC的∠ABC=20°,AB=BC,BI=AC,則求解
∠AIC的度數(shù)。
解題思路:如圖3,以AC為邊向△ABC內(nèi)部做等邊三角形AOC,可知∠BAO=∠BCO=∠ABC=20°,AC=AO=CO=BI,AB=BC,所以,△BIC≌△BOA≌△BOC,所以,∠BOA=∠BOC,所以,∠BOA+∠BOC+∠AOC=360°,所以∠BOA=∠BOC=∠BIC=150°,所以∠AIC=180°-150°=30°。這一種典型的從被求解的三角形內(nèi)部再次構(gòu)建特殊三角形以達(dá)到證明三角形全等的求解方式,在全等三角形解題實(shí)踐中也是較為常用的一種,教師要教導(dǎo)學(xué)生在答題時(shí)靈活運(yùn)用此方法。
4.已知△ABC的兩條邊AC=10,BC=4,那么,第三條邊上的中線長(zhǎng)m的取值范圍是( )。
解題思路:如圖4,只要將題意理解透徹,并快速在腦中能構(gòu)建出相應(yīng)的全等三角形,將要求解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一個(gè)待定的三角形中就可以輕松解決了。在圖4中原本是沒(méi)有△ACE部分的,這是為了實(shí)現(xiàn)解題添加的必要性輔助線,教師在講解此類(lèi)題目時(shí),必須教導(dǎo)學(xué)生在做題前將必要的輔助線段在圖上畫(huà)出來(lái),便于理解題目,審清題意。如圖4,延長(zhǎng)CE至CC′使EC′=EC,進(jìn)而很容易得到△CBE≌△C′AE,所以,AC′=CB,在△C′AC中,10-4 5.這一點(diǎn),主要講的是在解題中利用平行線來(lái)構(gòu)造出兩個(gè)全等三角形,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)解題的方法。如圖5,在△ABC中,∠A=∠C,D是線段AB上的一點(diǎn),AD=EC,求證:DF=FE 解題思路:如圖5,做線段DG∥BC并與AC交于點(diǎn)G,所以∠FDG=∠FEC,∠DGF=∠FCE,∠BCA=∠DGA,又因?yàn)椤螧CA=∠A,所以,∠A=∠DGA,所以DA=DG,又因?yàn)镃E=DA,所以DG=CE,所以△DGF≌△ECF,所以DF=FE。在這道題中,通過(guò)做平行于BC的平行線DG,繼而使相對(duì)較散的結(jié)論集中起來(lái),使要求解的問(wèn)題降低了難度,在實(shí)踐中要好好把握這一解題策略。 總而言之,全等三角形的知識(shí)點(diǎn)在初中數(shù)學(xué)測(cè)試和考查中占據(jù)著重要的地位,教師應(yīng)予以重視并開(kāi)展重點(diǎn)教學(xué),積極運(yùn)用以上幾點(diǎn)實(shí)踐策略對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高能起到很好的幫助作用。除此之外,數(shù)學(xué)教師還要肩負(fù)起培養(yǎng)全面社會(huì)型人才的重?fù)?dān),為國(guó)家實(shí)現(xiàn)“科教興國(guó)”偉大目標(biāo)貢獻(xiàn)一份力量。 參考文獻(xiàn): [1]聶亞晶.淺析初中三角形全等教學(xué)策略與技巧[J].新課程(中學(xué)),2016(1). [2]吳光華.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中最近發(fā)展區(qū)的確定及利用策略:以“三角形全等”知識(shí)教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2014(4). [3]吳玉龍.初中數(shù)學(xué)證明題常見(jiàn)的幾種解題錯(cuò)誤與糾錯(cuò)辦法:以“全等三角形”的教學(xué)為例[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)(初中版上旬),2014(7).