朱建明

摘要 數(shù)學(xué)拓展型問題作為一類特殊的數(shù)學(xué)問題，它是推進(jìn)學(xué)生開展探究性學(xué)習(xí)的有效載體。設(shè)計(jì)拓展型問題不囿于課本知識(shí)，可以緊密聯(lián)系生活實(shí)際，延伸教學(xué)內(nèi)容，也可以綜合各領(lǐng)域知識(shí)，滲透數(shù)學(xué)思想方法等。設(shè)計(jì)好數(shù)學(xué)拓展型問題，對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性、主動(dòng)性，提高教學(xué)學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)具有重要作用。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)教學(xué) 拓展型問題 教學(xué)設(shè)計(jì) 自主探究

數(shù)學(xué)新課程強(qiáng)調(diào)教師在教學(xué)中要關(guān)注不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，為學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)素材和足夠的思維空間，開展適宜的數(shù)學(xué)活動(dòng)，使每一位學(xué)生都能得到充分的發(fā)展。為此，在教學(xué)中適時(shí)地設(shè)置拓展型問題，獲得了廣大數(shù)學(xué)教師的認(rèn)同。

拓展型問題就是從數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際需要出發(fā)，基于學(xué)生的知識(shí)水平和認(rèn)知能力，適度延展教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)具有一定探究性的問題，通過有效的教與學(xué)的方式，幫助學(xué)生理解知識(shí)、掌握技能、積累經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)能力。下面以南京市正在使用的江蘇科學(xué)技術(shù)出版社出版的初中數(shù)學(xué)教材《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》中的教學(xué)內(nèi)容為例，談?wù)劷虒W(xué)中設(shè)置拓展型問題的實(shí)踐與思考。

一、在啟課教學(xué)中拓展要有“沖突"

在知識(shí)發(fā)生階段設(shè)計(jì)的拓展型問題，要積極面向?qū)W生豐富的生活世界，使其不僅富有趣味性，而且具有挑戰(zhàn)性，使學(xué)生面對(duì)適度的困難，形成“認(rèn)知沖突”，以此激發(fā)學(xué)生的探究熱情，讓學(xué)生在自主探索、合作交流中建構(gòu)新知識(shí)。

例1“5.1物體位置的確定”（八年級(jí)上冊(cè)）

上課之初，出示問題：

如果明天我班召開學(xué)生家長(zhǎng)會(huì)，某同學(xué)的父母不知學(xué)校、班級(jí)的位置在哪里，你將如何向他們描述，以便他們能順利找到？

這個(gè)聯(lián)系生活的拓展問題，蘊(yùn)含了數(shù)據(jù)描述與定位的內(nèi)在“沖突”，需要學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)，通過課堂中的交流討論，嘗試?yán)脭?shù)據(jù)描述學(xué)校、班級(jí)的位置，包括學(xué)校的門牌號(hào)、班級(jí)所在的教學(xué)樓、班級(jí)的編號(hào)等等，使學(xué)生理解數(shù)據(jù)與位置之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，體會(huì)數(shù)據(jù)在物體位置確定中的作用。

例2“2.1圓（第1課時(shí)）”（九年級(jí)上冊(cè)）

（1）上課之初，請(qǐng)兩個(gè)學(xué)生在黑板上用粉筆徒手畫圓；

（2）討論：不用圓規(guī)，怎樣才能畫得圓些？

本例通過學(xué)生徒手畫圓，以及討論怎樣才能畫得圓些，使學(xué)生經(jīng)歷嘗試操作和分析調(diào)整，引導(dǎo)學(xué)生用塑料線綁住粉筆畫圓，并參與給圓下定義：在平面內(nèi)把一條線段繞其一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形叫做圓。本例從操作畫圓到學(xué)生參與下定義，漸次顯現(xiàn)這一拓展問題的數(shù)學(xué)思維價(jià)值。

二、在知識(shí)鞏固中拓展要有“門徑"

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，當(dāng)?shù)贸鲂碌母拍睢⒍ɡ?、公式、法則后，為了加深學(xué)生對(duì)新知識(shí)內(nèi)涵的理解，可以利用某些問題的變式設(shè)計(jì)拓展型問題，幫助學(xué)生挖掘內(nèi)涵、界定外延，全面準(zhǔn)確地理解新知識(shí)、掌握新方法。

例3“6.4探索三角形相似的條件（第2課時(shí)）”（九年級(jí)下冊(cè)）

教學(xué)中，在得到“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”的定理后，出示問題：請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種分法，將圖1中的直角三角形分割成四個(gè)小三角形，使得每個(gè)小三角形與原三角形都相似，并說明理由。

在本例中，學(xué)生分割原直角三角形時(shí)，需要不斷地構(gòu)造出兩個(gè)角分別相等的相似三角形，也就是要反復(fù)創(chuàng)造條件使用兩個(gè)三角形相似的判定定理。通過在分割圖形中的嘗試、操作、分析、調(diào)整，可以增進(jìn)學(xué)生對(duì)這一判定定理的理解和掌握。

例4“4.2等可能條件下的概率（一）（第2課時(shí)）”（九年級(jí)上冊(cè)）

在課本例題3的教學(xué)之后，出示問題：

某校有A、B兩個(gè)餐廳，甲、乙、丙三名學(xué)生各自隨機(jī)選擇其中的一個(gè)餐廳用餐。

（1）求甲、乙、丙三名學(xué)生在同一個(gè)餐廳用餐的概率；

（2）求甲、乙、丙三名學(xué)生中至少有一人在B餐廳用餐的概率。

本例是用“樹狀圖”計(jì)算等可能條件下的概率，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。在畫“樹狀圖”時(shí)須做到既不重復(fù)也不遺漏地列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，這里，畫“樹狀圖”就是搭建分析處理問題的平臺(tái)，相對(duì)于教材中的例題，本例是另外一類典型問題，畫的“樹狀圖”也不同。通過這個(gè)問題，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)用“樹狀圖”解決概率問題方法的理解和掌握。

三、在知識(shí)應(yīng)用中拓展要有“規(guī)律”

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，在知識(shí)的應(yīng)用階段設(shè)計(jì)拓展型問題，可以適度延伸拓展教學(xué)內(nèi)容，關(guān)注各領(lǐng)域知識(shí)的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的綜合和應(yīng)用，突出數(shù)學(xué)思想方法，通過學(xué)生的探索研究、教師的適時(shí)啟發(fā)，使學(xué)生能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問題和解決問題，感悟其中內(nèi)在的數(shù)學(xué)規(guī)律，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)能力。

例5“12.3二次根式的加減（第2課時(shí)）”（八年級(jí)下冊(cè)）

在課本例題4的教學(xué)之后，出示問題：

如圖2，以長(zhǎng)為2的定線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連結(jié)PD，在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使PF=PD。以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上。求AM，DM的長(zhǎng)，并請(qǐng)說明AM²=AD·DM.

本例中，畫圖的過程實(shí)際上是求作線段AD的黃金分割點(diǎn)M的過程。本題是二次根式加減運(yùn)算在幾何問題中的一個(gè)直接應(yīng)用，實(shí)際上也是用根式運(yùn)算描述黃金分割的本質(zhì)和特性。經(jīng)過本例的教學(xué)，可以提高學(xué)生對(duì)二次根式與一些特殊圖形之間內(nèi)在關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

例6“2.2軸對(duì)稱的性質(zhì)（第2課時(shí)）”（八年級(jí)上冊(cè)）

在課堂小結(jié)之前，出示問題：

（1）如圖3，方格紙中的直線l₁∥l₂，直線l₁與l₂的距離為3，如果點(diǎn)P到直線l₁的距離為a（a<3）。點(diǎn)P關(guān)于直線l₁的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)P₁，點(diǎn)P₁關(guān)于直線l₂的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)P₂，那么PP₂的長(zhǎng)是多少？

（2）如圖3，方格紙中的直線l₁與l₂交于點(diǎn)O，它們的夾角為θ（0°<θ≤45°），點(diǎn)P關(guān)于直線l₂的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)P₁，點(diǎn)P₁關(guān)于直線l₂的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)P₂，那么∠POP₂的度數(shù)是多少？

本例拓展了課本研究一次軸對(duì)稱變換的問題，定量研究?jī)纱巫儞Q后的圖形之間的內(nèi)在關(guān)系。問題（1）中，兩個(gè)對(duì)稱軸是相互平行的，要揭示的規(guī)律是：一個(gè)點(diǎn)與經(jīng)過兩次軸對(duì)稱變換后所得的點(diǎn)之間的距離問題；問題（2）中，兩個(gè)對(duì)稱軸是相交的，要揭示的規(guī)律是：一個(gè)點(diǎn)與經(jīng)過兩次軸對(duì)稱變換后所得的點(diǎn)與交點(diǎn)構(gòu)成的角的度數(shù)問題。它們既是軸對(duì)稱性質(zhì)的直接應(yīng)用，也是軸對(duì)稱變換中蘊(yùn)含的另一些可以定量描述的性質(zhì)。

四、在小結(jié)回顧中拓展要有“增益"

數(shù)學(xué)課堂小結(jié)是教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的總結(jié)和再認(rèn)識(shí)，它也為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊和準(zhǔn)備。在小結(jié)回顧階段設(shè)置拓展型問題就是在課末提出有一定思維價(jià)值的問題，幫助學(xué)生邊梳理知識(shí)，邊作進(jìn)一步探究和思考。由于小結(jié)所處特殊的教學(xué)時(shí)段，可以與學(xué)生課后思考相連，因此設(shè)置拓展型問題具有相對(duì)較大的彈性和空間，形式上也可以更加豐富多彩。

例7“9.5多項(xiàng)式的因式分解（第4課時(shí)）”（七年級(jí)下冊(cè)）

在本課課堂小結(jié)時(shí)，出示問題：

（1）閱讀下述材料：

對(duì)一些二次三項(xiàng)式，如果利用完全平方公式，可以將它們變成兩個(gè)整式的平方，我們就能對(duì)它們進(jìn)行分解因式，例如可以如下分解因式x²+2x-8：

x²+2x-8=x²+2x+1-9=（x+1）²-32

=[（x+1）+3][（x+1）-3]=（x+4）（x-2）.

（2）參照上述方法，將下列各式分解因式：

①x²+4x-5；②x²-6x+5.

本例的小結(jié)，是通過新的問題情境，梳理了利用完全平方公式、平方差公式進(jìn)行因式分解這一方法，同時(shí)延伸了教學(xué)內(nèi)容，以一類二次三項(xiàng)式作為探究素材，學(xué)習(xí)了一種新的因式分解方法，拓展了學(xué)生的視野。

例8“3.1平均數(shù)（第2課時(shí)）”（九年級(jí)上冊(cè)）

在本課課堂小結(jié)時(shí)，出示問題：

某養(yǎng)雞場(chǎng)分3次用雞蛋孵化出小雞，每次孵化所用的雞蛋數(shù)、每次的孵化率（孵化率=（孵化出的小雞數(shù)/孵化所用雞蛋數(shù)）×100%）分別如圖5、圖6所示。

（1）求該養(yǎng)雞場(chǎng)這3次孵化小雞的平均孵化率；

（2）如果要孵化出2000只小雞，根據(jù)上面計(jì)算結(jié)果，估計(jì)該養(yǎng)雞場(chǎng)要用多少個(gè)雞蛋？

本例中，依據(jù)兩張統(tǒng)計(jì)圖呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)信息，再一次對(duì)“平均數(shù)”進(jìn)行了梳理和總結(jié)，接著利用平均孵化率進(jìn)行預(yù)測(cè)，將平均數(shù)、統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用、樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想結(jié)合在一起，能有效提升學(xué)生利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值。

總之，教師在設(shè)置拓展型問題時(shí)既要依據(jù)教學(xué)要求，又要根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，把握好難度、深度，讓學(xué)生親歷探索研究的過程，逐步掌握認(rèn)識(shí)事物、發(fā)現(xiàn)真理的方法，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要意義。

[責(zé)任編輯 郭振玲]