浙江省諸暨市海亮小學(xué) 陳 慧

圖形的魅力
——論“幾何直觀”在小學(xué)低段數(shù)學(xué)中表現(xiàn)的幾種形式

浙江省諸暨市海亮小學(xué) 陳 慧

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）先后多處就“幾何直觀”的教學(xué)提出了明確要求。本文僅結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的典型案例，談?wù)劇皫缀沃庇^”在小學(xué)低段數(shù)學(xué)中表現(xiàn)的幾種形式。

幾何直觀；低段數(shù)學(xué)；表現(xiàn)形式

“幾何直觀”的內(nèi)涵可以從兩個(gè)角度進(jìn)行解析：一是幾何，在這里幾何是指圖形；二是直觀，這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西，更重要的是依托現(xiàn)在看到的東西和以前看到的東西進(jìn)行思考、想象。

作為新課程標(biāo)準(zhǔn)在“課程內(nèi)容”中重點(diǎn)闡述的應(yīng)該發(fā)展學(xué)生“10大核心概念”之一，對(duì)于幾何直觀，《標(biāo)準(zhǔn)》還明確指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。此外，對(duì)于數(shù)學(xué)直觀，著名數(shù)學(xué)家徐利治先生也有過對(duì)幾何直觀的描述：幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系，產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知。西方哲學(xué)家通常認(rèn)為，直觀就是未經(jīng)充分邏輯推理而對(duì)事物本質(zhì)的一種直接洞察，直接把握對(duì)象的全貌和對(duì)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。以這些理論知識(shí)作為基礎(chǔ)，結(jié)合個(gè)人的思考和分析之后認(rèn)為：幾何直觀就是依托、利用展現(xiàn)或想象出來(lái)的幾何圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)地思考和想象，它在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力。

多年的小學(xué)低段數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐經(jīng)歷，使筆者充分意識(shí)到了培養(yǎng)和發(fā)展小學(xué)生“幾何直觀”能力的必要性和重要性。因而，對(duì)于依據(jù)知識(shí)自身的特點(diǎn)和兒童認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，實(shí)施有針對(duì)性的課堂教學(xué)，在以下幾個(gè)方面結(jié)合具體的實(shí)例進(jìn)行了思考和探索。

一、實(shí)物直觀

即實(shí)物層面的幾何直觀，是指借助與研究對(duì)象有著一定關(guān)聯(lián)的實(shí)際存在物，借助其與研究對(duì)象之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行簡(jiǎn)捷、形象的思考，獲得邏輯的、形式的結(jié)論。

案例一：為什么余數(shù)一定要比除數(shù)小

1.觀察算式，得出結(jié)論

在二年級(jí)下冊(cè)第六單元講有余數(shù)的除法時(shí)，我讓學(xué)生觀察每個(gè)除法算式：

11÷5=2……1

12÷5=2……2

13÷5=2……3

14÷5=2……4

15÷5=3

16÷5=3……1

師：看看每個(gè)算式中的余數(shù)和除數(shù)，你們有什么發(fā)現(xiàn)？（學(xué)生沒有頭緒）

師追問：我把除數(shù)和余數(shù)標(biāo)上不用的顏色，你們?cè)僮屑?xì)觀察，余數(shù)和除數(shù)比，有什么關(guān)系？（余數(shù)都比除數(shù)小）

師：可是為什么余數(shù)都比除數(shù)小，余數(shù)能和除數(shù)一樣大嗎？

部分學(xué)生說出了如果余數(shù)和除數(shù)一樣大，就可以再多商一個(gè)1，但還有一些同學(xué)似懂非懂、不明算理。

2.實(shí)物擺弄，探究規(guī)律

看到學(xué)生似懂非懂的表情，我知道雖然結(jié)論已經(jīng)得出，但是學(xué)生還沒有完全理解余數(shù)一定要比除數(shù)小的深層算理，為了挖掘出“余數(shù)一定要比除數(shù)小的”深層算理，我設(shè)置了問題情境，采用小組合作、動(dòng)手操作的形式完成下面的問題。先讓學(xué)生在小組內(nèi)分一分，再全班反饋。

一組：有11個(gè)草莓，每5個(gè)為一份，可以分成幾份？

二組：有12個(gè)草莓，每5個(gè)為一份，可以分成幾份？

三組：有13個(gè)草莓，每5個(gè)為一份，可以分成幾份？

四組：有14個(gè)草莓，每5個(gè)為一份，可以分成幾份？

五組：有15個(gè)草莓，每5個(gè)為一份，可以分成幾份？

六組：有16個(gè)草莓，每5個(gè)為一份，可以分成幾份？

各組完成操作后，每個(gè)組派一名代表上臺(tái)講解自己組分的過程，有的小組借助笑臉，有的小組借助小棒，有的小組直接在黑板上畫圓分析，有的小組用實(shí)物圖分草莓，都說出了自己分的過程。

一組：11張笑臉，每5個(gè)為一份，可以分成兩份， 還剩下1個(gè)，不夠分了。

二組： 12根小棒，每5個(gè)為一份，可以分成兩份，還剩下2根，不夠分了。

三組：畫了13個(gè)圓，每5個(gè)為一份，可以分成兩份，還剩下3個(gè)，不夠分了。

四組：畫個(gè)14個(gè)草莓，每5個(gè)為一份，可以分成兩份，還剩下4個(gè)，不夠分了

……

待學(xué)生講述完分法后，我讓學(xué)生進(jìn)一步觀察，并提問：

師：剩下的為什么不分了？剩下多少的時(shí)候就不夠分了？（1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)）

師：剩下5個(gè)夠分嗎？6個(gè)呢？

生1：剩下5個(gè)剛好分出1份，剩下6個(gè)，也能多分出1份呢！

生2：剩下的5個(gè)，或者比5個(gè)多，就能多分出1份。

師：現(xiàn)在你知道，余下的數(shù)和除數(shù)之間到底有什么關(guān)系了吧？（余數(shù)比除數(shù)小）

師：誰(shuí)能再說說是為什么？

生1：如果余數(shù)比除數(shù)大了，那就還要再分一份，還要接著分。

生2：我覺得，余數(shù)和除數(shù)一樣大了也不行，這樣正好還能再分一份，剛好分完，就沒有余數(shù)了。

師引導(dǎo)小結(jié)：余數(shù)一定要比除數(shù)小。

學(xué)生通過借助各種實(shí)物模型，直觀形象地感受著余數(shù)與除數(shù)之間的關(guān)系，使得“余數(shù)一定要比除數(shù)小”不再只是學(xué)生機(jī)械地記在心里的一句法則，而是通過“數(shù)形結(jié)合”理解內(nèi)化的數(shù)學(xué)知識(shí)。由此可見，實(shí)物直觀，能較好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、幫助學(xué)生理解，并為知識(shí)的后續(xù)學(xué)習(xí)奠定能力基礎(chǔ)。

二、圖形直觀

圖形直觀是以明確的幾何圖形為載體，通過演繹、轉(zhuǎn)化、推導(dǎo)、驗(yàn)證，從而得出結(jié)論的一種幾何直觀。

案例二：“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”

在“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”中，用到的線段圖就是一種通過運(yùn)用基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問題，有助于探索、發(fā)現(xiàn)解決問題的思路的一種直觀圖示。

出示例題：擦桌椅的有12人，掃地的有4人，擦桌椅的人數(shù)是掃地的幾倍？

師：你能用畫圖的方法解決這個(gè)問題嗎？

展示示意圖1：

擦桌椅的：︱︱︱︱ ︱︱︱︱ ︱︱︱︱

掃地的：︱︱︱︱

師：說說你是怎么想的？

生：把掃地的4人看成一份，擦桌椅的有這樣的3份，那就是擦桌椅的人數(shù)是掃地的3倍。

師：其實(shí)我們還可以將示意圖簡(jiǎn)化，畫出線段圖。

師引導(dǎo)畫線段圖理清兩者之間的數(shù)量關(guān)系。

邊畫邊說：如果用一段表示擦桌椅的人數(shù)（4人），那么掃地的有這樣的幾段？

12÷3＝4

答：學(xué)生的人數(shù)是老師的4倍。

這種圍繞“借助直觀、展示過程、啟迪思維”的學(xué)習(xí)模式，幫助我們把困難的數(shù)學(xué)問題變?nèi)菀祝殉橄蟮臄?shù)學(xué)問題變簡(jiǎn)單，使我們較好的理解題意，提高解題的能力。

三、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀

簡(jiǎn)約符號(hào)層面的幾何直觀，就是在現(xiàn)實(shí)生活原型的基礎(chǔ)上進(jìn)行一定的數(shù)學(xué)抽象而形成的半符號(hào)化的直觀。

案例三：衣服、褲子怎么搭？

課件出示：新年到了，媽媽為敏敏準(zhǔn)備了2件上衣，3條褲子。

師：每次上衣穿1件，褲子穿1條，一共有幾種不同的穿法？

生1：4種。

生2：5種。

生3：6種。

……

師：到底有幾種？誰(shuí)能清楚、有序地來(lái)搭一搭？

（學(xué)生們各顯神通，有借助學(xué)具擺一擺的，有用連線的方法連一連的，有用文字書寫的方法寫下來(lái)的。）

師：為了表述的方便，我們把2件上衣用字母A，B來(lái)表示，把3條褲子用字母a，b，c來(lái)表示。那在呈現(xiàn)搭配方法的時(shí)候就可以用Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc來(lái)表示。

邊講解邊板書。

隨后老師又設(shè)計(jì)了中餐一葷一素的搭配、動(dòng)物園參觀路線的設(shè)計(jì)安排等一系列的題目，通過學(xué)生的觀察、轉(zhuǎn)化、交流，使學(xué)生明白各種不同的搭配可盡可能地轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)字、字母、符號(hào)，數(shù)學(xué)就是一條“數(shù)學(xué)——幾何——圖形”形成的關(guān)系鏈。

數(shù)學(xué)低段教學(xué)中“借助幾何直觀進(jìn)行思考”的典型案例，在發(fā)展學(xué)生的思維活動(dòng)方面，不僅僅能夠深化理解，而且能夠培養(yǎng)一種獨(dú)特的思維方式——憑借簡(jiǎn)捷、直觀的載體，巧妙地化簡(jiǎn)問題直至化解問題。“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。”空間形式最主要的表現(xiàn)就是“圖形”，在數(shù)學(xué)研究、學(xué)習(xí)和講授中，我們不僅需要關(guān)注研究圖形的方法、研究圖形的結(jié)果，還需要感悟圖形給我們帶來(lái)的好處。我們要將相對(duì)抽象的思考對(duì)象“圖形化”，盡量把問題、計(jì)算等數(shù)學(xué)的過程變得直觀，因此，在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要盡量地做到：能畫圖時(shí)盡量畫。

[1]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]徐利治.談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗(yàn)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2000（5）：1－4.

[3]劉曉枚.再?gòu)摹皫缀沃庇^談起”[J].小學(xué)教學(xué)，2012：7-8.