仝琴

【摘 要】古代烽火臺(tái)傳遞軍情的原理蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)歸納法，教學(xué)中我們可以借鑒原理講授數(shù)學(xué)歸納法及其證題步驟，增強(qiáng)教學(xué)的形象性和生動(dòng)性。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)歸納法；證題步驟；注意問(wèn)題

古代人沒(méi)有無(wú)線電通訊設(shè)備，他們是用什么方法傳達(dá)軍情信息的呢？春秋戰(zhàn)國(guó)人發(fā)明的烽火臺(tái)在當(dāng)時(shí)就是最好的辦法。我國(guó)古代的長(zhǎng)城，就是從春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期開(kāi)始修筑，至明代終止，共修長(zhǎng)城十萬(wàn)多里，是我國(guó)古代巨型而多功能的軍事防御體系。其中屹立在長(zhǎng)城上的一座烽火臺(tái)，是傳遞軍情的報(bào)警設(shè)施，其傳遞軍情的方法還蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)歸納法原理。

一、古代烽火臺(tái)傳遞軍情的原理

烽火臺(tái)上的守軍要用烽火來(lái)傳遞軍情，必須執(zhí)行兩道點(diǎn)火報(bào)警的命令：1.發(fā)現(xiàn)敵情，立即點(diǎn)火；2.看到相鄰的烽火臺(tái)點(diǎn)火后，依次立即點(diǎn)火。

若把發(fā)現(xiàn)敵情的烽火臺(tái)編為第一號(hào)，在其后面的（按同一方向）依次編為2，3，4……則上面兩道命令就是：

1.第1號(hào)首先點(diǎn)火

2.若第k號(hào)點(diǎn)了火，一定引起第k+1號(hào)點(diǎn)火

第1號(hào)烽火臺(tái)在發(fā)現(xiàn)敵情后火速點(diǎn)火，為了傳遞敵情分別順次引燃第2號(hào)、第3號(hào)、第4號(hào)……烽火臺(tái)，這里必須注意兩點(diǎn)：一是必須依次；而是要一個(gè)接一個(gè)。只有這樣才能順利將敵情傳遍長(zhǎng)城，使萬(wàn)里“邊疆”都知道敵情。

這兩道命令又是必要的，第一道命令是傳遞的基礎(chǔ)，第二道命令是傳遞的依據(jù)，若缺其一，都無(wú)法完成傳遞任務(wù)。例如《三國(guó)演義》中，關(guān)云長(zhǎng)鎮(zhèn)守荊州時(shí)，為了防備東吳進(jìn)犯，在長(zhǎng)江邊設(shè)置了烽火臺(tái)。但東吳大將呂蒙，先麻痹對(duì)方，然后乘人不備夜襲烽火臺(tái)，將守臺(tái)軍士捉起來(lái)，無(wú)法點(diǎn)火報(bào)警，以致失去傳遞軍情的基礎(chǔ)，東吳大軍偷襲了荊州。

二、數(shù)學(xué)歸納法及其證題步驟

數(shù)學(xué)歸納法，是根據(jù)自然數(shù)列是有始、有序、無(wú)限的性質(zhì)，把“個(gè)別情況”有無(wú)窮多個(gè)又能與自然數(shù)集一一對(duì)應(yīng)的“一般結(jié)論”的命題，通過(guò)證明“開(kāi)始的情況正確”及“前一情況正確必然導(dǎo)出后一個(gè)正確”這兩步，達(dá)到驗(yàn)證所有“個(gè)別情況”都正確，從而證明了“一般結(jié)論”正確。這一推理方法屬完全歸納法，是一種科學(xué)的證明方法。

使用數(shù)學(xué)歸納法的先決條件，是能把研究對(duì)象排成一序列，也就是命題要與自然數(shù)有關(guān)。正如萬(wàn)里長(zhǎng)城的烽火臺(tái)也是有序的，能按這個(gè)序編號(hào)為1，2，3……否則就無(wú)法利用自然數(shù)列的有序性來(lái)傳遞。

因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)自然數(shù)n有關(guān)的命題，需完成以下兩步：

1.證明當(dāng)n取第一個(gè)值n時(shí)命題正確

2.假定n=k時(shí)命題正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也正確

第一步是歸納的基礎(chǔ)，要證明原命題里第一個(gè)命題正確。相當(dāng)于“第一號(hào)首先點(diǎn)火”，亦如要建高樓大廈首先要建底層。第二步是歸納的遞推，要證明從前一個(gè)到后一個(gè)命題正確的傳遞性。相當(dāng)于“若第K號(hào)點(diǎn)了火，一定引起傳遞性”。相當(dāng)于“若第k號(hào)點(diǎn)了火，一定引起第k+1號(hào)點(diǎn)火”。這兩步是缺一不可的，否則就無(wú)法保證命題正確。例如，命題“正偶數(shù)都是質(zhì)數(shù)”，能完成第一個(gè)步驟的證明；而例題“正奇數(shù)的平方必是偶數(shù)”，能完成第二個(gè)步驟的證明。但他們顯然都不正確。

三、教學(xué)數(shù)學(xué)歸納法時(shí)要注意的問(wèn)題

在教學(xué)中，應(yīng)例舉實(shí)例說(shuō)明這兩步的作用及必要性。但更重要的是使學(xué)生真正理解這兩步的實(shí)際含義，在證明中才落到實(shí)處。

第一步實(shí)質(zhì)是驗(yàn)證原命題里第一個(gè)例題正確。也就是“當(dāng)n取第一個(gè)值n時(shí)命題正確”是需要驗(yàn)證的。原命題若是一個(gè)等式或不等式，就是把n=n，分別帶入式子的兩邊計(jì)算，驗(yàn)證該式成立。而決不能把n=n。直接帶入全式，否則就是虛假、形式的驗(yàn)證。

第二步是證明從n=k到n=k+1命題正確的傳遞性。也就是把還不是已知的歸納假設(shè)“當(dāng)n=k時(shí)命題正確”看作“已知”，歸納結(jié)論“當(dāng)n=k+1時(shí)命題也正確”是要證明的。這一步是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵和難點(diǎn)。

首先讓學(xué)生理解歸納假設(shè)和歸納結(jié)論的實(shí)際含義，真正掌握“已知”什么、要證什么，才能做好分析和證明。歸納結(jié)論是原命題里第k+1號(hào)命題，證明時(shí)一般從“左邊”（設(shè)為條件），通過(guò)推理，得到“右邊”（設(shè)為判斷）。證明中，為便于思考，應(yīng)把條件和判斷分開(kāi)。但不必把判斷寫入證明中，可寫在草稿上作為證明目標(biāo)，以便尋找證題思路。

例：求證：13+23+33+…+n3=n2（n+1）2

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=13=1，右邊×12×（1+1）2=1等式成立。

（2）為了說(shuō)明第二步的方法，現(xiàn)將步驟及內(nèi)容表述如下：

1.寫出歸納假設(shè)：假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即13+23+33+…+k3=k2（k+1）2

2.寫出歸納結(jié)論的條件和判斷（判斷寫在草稿上）：則當(dāng)n=k+1時(shí)，條件：13+23+34+…+k2+（k+1）2，判斷：=13+23+23+…+k3+（k+1）3判斷：=（k+1）2[（k+1）+1]2

3.改造條件，以便應(yīng)用歸納假設(shè)：=（13+23+33+…+k3）+（k+1）3

4.利用歸納假設(shè)，從條件推出判斷

5.寫出該步結(jié)論：∴當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立

由（1）和（2）可知，對(duì)于任何自然數(shù)n，等式都成立。

因此，用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，必須遵循這兩個(gè)步驟，這兩個(gè)步驟是缺一不可的。證明過(guò)程中還必須注意結(jié)論的完整性。第一步證明得到一個(gè)結(jié)論：“當(dāng)n=n0時(shí)命題正確”；第二步證明，在當(dāng)n=k時(shí)命題正確的假設(shè)下，得到一個(gè)結(jié)論：“當(dāng)n=k+1時(shí)命題也正確”；由這兩個(gè)結(jié)論就得到一個(gè)總結(jié)論：“從n0開(kāi)始的所有自然數(shù)n，命題都正確”。這就證明了原例題正確。

綜上所述，萬(wàn)里長(zhǎng)城的烽火臺(tái)傳遞軍情的方法蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)歸納法的原理。在教學(xué)中若運(yùn)用這樣的實(shí)例，能化抽象為具體，既使學(xué)生容易理解和掌握數(shù)學(xué)歸納法，又能引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還滲透了愛(ài)國(guó)主義教育。

【參考文獻(xiàn)】

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