王志和

【摘要】數(shù)學(xué)歸納法是高中內(nèi)容概念課中的重要而又特別的一節(jié).是由有限向無(wú)限跨越的重要一環(huán).對(duì)學(xué)生的認(rèn)知是一個(gè)很難跨越的“坎兒”.對(duì)數(shù)學(xué)歸納法能夠深入淺出的描述具有重要意義.如何使得數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)更加通俗，更加適合學(xué)生的認(rèn)知層次；做到“低起點(diǎn)、小坡度、高品味、重人文”課堂中學(xué)生神采奕奕，信心滿(mǎn)滿(mǎn)；即有學(xué)科德育滲透，又使課堂輕松愉快，是教師力爭(zhēng)達(dá)成的目標(biāo).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)歸納法；人文關(guān)懷；熱傳導(dǎo)；遞推

1數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)實(shí)錄

導(dǎo)言常言道：千里之行始于足下.做事情要從眼下開(kāi)始，一步一個(gè)腳印，堅(jiān)實(shí)的前行，百折不回，第一步是第二步的基礎(chǔ)，第二步是第三步的基礎(chǔ)，依次勇敢的走下去，任何艱巨的任務(wù)我們也可以完成.

這樣的思想，這樣的豪情壯語(yǔ)，就是今天的數(shù)學(xué)課的內(nèi)容——數(shù)學(xué)歸納法（書(shū)寫(xiě)課題）.

以上語(yǔ)言的中心思想總結(jié)成兩點(diǎn)：

（1）要有良好的開(kāi)端——良好的開(kāi)端是成功的一半.

（2）承前啟后，持之以恒，步步登高.

有了以上兩個(gè)條件，我們就可以蒸蒸日上，永續(xù)華章.

下面從數(shù)學(xué)角度慢慢分析這個(gè)原理.

引例1上海地理等級(jí)考試傳出捷報(bào)，我班的同學(xué)中，1號(hào)是A+，2號(hào)是A+，3號(hào)是A+，…，于是，我斷定：我們班的38名同學(xué)都A+.

設(shè)計(jì)意圖采用不完全歸納法，為下面的問(wèn)題作對(duì)比，形成認(rèn)知期待.

教師：這種推理方法叫做不完全歸納法，這樣猜到的結(jié)論不一定正確，那么通過(guò)什么樣的方法猜的結(jié)論一定是正確的呢，我們看一下引例2.

引例2拿一根短鐵絲，一頭燒得很熱，另一頭慢慢的也熱了，這時(shí)能否斷定整個(gè)鐵絲都是熱的.

通過(guò)物理知識(shí)（實(shí)際上學(xué)生在小學(xué)的科學(xué)課上就做過(guò)這樣的實(shí)驗(yàn)）可知，這是金屬的熱傳導(dǎo)，實(shí)際上是分子之間的能量的傳遞，即可以把熱由一處往另一處傳遞.

設(shè)計(jì)意圖關(guān)于用生活的例子解釋數(shù)學(xué)歸納法，我們經(jīng)歷了長(zhǎng)時(shí)間的思考，也有一些例子，比如下面的“星星之火，可以燎原.”“千里之堤，毀于蟻穴.”等等.都是一些很好的例子，也和數(shù)學(xué)歸納法的思想很相近，但感覺(jué)這些例子距學(xué)生的生活比較遠(yuǎn)，對(duì)解釋數(shù)學(xué)歸納法有些欠妥.偶然聽(tīng)物理公開(kāi)課，突然想到在物理學(xué)科中有一些這樣的例子.比如波的傳遞，電流的傳遞等，有了這些想法以后，通過(guò)和物理老師交流，選定了用熱的傳遞來(lái)解釋更貼切.因?yàn)殍F絲傳熱是看得見(jiàn)摸得到的，每位同學(xué)都有體會(huì)，而波的傳遞等都比較抽象.

教師：想想，引例1中有沒(méi)有這樣的傳遞現(xiàn)象？

通過(guò)分析，引例1中學(xué)生的成績(jī)不具有傳遞性，即1號(hào)同學(xué)的成績(jī)對(duì)2號(hào)同學(xué)沒(méi)有影響，不能把1號(hào)同學(xué)得A+傳給2號(hào)同學(xué)使2號(hào)同學(xué)得A+.但鐵絲中前面分子如果具有很高的能量，就可以把能量傳給后面的分子.這樣可以使短鐵絲整體都熱.

引例3設(shè)a1，a2，a3，…，an，…都是實(shí)數(shù)，且a1=0，an+1=n3·an，求an.

解：有的學(xué)生馬上就說(shuō)，an=0.

教師：為什么？學(xué)生回答：a1=0可以推出a2=0，a2=0可以推出a3=0，…，

依次下去，就有an=0.

設(shè)計(jì)意圖提起數(shù)學(xué)歸納法，我們都會(huì)想到用多米諾骨牌去講授，但多米諾骨牌本身有些同學(xué)并不了解.而且需要一些假設(shè)才能完成.有人做過(guò)調(diào)查問(wèn)卷，要使所有骨牌都倒下，學(xué)生想的條件并不是我們所想象的那樣簡(jiǎn)單的給出數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟.并且其弱點(diǎn)是有限多個(gè)，對(duì)于無(wú)限多的問(wèn)題在類(lèi)比上欠妥當(dāng).在這個(gè)環(huán)節(jié)上有研究者撰文用集合元素的任意性以及直線(xiàn)與平面垂直的直線(xiàn)的任意性等來(lái)類(lèi)比，我們感覺(jué)這里的圈子繞得有點(diǎn)大.我們這里給出的就是一個(gè)無(wú)限的問(wèn)題，學(xué)生非常容易的得出an=0.事實(shí)上，這種設(shè)計(jì)就是多米諾骨牌的數(shù)學(xué)化.

師生共同總結(jié)：

這里a1=0傳到a2，得a2=0；由a2=0傳到a3，得a3=0，….可見(jiàn)這個(gè)問(wèn)題具有傳遞性.依次傳下去，就有an=0（n∈N*）.

這里的“依次傳下去”，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言怎樣解釋呢？就是前一個(gè)ak=0能推出后一個(gè)ak+1=0.也就是如果對(duì)某個(gè)ak=0，那么一定能推出它的后面的ak+1=0.

詳細(xì)一點(diǎn)說(shuō)，k=1時(shí)成立，a1=0，推出k+1=2時(shí)成立，即a2=0；接著令k=2，即a2=0，推出k+1=3時(shí)成立，即a3=0；再令k=3，即a3=0，推出k+1=4成立，即a4=0，….即所有的an=0（n∈N*）.（這就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的優(yōu)勢(shì)?。?/p>

總結(jié)：上面能推出an=0需要什么條件：

（1）a1=0（鐵絲一端被燒熱）；

（2）這種解決問(wèn)題的方式具有傳遞性（有熱傳導(dǎo)現(xiàn)象發(fā)生），即如果ak=0，能推出ak+1=0.

用這種方法證明下面的引例4

引例4數(shù)列{an}的遞推公式：a1=2，且an+1=a2n-nan+1（n∈N*），求證：an=n+1.

證明（1）由a1=2=1+1（可知此時(shí)要證命題成立）（鐵絲一頭被燒熱）

（2）下面看一看這個(gè)問(wèn)題是否具有傳遞性（是否有導(dǎo)熱現(xiàn)象發(fā)生）？

這時(shí)實(shí)踐表明，學(xué)生們大都還是在進(jìn)行如下操作：由a1=2得a2=3；由a2=3得a3=4，由a3=4得a4=5，….

到這里，有的同學(xué)說(shuō)：an=n+1.

有另外的同學(xué)反對(duì)：沒(méi)有全算出來(lái)，不行！

教師：這種算法永無(wú)止境，那么回顧一下引例3，如何說(shuō)明這種算法具有傳遞性.

總結(jié)出：如果（即假設(shè)）n=k時(shí)命題成立，即假設(shè)ak=k+1；那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

ak+1=a2k-kak+1=（k+1）2-k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1.

即可以把a(bǔ)k=k+1傳給它后面的ak+1，使得ak+1=（k+1）+1.依次下去，當(dāng)n∈N*時(shí)，都有an=n+1.

設(shè)計(jì)意圖傳統(tǒng)的引例是用關(guān)于正整數(shù)n的等式（如下面的例2）等闡述遞推規(guī)律，但簡(jiǎn)單的等式一般要選擇等差數(shù)列和等比數(shù)列，這時(shí)學(xué)生常常感覺(jué)用遞推方法解題（數(shù)學(xué)歸納法）是多此一舉.即選擇用遞推數(shù)列時(shí)應(yīng)遵循的原則是這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式很好歸納（如本處的引例4），而且很難轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列.這樣的例子是很難找的，我們也是經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間思考才想到這個(gè)引例4的.當(dāng)學(xué)生看到引例4時(shí)，因?yàn)橛猩厦娴囊?做鋪墊，加之遞推數(shù)列的結(jié)構(gòu)，很容易做出猜想判斷.

以上求證過(guò)程可簡(jiǎn)單的梳理成：

第一步是，先證實(shí)（驗(yàn)證）n取第一個(gè)正整數(shù)（上面的是n=1）時(shí)（命題）成立；

第二步是，證明這樣命題的正確性具有傳遞性，即如果（假設(shè)）n=k時(shí)命題成立，能推出n=k+1時(shí)命題成立.

用這樣證明有關(guān)正整數(shù)n的命題的方法我們稱(chēng)為數(shù)學(xué)歸納法.

關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法，有詩(shī)為證：

開(kāi)山鼻祖，基業(yè)輝煌；

父業(yè)子承，永續(xù)擔(dān)當(dāng)；

代代相傳，傳統(tǒng)弘揚(yáng)；

前程似錦，萬(wàn)世流芳.

設(shè)計(jì)意圖用言簡(jiǎn)意賅的小詩(shī)做方法的總結(jié)和提煉，學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)，同時(shí)也道出了數(shù)學(xué)歸納法的思想精髓.使得深邃的道理在愉快愜意中得到理解，促使認(rèn)識(shí)的提高和升華.

例1（1）已知數(shù)列{an}中，a1=3，an+1=an+3·4n，對(duì)任意n∈N*，求證：an是3的倍數(shù).

（2）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=4n-1，對(duì)任意n∈N*，求證：an是3的倍數(shù).

設(shè)計(jì)意圖第（1）小題是學(xué)生常見(jiàn)的一類(lèi)數(shù)列，實(shí)踐表明，一些學(xué)生常常是求出通項(xiàng)公式，即第二問(wèn)的an=4n-1.我們這里給出第（2）小題，有兩個(gè)意圖，第一是使有的學(xué)生迷途知返，以期用數(shù)學(xué)歸納法證明第（1）小題，熟悉數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟；第二是對(duì)整除問(wèn)題的解法先給出一個(gè)鋪墊，因?yàn)橛辛说冢?）小題，使得第（2）小題可以借用第（1）小題的遞推式去解.實(shí)踐證明，學(xué)生作第（2）小題時(shí)可能出現(xiàn)：

假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)命題成立，即ak=4k-1是3的倍數(shù)，ak+1=4k+1-1，

兩式相減得：ak+1-ak=3·4k，亦即ak+1=ak+3·4k，于是可知ak+1是3的倍數(shù)，

即n=k+1時(shí)命題成立.

由第一步和第二步可知對(duì)任意n∈N*均有命題成立.

還可能出現(xiàn)把a(bǔ)k+1=4k+1-1寫(xiě)成ak+1=4（4k-1）+3，即ak+1=4ak+3，一樣可得命題.

例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+5+…+（2n-1）=n2.

證明過(guò)程略.

設(shè)計(jì)意圖熟悉方法，簡(jiǎn)單應(yīng)用.

例3（1）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=（n2-5n+5）2，小欣計(jì)算得：a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，于是，小欣斷言，對(duì)所有的n∈N*，都有an=1.

小欣的斷言是否正確.

（2）小明想用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+3+…+n=n（n+1）2+2016，證明方法如下，請(qǐng)同學(xué)們思考一下是否合理，并說(shuō)明理由.

假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)，等式成立，即1+2+3+4+…+k=k（k+1）2+2016成立，

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，

左邊=1+2+3+4+…+k+（k+1）+2016=k（k+1）2+2016+（k+1）=k（k+1）+2（k+1）2+2016=（k+1）（k+2）2+2016.

右邊=（k+1）（k+2）2+2016，

所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立

所以等式對(duì)一切正整數(shù)都成立.

（3）小紅想用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+4+…+n=n（n+1）2，證明方法如下，請(qǐng)同學(xué)們思考一下是否合理，并說(shuō)明理由.

（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立

（2）假設(shè)n=k（k∈N*，k≥1）時(shí)，等式成立，即1+2+3+4+…+k=k（k+1）2成立.

當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=1+2+3+4+…+k+（k+1）=（k+1）（1+k+1）2=（k+1）（k+2）2.

右邊=（k+1）（k+2）2.

所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立.

由（1）（2）知，對(duì)n∈N*公式都成立

設(shè)計(jì)意圖（1）是防止學(xué)生由不完全歸納法做出錯(cuò)誤判斷.（2）和（3）反復(fù)緊扣數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)條件，（2）問(wèn)缺少了奠基，結(jié)果用“數(shù)學(xué)歸納法”證出了一個(gè)假命題，引起學(xué)生認(rèn)識(shí)沖突，讓學(xué)生深刻理解奠基的作用（否則將以訛傳訛）；（3）問(wèn)在突出第二個(gè)條件：傳遞性，剛開(kāi)始學(xué)生可能認(rèn)為第二小問(wèn)的證法是正確的，在教師點(diǎn)撥后學(xué)生幡然醒悟，傳遞性也更加深入人心.三個(gè)反例對(duì)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法起到警示作用.

2關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法引例的若干思考

關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的導(dǎo)引，我們通過(guò)了幾年時(shí)間的思考，想過(guò)了很多例子，在這里舉出若干，以供教學(xué)參考.

（1）多米諾骨牌.

（2）萬(wàn)丈高樓平地起，用建造樓房說(shuō)明原理.

（3）火車(chē)跑得快，全靠車(chē)頭拽.用火車(chē)頭及其聯(lián)接來(lái)說(shuō)明.

（4）星星之火，可以燎原.

原意是：有一點(diǎn)火焰，從里到外，慢慢燃燒，會(huì)燃遍所有草原.即：首先有一個(gè)火種，其次是前面草燃燒的火焰能將后面的草點(diǎn)燃，這樣會(huì)燃遍所有草原.

（5）奧運(yùn)火炬接力.

（6）美國(guó)故事：金盞花的純白色種子的形成過(guò)程.

（7）小米1、小米2，……，小米手機(jī)系列；或者用微信圈等.

（8）杜牧的詩(shī)：過(guò)華清宮：

長(zhǎng)安回望繡成堆，山頂千門(mén)次第開(kāi).

一騎紅塵妃子笑，無(wú)人知是荔枝來(lái).（用古代的驛站去說(shuō)明.）

（9）佛教的思想：世間有輪回，人能轉(zhuǎn)世.前生是今生的因，來(lái)世是今生的果.前世修來(lái)今生受，今生修積后世人.用佛教修煉來(lái)生去說(shuō)明原理.

（10）宋代秦觀（即秦少游）的《客懷》：靜思伊久阻歸期，久阻歸期憶別離.憶別離時(shí)聞漏轉(zhuǎn)，時(shí)聞漏轉(zhuǎn)靜思伊，…….去說(shuō)明遞推.

（11）老子的：“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物.”

（12）學(xué)生在東方綠舟軍訓(xùn)玩過(guò)的“人浪”游戲 .

（13）上課伊始，跟學(xué)生玩如下游戲：按班級(jí)同學(xué)的學(xué)號(hào)從小到大再接回，我們班級(jí)是38人，一號(hào)接二號(hào)，依次下去，38號(hào)結(jié)束后一號(hào)再接，無(wú)限下去…，如一號(hào)說(shuō)：一馬當(dāng)先，二號(hào)接：先人后己，三號(hào)接：己所不欲，勿施于人，四號(hào)接：人定勝天，五號(hào)接：天理不容，六號(hào)接：容我好好想想，七號(hào)接：鄉(xiāng)間小路（短語(yǔ)、諧音語(yǔ)句都可以）……，問(wèn)學(xué)生，這樣接下去，能接多久，學(xué)生答：要永遠(yuǎn)接下去….

（14）腳著謝公屐，身登青云梯，半壁見(jiàn)海日，空中聞天雞，…….——李白《夢(mèng)游天姥吟留別》，用登天梯表示遞推.

（15）欲窮千里目，更上一層樓.

（16）千里之堤，毀于蟻穴.

（17）江山代有人才出，各領(lǐng)風(fēng)騷數(shù)百年.（18）高一軍訓(xùn)，學(xué)生排成一隊(duì)，教官命令，報(bào)數(shù)：學(xué)生：1，2，3，4，….

（19）史書(shū)《周禮》中有這樣一段記載“在各國(guó)從邊疆到腹地的通道上，每隔一段距離，筑起一座烽火臺(tái)，接連不斷，臺(tái)上有桔槔，桔槔頭上有裝著柴草的籠子，有敵人入侵時(shí)，烽火臺(tái)就一個(gè)接一個(gè)地燃放煙火傳遞警報(bào).

有什么條件可使烽火臺(tái)依次全部點(diǎn)燃？

①第一個(gè)點(diǎn)燃；

②看到第一個(gè)烽火臺(tái)點(diǎn)燃，第二個(gè)烽火臺(tái)就要點(diǎn)燃，依次第三個(gè)烽火臺(tái)，….

即在第k個(gè)烽火臺(tái)點(diǎn)燃時(shí)，能引起第k+1個(gè)烽火臺(tái)點(diǎn)燃.

（20）我姓王，我為什么姓王，是因?yàn)槲业胀?，我爹為什么姓王，是因?yàn)槲业牡胀?，…，一直追溯上去，直到我的祖輩中第一輩被封為王氏，一直傳遞下來(lái).

我們來(lái)梳理一下，我們家族都姓王有幾個(gè)條件，首先第一輩姓王，其次，姓王的這個(gè)姓氏能永遠(yuǎn)傳遞下去（假如每代王姓都能傳到下一代），使得我們這個(gè)家族祖祖輩輩姓王了.

即“n=1（第一代）時(shí)姓王；如果某一代姓王亦即n=k（代）時(shí)姓王，推出（下一代）即n=k+1（代）姓王.”于是我就姓王了.

（21）芝麻開(kāi)花節(jié)節(jié)高.這實(shí)際上是數(shù)學(xué)歸納法的很好寫(xiě)照.