王小荷

[摘 要]對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)作業(yè)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行深度剖析，發(fā)現(xiàn)除了學(xué)生個(gè)別的因素之外，教師對(duì)內(nèi)容的理解和教學(xué)方法的選擇是影響學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的主要原因。在理解數(shù)學(xué)課程特點(diǎn)和要求及剖析學(xué)生錯(cuò)誤原因的基礎(chǔ)上，教師不斷改進(jìn)教學(xué)方法、優(yōu)化習(xí)題設(shè)計(jì)，能夠有效減少學(xué)生的錯(cuò)誤，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué) 錯(cuò)誤 干預(yù) 精講 剖析 動(dòng)態(tài)生成

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2016）29-023

根據(jù)《小學(xué)數(shù)學(xué)錯(cuò)題資源庫的建設(shè)與應(yīng)用》的課題設(shè)計(jì)，我校組織了五年級(jí)上冊(cè)期初錯(cuò)題摸底檢測(cè)，下面我就對(duì)我校四位教師任教的四個(gè)不同班級(jí)學(xué)生的錯(cuò)例進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì)。在統(tǒng)計(jì)中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的共同錯(cuò)誤也存在著不少差異，因?yàn)槲覍?duì)這四位教師的方程教學(xué)做過一些研究，所以特別留意方程教學(xué)的后繼問題，以下是反映方程教學(xué)中學(xué)生兩道錯(cuò)題的統(tǒng)計(jì)情況。

差異一（見表1）：

這是整份摸底試題中錯(cuò)誤率最高的一道題：“爸爸體重A千克，比小東體重的3倍少15千克，小東的體重是（ ）千克?！?/p>

這是一道錯(cuò)誤率較高的題，但對(duì)乙教師任教的班級(jí)學(xué)生來說卻不存在困難，錯(cuò)誤率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于全體學(xué)生樣本的錯(cuò)誤率。

差異二（見表2）：

在解方程3×6+2x=40中，我校四位教師任教的班級(jí)學(xué)生的錯(cuò)誤也存在較大的差異性。

出現(xiàn)這些差異的原因是什么？這種差異對(duì)我們的數(shù)學(xué)教學(xué)有何啟示？面對(duì)問題，我陷入了深深的思考之中。

一、不同的教學(xué)方法，學(xué)生出現(xiàn)不同的錯(cuò)誤

我對(duì)方程教學(xué)進(jìn)行了研究，在研究中發(fā)現(xiàn)：不同的教學(xué)方法，學(xué)生有著不同的錯(cuò)誤。

教學(xué)解方程前，我曾經(jīng)進(jìn)行過前測(cè)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于解類似15-○=13、1.5÷▼=0.3的算式不存在問題，幾個(gè)班級(jí)學(xué)生的正確率均達(dá)到95%以上，甚至解如2.5÷x=10、10-x=8.3這樣的方程，學(xué)生的正確率也達(dá)到90%以上，各個(gè)班級(jí)學(xué)生的差異較小。檢測(cè)后，我們都各自按照自己的習(xí)慣和方式進(jìn)行教學(xué)。

甲教師和丁教師同時(shí)呈現(xiàn)兩種解方程的不同方法，然后讓學(xué)生自己選擇方法解題，據(jù)他們反映，學(xué)生喜歡用四則運(yùn)算的意義解方程，利用等式性質(zhì)解方程因書寫麻煩而被學(xué)生舍去。

乙教師有三十多年的教齡，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富，工作很負(fù)責(zé)，且做事嚴(yán)謹(jǐn)，重視利用四則運(yùn)算的意義解方程。她的課訓(xùn)練強(qiáng)度較大，對(duì)于用等式性質(zhì)解方程屬于任務(wù)式教學(xué)。

丙教師（我）在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)用等式性質(zhì)解方程，重視等式平衡原理的應(yīng)用，在學(xué)生基本掌握等式性質(zhì)解方程后，也進(jìn)行用四則運(yùn)算的意義解方程的教學(xué)（但現(xiàn)在回顧起來覺得練習(xí)度不夠，對(duì)未知數(shù)在減數(shù)和除數(shù)位置上的方程干預(yù)太遲），同時(shí)把兩者進(jìn)行了有機(jī)的結(jié)合。如在解方程2x-20=4時(shí)，我做了以下這樣的銜接。

2x-20+20=4+20（方程左右兩邊同時(shí)加上20，用來消去左邊的“-20”，但是為了書寫簡(jiǎn)便，我不要求學(xué)生寫出“+20”，甚至前面的“-20”也可以省略）

2x=4+20（利用等式性質(zhì)思考解題過程，同時(shí)通過觀察，可以解釋為“被減數(shù)=差+減數(shù)”）

x=24÷2（方程左右兩邊同時(shí)除以2，用來消去左邊的“×2”，還可以解釋為“因數(shù)=積÷另一個(gè)因數(shù)”）

這樣練習(xí)兩節(jié)課之后，我再讓學(xué)生總結(jié)發(fā)現(xiàn)解方程的規(guī)律——移項(xiàng)規(guī)律。

方程教學(xué)后，我進(jìn)行了一次后測(cè)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤明顯地烙上了教師教的痕跡，即12÷x=0.4、31.4-x=2.08這類題的錯(cuò)誤率，我班學(xué)生要稍高于其他班級(jí)。這是因?yàn)槲以诮虒W(xué)解方程的第一課時(shí)沒有注意去消除學(xué)生的錯(cuò)誤，而當(dāng)時(shí)課堂作業(yè)本中卻出現(xiàn)了類似12÷x=0.4的方程，學(xué)生因?yàn)槠胶庠淼膽T性影響，在解題時(shí)出現(xiàn)了不少錯(cuò)誤。但是類似ax+（-）b=c的稍復(fù)雜的方程，我所教的班級(jí)學(xué)生錯(cuò)誤很少，特別是3.4x-9.8=1.4x+9這類題，我班學(xué)生的錯(cuò)誤率要遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于其他班級(jí)，如我班學(xué)生的錯(cuò)誤率是9.3%，另一個(gè)班級(jí)學(xué)生的錯(cuò)誤率是40%。同樣，在期初摸底檢測(cè)中有解方程3×6+2x=40一題，我班沒有一個(gè)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤，正確率居然達(dá)到了100%。在去年期末檢測(cè)中，我班學(xué)生解方程的錯(cuò)誤率只有4.7%，也明顯低于其他班級(jí)。這是因?yàn)槔玫仁叫再|(zhì)解方程避免了學(xué)生死記硬背，給學(xué)生帶來方便，尤其是解復(fù)雜的方程更顯示出優(yōu)越性。例如，盈虧問題中所列的方程，我班學(xué)生基本能解出來，而另外班級(jí)的學(xué)生在解題時(shí)明顯失去了方向，因而也產(chǎn)生了許多錯(cuò)誤。

正因?yàn)槊總€(gè)教師對(duì)方程教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)不同，使學(xué)生出現(xiàn)不同的錯(cuò)誤。看來，“不同的教學(xué)方法導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)不同的錯(cuò)誤”是一個(gè)不爭(zhēng)的事實(shí)。

二、學(xué)生的錯(cuò)誤，可以在有效的干預(yù)中減少

學(xué)生的錯(cuò)誤既然和我們的教學(xué)有關(guān)，那么我們就要想辦法進(jìn)行有效干預(yù)，讓錯(cuò)誤消失在萌芽狀態(tài)。根據(jù)《小學(xué)數(shù)學(xué)錯(cuò)題資源庫的建設(shè)與應(yīng)用》的研究計(jì)劃，我們對(duì)學(xué)生解題錯(cuò)誤進(jìn)行了預(yù)設(shè)，這其實(shí)是干預(yù)工作的前奏。只有充分了解學(xué)生的認(rèn)知水平，了解各知識(shí)的特點(diǎn)，我們才能開展干預(yù)工作。以下是錯(cuò)誤預(yù)設(shè)、錯(cuò)因分析和提前干預(yù)的一個(gè)典型案例。

在括號(hào)里填上合適的單位名稱：一只貨運(yùn)集裝箱的體積大約是70（ ）。

我所教的（2）班，62位學(xué)生中居然有40位學(xué)生填了“立方分米”，錯(cuò)誤率達(dá)到63.3%。后來我調(diào)查這些學(xué)生，發(fā)現(xiàn)五分之三的學(xué)生知道立方米的意義，但不知道什么是集裝箱、集裝箱是干什么的；有近五分之一的學(xué)生能比劃出1立方米的大小，但沒有真正明白立方米的意義，故而填上了立方分米；其他學(xué)生則完全沒有考慮，不假思索就填上了立方分米。從這些分析可以看出，學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的不足是導(dǎo)致錯(cuò)誤產(chǎn)生的主要原因。換言之，為學(xué)生提供足夠的感性材料，可以減少學(xué)生錯(cuò)誤的發(fā)生。

（2）班教學(xué)的失敗，讓我立即對(duì)（1）班的教學(xué)進(jìn)行重新思考。教學(xué)中，我特別重視感性材料的運(yùn)用。

1.認(rèn)識(shí)1立方厘米

師（拿出1立方厘米的正方體學(xué)具）：同學(xué)們，這小立方體所占的空間就是1立方厘米，請(qǐng)量一量它們的棱長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：正方體的棱長(zhǎng)是1厘米。

生2：棱長(zhǎng)是1厘米的正方體體積是1立方厘米。

師：生活中哪些物體的體積接近1立方厘米？

生3：骰子。

生4：我手中用剩的橡皮也接近1立方厘米。

……

師：哪些物體的體積用立方厘米作單位比較合適呢？（學(xué)生立即從文具里找出物品，一只只小手舉得高高的）

生5：橡皮接近10立方厘米。

生6：講臺(tái)上的墨水瓶盒子接近100立方厘米。

生7：我的自動(dòng)筆接近7立方厘米。

……

2.認(rèn)識(shí)1立方分米

師：如果老師想知道你們抽屜所占的空間有多大，用1立方厘米為標(biāo)準(zhǔn)去估量，可以嗎？

生：太麻煩了。

師：用哪一個(gè)學(xué)具比較簡(jiǎn)便些呢？（學(xué)生自然知道是1立方分米的正方體）

師：這是一個(gè)棱長(zhǎng)為1分米的正方體，它的體積是1立方分米。同學(xué)們，能否用1立方分米為標(biāo)準(zhǔn)去估量抽屜有多大？（得出抽屜大約是15立方分米，老師的講臺(tái)大約是800多立方分米）

師：家里哪些物體的體積也適合用立方分米作單位？

生：微波爐、熱水瓶、洗衣機(jī)、電視機(jī)的體積都可以用立方分米作單位。

3.認(rèn)識(shí)1立方米

（師徑直走向前門，在角落處量出棱長(zhǎng)是1米的正方體空間，讓學(xué)生站入里面看看可以容納幾個(gè)人，學(xué)生一數(shù)共有9位，然后讓學(xué)生估一估教室大約有多少立方米）

師：生活中還有哪些物體的體積用立方米作單位比較合適？

生：房子的空間，車廂的空間，倉(cāng)庫的空間……

師：那么，集裝箱的體積用什么作單位呢？

……

平時(shí)（1）班學(xué)生不管是學(xué)習(xí)能力，還是基礎(chǔ)知識(shí)都明顯落后于（2）班學(xué)生，兩個(gè)班平時(shí)考試的平均分相差5～8分左右，但本題（1）班的錯(cuò)誤率只有9.3%，且發(fā)生錯(cuò)誤的五位學(xué)生都是學(xué)困生，明顯低于（2）班63.3%的錯(cuò)誤率。其實(shí)，兩個(gè)班的教學(xué)方法基本相同，只是利用感性材料的程度不同，即讓（1）班學(xué)生有充分的時(shí)間尋找感性材料，特別是大體積的物體。居然這么一點(diǎn)干預(yù)，就產(chǎn)生了如此之大的差異。

后來，我發(fā)現(xiàn)教材練習(xí)中也有這么一道題，但它是以圖片的方式呈現(xiàn)，結(jié)果我發(fā)現(xiàn)（1）班學(xué)生的正確率還是高于（2）班。雖然我對(duì)（2）班已經(jīng)在課后重新擴(kuò)充感性材料，但畢竟是后補(bǔ)的教學(xué)，沒有獲得像（1）班那樣渾然一體的課堂效果。所以說，最有效的課堂學(xué)習(xí)是最成功的！等學(xué)生發(fā)生錯(cuò)誤，再去彌補(bǔ)就費(fèi)力了。這又讓我明白了學(xué)生的錯(cuò)誤是可以進(jìn)行有效干預(yù)的，最理想的干預(yù)是讓學(xué)生的錯(cuò)誤消失在萌芽狀態(tài)。

三、有效干預(yù)的關(guān)鍵，在于教師的精講

學(xué)生的錯(cuò)誤是不可避免的。面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤，教師不僅習(xí)慣從學(xué)生中找原因，如學(xué)生的認(rèn)知能力低下、學(xué)習(xí)品質(zhì)不良等，還習(xí)慣從教材中找原因，如教材與練習(xí)不配套、知識(shí)板塊編排不合理等，就是不愿承認(rèn)自身的教學(xué)缺陷。其實(shí)，教學(xué)一線的教師心里都亮堂著：一堂準(zhǔn)備充分的課，帶給學(xué)生的是高效率的學(xué)習(xí)！

許多錯(cuò)誤確實(shí)來自學(xué)生本身，如有的是因?yàn)閷忣}欠仔細(xì)出錯(cuò)；有的是因?yàn)闀鴮懥?xí)慣不好出錯(cuò)；有的是因?yàn)檎J(rèn)知水平偏下，無法建構(gòu)新的知識(shí)系統(tǒng)，導(dǎo)致沒有掌握新知識(shí)，更不會(huì)解決問題……雖然教材也是導(dǎo)致學(xué)生出錯(cuò)的一個(gè)原因，但正如葉圣陶先生所說的那樣“教材無非是一個(gè)例子，是一個(gè)方向，是一個(gè)學(xué)習(xí)方案，是一種思維方法”。將文本中通用的課程轉(zhuǎn)化為課堂上具體鮮活的課程，需要教師對(duì)教材進(jìn)行必要的加工和重組，才能變?yōu)閷W(xué)生快樂學(xué)習(xí)的材料。從這個(gè)角度來說，這里的關(guān)鍵還是教師本身。

一句話，不管是學(xué)生自身的因素，還是教材的因素，教師是決定因素。在學(xué)生把教材知識(shí)內(nèi)化為自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中，教師擔(dān)負(fù)著橋梁作用，因?yàn)榻處煹囊I(lǐng)關(guān)系到學(xué)生能否真正形成新的知識(shí)系統(tǒng)，關(guān)系到他們是否能建立起新舊知識(shí)的連接點(diǎn)，所以對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤進(jìn)行有效干預(yù)的關(guān)鍵在于教師。教師能否讓自己的精講與學(xué)生的巧練有機(jī)結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的有效建構(gòu)呢？課堂教學(xué)中，教師的精講有以下幾個(gè)途徑。

1.從課程的角度把握教材

教師要認(rèn)真研究教材，對(duì)整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系做到心中有數(shù)，特別是要熟悉各知識(shí)間的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系，為創(chuàng)造性地使用教材提供方向。

2.從學(xué)習(xí)的角度明確教學(xué)重、難點(diǎn)和學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)

教師應(yīng)吃透每一節(jié)課的內(nèi)容，分析課中的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，不僅要把本節(jié)課的作業(yè)親自演練一次，預(yù)設(shè)學(xué)生可能發(fā)生的錯(cuò)誤，而且要把這些錯(cuò)誤提前進(jìn)行分解，讓這些知識(shí)難點(diǎn)在課堂上得到有效突破。這樣可為學(xué)生搭建起一座新舊知識(shí)溝通的橋梁，讓學(xué)生的錯(cuò)誤消失在萌芽狀態(tài)。

3.從動(dòng)態(tài)生成的角度及時(shí)干預(yù)

在課堂教學(xué)過程中，教師要善于捕捉信息，抓住學(xué)生即時(shí)生成的典型錯(cuò)題，及時(shí)干預(yù)、補(bǔ)救，讓錯(cuò)題成為寶貴的教學(xué)資源。

4.從認(rèn)知強(qiáng)化的角度設(shè)計(jì)練習(xí)

教師要依據(jù)認(rèn)知的心理規(guī)律和學(xué)生的實(shí)際情況設(shè)計(jì)練習(xí)，達(dá)到“解一題，帶一串，學(xué)一塊”的效果，使學(xué)生在練習(xí)中感悟解題方法，掌握基本技能，提高解決問題的能力。

5.從教學(xué)反思的角度剖析學(xué)生的錯(cuò)誤

教師對(duì)學(xué)生產(chǎn)生的錯(cuò)誤要及時(shí)分析，研究對(duì)策，把握各類題訓(xùn)練的實(shí)質(zhì)。同時(shí)，教師要善于積累學(xué)生的典型錯(cuò)例，每節(jié)課后做好隨堂錯(cuò)例的記錄，為下一次的干預(yù)提供材料。

當(dāng)然，教師的精講固然重要，但也離不開學(xué)生的巧練。這里的巧練，不是指簡(jiǎn)單機(jī)械的重復(fù)訓(xùn)練，而是指教師根據(jù)學(xué)生錯(cuò)例精心設(shè)計(jì)的題組訓(xùn)練，讓學(xué)生不斷深入領(lǐng)悟這些知識(shí)的內(nèi)涵。例如，對(duì)“爸爸體重A千克，比小東體重的3倍少15千克，小東的體重是（ ）千克”一題的解答，我校乙教師任教班級(jí)的43位學(xué)生中只有7位學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤，究其原因，是乙教師對(duì)這道題進(jìn)行了多方面的練習(xí)。我自己雖然也對(duì)這道題進(jìn)行了精講，但是因?yàn)榫毩?xí)度不夠，學(xué)生的正確率不高。在五年級(jí)期初摸底檢測(cè)中，我發(fā)現(xiàn)以前教學(xué)時(shí)學(xué)生錯(cuò)誤率較高的題目，在檢測(cè)中卻已經(jīng)不存在問題了，錯(cuò)誤率都基本降低到10%以下，這說明有效練習(xí)是減少學(xué)生錯(cuò)誤的必要手段。

通過實(shí)踐，我覺得巧練要抓好以下幾個(gè)環(huán)節(jié)。

第一，加強(qiáng)審題訓(xùn)練。

學(xué)生很大一部分作業(yè)錯(cuò)誤來自于審題不仔細(xì)，所以加強(qiáng)學(xué)生的審題訓(xùn)練是減少學(xué)生錯(cuò)誤的一個(gè)有效辦法。特別是在應(yīng)用性練習(xí)中，因?yàn)闂l件繁多，學(xué)生往往容易疏忽其中的條件，從而導(dǎo)致解答出錯(cuò)。課堂教學(xué)中，我要求學(xué)生至少讀兩次題目，第一次讀，讀清里面的故事情節(jié)，即條件和問題；第二次讀，讀出題目的信息（隱含的信息）告訴了我們什么，然后回顧題目，在頭腦中構(gòu)建出此類題目的解法，如說出解題方案，先解決什么，再解決什么。

第二，精心設(shè)計(jì)題組練習(xí)。

從鞏固新知的基本練習(xí)，到突破教學(xué)重、難點(diǎn)的應(yīng)用練習(xí)（主要是學(xué)生的易錯(cuò)題，所以要環(huán)繞著教學(xué)重、難點(diǎn)來設(shè)計(jì)），再到發(fā)展學(xué)生能力的拓展練習(xí)，一環(huán)扣一環(huán)，讓學(xué)生通過練習(xí)熟練掌握新知，同時(shí)感悟到學(xué)習(xí)這些知識(shí)的必要性。因?yàn)橐还?jié)課的時(shí)間有限，所以一般分兩節(jié)課完成這樣的練習(xí)任務(wù)。

練習(xí)題的設(shè)計(jì)應(yīng)遵循艾濱浩斯的遺忘規(guī)律，運(yùn)用“先多后少，先快后慢”的策略，讓學(xué)生逐漸鞏固所學(xué)知識(shí)。如一節(jié)新課學(xué)習(xí)后跟著上一節(jié)練習(xí)課，學(xué)完下一知識(shí)點(diǎn)后連帶復(fù)習(xí)上節(jié)課的有關(guān)知識(shí)，再在單元練習(xí)中進(jìn)行鞏固，這樣學(xué)生基本上能正確掌握這一知識(shí)內(nèi)容了。有關(guān)練習(xí)強(qiáng)度我也曾經(jīng)做過研究，發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)對(duì)于學(xué)生來說，需要練習(xí)到一定的量，才能產(chǎn)生從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化。這個(gè)量需要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況而定，但是對(duì)于一般學(xué)生來說，不少于6～8題。

第三，培養(yǎng)學(xué)生良好的作業(yè)習(xí)慣。

學(xué)生作業(yè)中常出現(xiàn)抄錯(cuò)、看錯(cuò)等現(xiàn)象，還有因?yàn)闀鴮懓婷媪鑱y，造成解答混亂等問題，所以我要求學(xué)生作業(yè)書寫整齊的同時(shí)，注重書寫版面的設(shè)計(jì)，做完作業(yè)必須檢查一次后再上交。

總之，學(xué)生是千差萬別的，學(xué)生錯(cuò)例研究的道路也是漫長(zhǎng)而曲折的。在林林總總的學(xué)生錯(cuò)題里，我們教師還要去求索，哪怕是“衣帶漸寬人憔悴”。我相信總會(huì)有“驀然回首，卻在燈火闌珊處”的頓悟，也期待課題研究成功給我們帶來“叢中笑”的那份喜悅。

（責(zé)編 杜 華）