袁培培

摘 要：對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的研究在高中可分為兩個(gè)階段：第一個(gè)階段是在數(shù)學(xué)《必修1》中，用定義研究函數(shù)單調(diào)性；第二階段在《選修2-2》中，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在高考中占有重要的一席之地，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中大家公認(rèn)的重要章節(jié)，曾多次觀摩、聽(tīng)評(píng)該課，并在參加講課比賽中因該課獲一等獎(jiǎng)，故有一些認(rèn)識(shí)和體會(huì)，在此與同仁們分享，共同探究。

關(guān)鍵詞：函數(shù)教學(xué)；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)設(shè)計(jì)

熟悉教材的老師都知道，任教A版必修教材的主編寄語(yǔ)中提到數(shù)學(xué)是自然的、數(shù)學(xué)是清楚的、數(shù)學(xué)是有用的，整套教材力求做到概念引入“自然”、邏輯敘述“清楚”、知識(shí)體系“有用”，如何結(jié)合學(xué)生實(shí)際利用好教材，最大限度地發(fā)揮教材的實(shí)用性，成為老師們教學(xué)研究中津津樂(lè)道的內(nèi)容。

一、數(shù)學(xué)是自然的

人教A版教材中利用高臺(tái)跳水引出學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生觀察兩個(gè)圖象（一是高度隨時(shí)間變化的圖象，一是速度隨時(shí)間變化的圖象），發(fā)現(xiàn)函數(shù)的增減與導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的聯(lián)系。意在借此體現(xiàn)數(shù)學(xué)在物理和生活中的應(yīng)用。而現(xiàn)實(shí)教學(xué)中很少有老師選用這一素材，因?yàn)閺膶?shí)際生活中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題并加以研究加大了學(xué)生的認(rèn)知難度，不利于新課的講授。多數(shù)教師會(huì)直接利用課本第二個(gè)環(huán)節(jié)引課：結(jié)合大量的函數(shù)實(shí)例，借助圖象（幾何直觀）讓學(xué)生觀察、歸納、得出結(jié)論。這樣的設(shè)計(jì)符合學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，降低了認(rèn)知難度。但僅僅利用幾個(gè)學(xué)生已經(jīng)耳熟能詳?shù)暮瘮?shù)就想體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的價(jià)值，大有簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化之嫌。

筆者認(rèn)為好的引課首先應(yīng)該是自然的、承上啟下的、符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的、能吸引學(xué)生注意力的。在必修一中學(xué)生已經(jīng)知道了利用基本初等函數(shù)的圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，并在后續(xù)拓展中了解了利用“同增異減”可以判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于其他函數(shù)的單調(diào)性又該如何判斷呢？有統(tǒng)一的方法嗎？筆者結(jié)合課本，精心設(shè)計(jì)三個(gè)表，基本覆蓋了前面所學(xué)的導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則，起到鞏固前知的作用。三個(gè)表的安排又各有深意，表1意在體現(xiàn)利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，表2意在利用單調(diào)函數(shù)的加減和復(fù)合函數(shù)求單調(diào)性，對(duì)于表3中的函數(shù)又該如何求單調(diào)性呢？提出問(wèn)題，通過(guò)表格間的聯(lián)系層層遞進(jìn)地引入新課，通過(guò)求前面三個(gè)表中各函數(shù)導(dǎo)函數(shù)大于0的解集，學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中親身體驗(yàn)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，認(rèn)識(shí)到導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)單調(diào)性通法的意義所在。這樣的引課正如主編寄語(yǔ)中說(shuō)的：“概念的形成實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味?！?/p>

二、數(shù)學(xué)是清楚的

“清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的結(jié)論。只要按照數(shù)學(xué)規(guī)則，按部就班地學(xué)，循序漸進(jìn)地想，絕對(duì)可以學(xué)懂?！苯滩闹欣?利用大量的篇幅舉例如何利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，甚至在第（3）（4）問(wèn)中去除部分關(guān)鍵內(nèi)容讓學(xué)生填空，力求清楚地表達(dá)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}邏輯格式。但是結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者認(rèn)為教材的安排還不夠合理、不夠清楚。問(wèn)題不在解題過(guò)程，而在例題的選取。4個(gè)小例中有3個(gè)定義域?yàn)镽，另一個(gè)給出了x的取值范圍，例題的講解中沒(méi)有涉及求定義域，缺少了這一環(huán)節(jié)，很容易讓學(xué)生忽略定義域?qū)握{(diào)性的影響，而恰恰這是萬(wàn)萬(wàn)不可的。所以，在教學(xué)中整合教材，合理地選取例題是十分有必要的。

三、數(shù)學(xué)是有用的

教材第24頁(yè)有一個(gè)思考：“請(qǐng)同學(xué)們回顧一下函數(shù)單調(diào)性的定義，并思考某個(gè)區(qū)間上函數(shù)y=f（x）的平均變化率的幾何意義與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系?！倍鄶?shù)老師在處理這一環(huán)節(jié)時(shí)選擇忽略，從得到定義后直接進(jìn)入例題講解。筆者認(rèn)為這樣做是不恰當(dāng)?shù)?，編者提出這個(gè)問(wèn)題不是空穴來(lái)風(fēng)，定是有用的。課本設(shè)計(jì)結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系，沒(méi)有進(jìn)行嚴(yán)格的證明，因?yàn)閲?yán)格的證明需要導(dǎo)數(shù)的很多基礎(chǔ)知識(shí)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)本節(jié)的教學(xué)要求。但是不給證明不代表可以不問(wèn)究竟，究竟為什么利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性，如何解答學(xué)生心中的疑慮？這里的思考把導(dǎo)數(shù)的定義與函數(shù)的單調(diào)性定義聯(lián)系起來(lái)，從概念的角度表達(dá)兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，相當(dāng)于旁證。所以，對(duì)“思考”的探究就顯得十分必要了。

教材內(nèi)容的重構(gòu)既要依托于教材又要超越教材，靈活地、創(chuàng)造性地、個(gè)性化地對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行“裁剪”，對(duì)教學(xué)資源做出合理的選擇和優(yōu)化，為學(xué)生一一呈現(xiàn)出具有系統(tǒng)性和完整性的數(shù)學(xué)課，是教育一線者的不懈追求。

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