李思凝

(沈陽師范大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，遼寧 沈陽 110000)

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凸函數(shù)的判定、性質與應用研究

李思凝

(沈陽師范大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，遼寧 沈陽 110000)

摘要：凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，它的概念最早見于Jensen[1905]著述中。它在純粹數(shù)學和應用數(shù)學的眾多領域中具有廣泛的應用，現(xiàn)已成為數(shù)學規(guī)劃、對策論、數(shù)理經(jīng)濟學、變分學和最優(yōu)控制等學科的理論基礎和有力工具。本文著重研究了凸函數(shù)，擬凸函數(shù)，嚴格預不變擬凸函數(shù)的定義，性質，以及凸函數(shù)在經(jīng)濟學中的應用。

關鍵詞：凸函數(shù)；擬凸函數(shù)；嚴格預不變擬凸函數(shù)；應用

1引言

凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，在數(shù)學的許多領域中都有著廣泛的應用，但是它的局限性也很明顯。如何推廣函數(shù)的凸性概念，使得在更廣泛的函數(shù)范圍內(nèi)，凸函數(shù)的許多重要性質仍然得以保留，所以研究廣義凸函數(shù)的一些定義和性質就顯得十分必要了。函數(shù)的凸與凹反映在幾何上是對應曲線(曲面)的彎曲方向,如圖，本文稱函數(shù)f(x)在[a,b]上凹函數(shù)，在[b,c]上是凸函數(shù)。

2凸函數(shù)的多種定義

定義1設函數(shù)f(x)在(a,b)上有定義,若曲線y=f(x)上任意兩點間的弧線總位于連接這兩點的弦之上,則稱f(x)是區(qū)間(a,b)上的凸函數(shù)。

定義2設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),若對于

(1)

則稱f(x)是[a,b]上的凸函數(shù)。

定義3在區(qū)間(a,b)內(nèi)定義的函數(shù)f(x),如果對任意n個點x1,x2,…,xn∈(a,b),有

(2)

則稱函數(shù)f(x)是(a,b)內(nèi)的凸函數(shù)。

定義4設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),若對于?x1,x2∈[a,b]及

0≤t≤1,f[(1-t)x1+tx2]≥(1-t)f(x1)+tf(x2)

(3)

則稱f(x)是[a,b]上的凸函數(shù)。

3凸函數(shù)在經(jīng)濟學中的應用

無差異曲線用來表示消費者偏好相同的兩種商品的所有組合，如下圖所示，橫軸和縱軸分別表示商品1的數(shù)量x和商品2的數(shù)量y，曲線L1、L2分別表示兩條不同商品組合的無差異曲線。

L1曲線是連續(xù)的，并在x軸上的具有二階導數(shù)，二階導數(shù)又是大于零的，所以無差異曲線是凸函數(shù)。

從上圖可以明顯地看出，無差異曲線的斜率為負值，而且無差異曲線斜率的絕對值是遞減的。商品的邊際替代率遞減規(guī)律決定了無差異曲線具有這樣的特征。下面介紹一下邊際替代率遞減規(guī)律。

商品1對商品2的邊際替代率的定義公式為:

其中△X1,△X2分別表示商品1和商品2的變化量。

當商品數(shù)量的變化趨于無窮小時，則商品的邊際替代率公式為

與以上的分析相對應，消費者的風險態(tài)度也可以根據(jù)消費者的效用函數(shù)的特征來判斷。一個人是風險厭惡的充要條件是他的效用函數(shù)為凹函數(shù)。因此，判斷一個人是不是風險厭惡者，只需要驗證其效用函數(shù)是不是凹函數(shù)。在判斷一個人是不是風險愛好者，只需要驗證其效用函數(shù)是不是凸函數(shù)。消費者對待風險的態(tài)度，影響著消費者在不確定情況下的行為決策。如下圖所示

該函數(shù)是凹函數(shù)，且斜率大于零。根據(jù)消費者的效用曲線u(x)，消費者在無風險條件下持有一筆確定的貨幣財富量的效用u(px+(1-p)y)相當于A的高度，而擁有一張具有風險的期望效用pu(x)+(1-p)u(y)相當于圖中B的高度。顯然A點高于B點。所以，圖中的效用函數(shù)u(x)滿足風險回避者的判斷條件。如果從函數(shù)的圖像來看，自然是曲線向上彎得越厲害，對風險就越厭惡，曲線的彎曲程度可以用函數(shù)的二階導數(shù)來刻畫。

風險愛好者和風險中立者的效用函數(shù)的分析是類似的。在實際經(jīng)濟生活中，大多數(shù)的消費者都是風險回避者。

當消費者面臨一種風險時，如果對于該消費者而言，風險的期望值的效用大于、小于、等于風險的效用期望時，那么相應地，該消費者的風險態(tài)度為風險回避、風險愛好、風險中立。

4總結

經(jīng)濟效益分析：經(jīng)濟活動中，我們可以根據(jù)市場調(diào)查利用無差異曲線和預算線等的關系來得到商品的需求曲線，廠商會根據(jù)曲線獲得最大的利潤的生產(chǎn)組合，而消費者也可以得到最滿意的商品組合。所以利用凸函數(shù)的性質描繪無差異曲線在買賣雙方的交易活動中起到很大的作用。凸函數(shù)分析作為一種強有力的分析工具，在經(jīng)濟工作中應用是很廣泛的，掌握了它對指導我們當今的經(jīng)濟工具具有十分重要的意義。

指導教師:關洪巖

參考文獻：

[1]劉三陽.凸函數(shù)的新發(fā)展[J].西安電子科技大學學報,1990,17(1)：45-48.

[2]邱根勝.擬凸函數(shù)的幾個性質[J].南昌航空工業(yè)學院學報,1998,1998(2)：36-39.

中圖分類號：G634.6

文獻標志碼：A

文章編號：1671-1602(2016)14-0296-01