江　強

（福州市臺江第一中心小學，福建福州350009）

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小學生數(shù)學符號意識培養(yǎng)策略初探

江強

（福州市臺江第一中心小學，福建福州350009）

摘要：符號意識是數(shù)學課程的核心概念之一，發(fā)展學生的符號意識是數(shù)學學科的重要教學目標。理解符號的意義是培養(yǎng)學生符號意識的前提，應(yīng)用符號解決問題是發(fā)展學生符號意識的最終目的，在符號應(yīng)用的教學中，可以運用符號再現(xiàn)心智圖像、抽象數(shù)量關(guān)系、推進數(shù)學思考。

關(guān)鍵詞：符號意識；培養(yǎng)策略；小學數(shù)學

符號是具體事物抽象概括出的一種簡略的記號或代號。它廣泛應(yīng)用于各學科中，但“符號之于數(shù)學學科卻是特有的，它是數(shù)學的語言，也是數(shù)學的工具，更是數(shù)學學習和研究的方法”［1］，幾乎每一次數(shù)學學科的發(fā)展都伴隨著“好的符號”的引進和創(chuàng)造。數(shù)字、字母、圖形、關(guān)系式等構(gòu)成了數(shù)學的符號系統(tǒng)。［2］

一、符號意識的內(nèi)涵

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：符號意識主要指能夠理解并運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。對學生而言，符號意識是個體在感知、認識、運用數(shù)學符號上的一種主動反應(yīng)，是一種積極的心理傾向。［3］

二、符號理解的教學

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011版）》解讀中指出，使學生理解符號的意義是數(shù)學學習中最基本的要求，也是符號意識的最基本要求。［4］從中我們可以看出，符號理解的教學是發(fā)展學生符號意識的首要環(huán)節(jié)。

（一）元素符號，講清發(fā)展的歷史

小學數(shù)學教材中的元素符號包括：數(shù)的表示、用字母表示的計量單位、用符號表示的圖形等，是小學生最初接觸的、也是接觸最多的一類符號。對于這類符號講清楚它們的歷史和現(xiàn)狀非常必要，一方面能激發(fā)學生學習新知的興趣；另一方面也能消除對新符號的陌生感，增強對符號的記憶，同時也能豐富數(shù)學學科的文化內(nèi)涵。如教學阿拉伯數(shù)字時，可以告訴學生：早期的數(shù)字符號有巴比倫文字、中國數(shù)字、羅馬數(shù)字、印度數(shù)字，后來印度數(shù)字傳到了阿拉伯，再由阿拉伯商人帶到歐洲，歐洲人便稱它們?yōu)椤鞍⒗當?shù)字”。由于阿拉伯數(shù)字比其他數(shù)字更簡捷，慢慢地就成為一種通用的數(shù)字。通過對符號歷史的交代，可以讓學生初步感悟到數(shù)學符號的發(fā)明、應(yīng)用、統(tǒng)一是一個漫長的過程，并在這一過程中推動了數(shù)學的發(fā)展。更重要的是一個符號的歷史就是一個數(shù)學小故事，教學中這些故事性元素的加入，使得抽象的數(shù)學變得有趣，枯燥的數(shù)學得到更多人文精神的滋潤。

（二）運算符號，經(jīng)歷創(chuàng)造的過程

教育不是告訴，在引進新符號的教學中讓學生經(jīng)歷符號再創(chuàng)造的過程，能使學生獲得探究的內(nèi)在動力；從而對符號理解得更透徹，掌握更快；還能使學生體會到數(shù)學知識的形成是一個“過程”。小學生接觸的運算符號只有“＋、－、×、÷”四個，但它貫穿于學生數(shù)學學習的始終。每個運算符號都包含豐富的現(xiàn)實意義，教學中教師應(yīng)根據(jù)符號的意義和內(nèi)涵創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學生主動創(chuàng)造，幫助學生達到深層次的理解。

［案例］乘法的初步認識（二年級）

1．嘗試創(chuàng)造

師：如果小火車的每節(jié)車廂都坐2名小朋友，你們能用一個算式表示7節(jié)車廂共坐幾個小朋友嗎？

師：如果再加上23節(jié)車廂（課件演示），現(xiàn)在有幾節(jié)車廂？現(xiàn)在這列小火車一共坐了幾個小朋友？

學生嘗試列式。

師：這么長的算式寫起來確實比較麻煩，大家想創(chuàng)造一種方法快速表示“30個2相加”嗎？

學生獨立思考，嘗試創(chuàng)造。

2．有序展示

方法二：30+30

方法三：30個2相加方法四：30×2

3．符號統(tǒng)一

師：以上四種方法哪種最簡便、最便于交流？

師：你們以前見過這個“×”符號嗎？

4．挖掘內(nèi)涵

師：創(chuàng)造方法二（30+30）的同學，你能說說你的想法嗎？

生：小火車左右兩邊鐵軌上面的座位上，各坐了30名小朋友，所以就寫成了30+30。

學生邊講教師邊結(jié)合課件進行配合。

師：橫著看是30個2，豎著看是2個30，所以2× 30=30×2。

在上面的案例中，學生創(chuàng)造乘法符號的過程中理解了“求幾個相同加數(shù)的和可以用乘法”“乘法是加法的簡便算”“乘法乘數(shù)的位置可以交換”，而針對乘法符號而言，這些都是最本質(zhì)的。

（三）結(jié)合符號，體會符號的價值

小括號和中括號是小學生應(yīng)用最多的結(jié)合符號。括號在運算時可以改變運算順序，在列式時可以體現(xiàn)部分與整體的關(guān)系。教學中教師應(yīng)讓學生自覺產(chǎn)生對符號的需求，感受符號的價值。以二年級《小括號的妙用》為例，教師先出示購書情境：書店原有63本《寓言故事》，上午賣出21本，下午賣出11本，書店現(xiàn)在還剩幾本《寓言故事》？要求學生獨立思考后小組討論得出解決方法：（1）63－21＝42（本），42－11＝31（本）；（2）21＋11＝32（本），63－32＝31（本）；（3）63－21－11＝31（本）。教師引導學生把第（2）種方法列成綜合算式，這時學生列出：63－21＋11。教師追問：這里要先算誰？現(xiàn)在要先算加再算減怎么辦？你們能創(chuàng)造個符號表示先算的部分嗎？學生用自己的方式表示后，教師再介紹小括號的產(chǎn)生。

在這個案例中，教師先讓學生用不同的策略解決問題，而后引導嘗試列出綜合算式，這時學生遭遇到“形式”（體現(xiàn)綜合算式的樣式）與“意義”（保有分步列式的意義）的矛盾，產(chǎn)生強烈的引進新符號改變困境的欲望。教師不急于給出答案，而是讓學生自主創(chuàng)造，并通過介紹小括號的歷史讓學生體會統(tǒng)一符號的必要性。這樣讓學生在矛盾沖突、自主創(chuàng)造、文化滲透的過程中感受符號的奇妙，小括號的價值體現(xiàn)得十分到位。

符號的理解還應(yīng)注重指導學生建構(gòu)基于符號的知識結(jié)構(gòu)，鼓勵學生用已有符號去解釋、同化新符號。以乘號（×）為例，從意義上講乘法是加數(shù)相同的加法的簡便算，那乘號（×）自然可以解釋為特殊的加號（＋）。再如，正號（+）負號（－），可以用加號（+）減號（－）加以同化，那么加減混合運算就可以理解為數(shù)字的排列與組合，這實際上也是對加、減法意義認識的提升。另外，對一些形式上非常接近的符號，教師要講透各自的意義，有針對性地引導學生對其進行辨析。例如：2x、x2、x/2，這三個符號形式上極為相似，都含有x和2，但相對位置的不同導致了意義的迥異。幫助學生抓住這些符號的細微差異，能提高學生感知的精細程度。

三、符號運用的教學

行為主義者普遍認為，通過練習可以建立刺激與反應(yīng)間的聯(lián)結(jié)，當然這種練習應(yīng)是建立在理解之上的。合理有效的應(yīng)用練習，能使學生感悟到符號的價值，發(fā)現(xiàn)符號之于數(shù)學思考的幫助，并積累、提升符號使用的經(jīng)驗。因此應(yīng)用符號的教學是發(fā)展學生符號意識的重要方面。

（一）運用符號再現(xiàn)心智圖像

小學生的思維以形象思維為主，逐步向抽象過渡，且學生思維發(fā)展水平是不均衡的。在教學中，教師可以借助符號來解析思維過程。

［案例］搭配中的學問（三年級）

1.出示例題，嘗試搭配

有2件上衣和3件下裝，用1件上衣搭配1件下裝可以怎么搭，用小圖片搭一搭，并用自己喜歡的方式把搭配的過程記錄下來。

2.發(fā)現(xiàn)規(guī)律，有序搭配

師：大家仔細想想，為什么有的同學搭著搭著就亂了，怎樣從亂到有序呢？

學生嘗試有序搭配，并記錄搭配過程：

在上面的教學過程中，教師借助符號把原先動態(tài)內(nèi)隱的思考過程用靜態(tài)外顯的方式展示出來。通過文字和符號逐步對比抽象概括，讓學生感覺到符號的簡捷性，同時體會有序的思考方法。從這個案例可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學符號即有形象思維的感性直觀，又初步具有抽象思維的理性成分，是連接形象思維和抽象思維的橋梁。

（二）運用符號抽象數(shù)量關(guān)系

數(shù)學符號的抽象性，使得某一符號一旦被賦予了數(shù)學意義，就能進行數(shù)學“運算”，“幾乎是自動化的，不需要每次都從頭做起?！保?］因此教師要結(jié)合具體情境，鼓勵學生抽象數(shù)量關(guān)系，積累應(yīng)用符號解決問題的經(jīng)驗。例如，三年級有這樣一道思維訓練題：1桶食用油和1箱食用油共重40kg，同樣的3桶食用油和1箱食用油共重56kg，1桶食用油和1箱食用油各重多少千克？這道題的數(shù)量關(guān)系對三年級的學生來說著實是難于理清的，但若引導學生用圖形符號來表示，就顯得直觀易懂。假設(shè)1桶食用油用“■”表示，1箱食用油用“★”表示，根據(jù)題意就能得到：①■＋★＝40kg②■＋■＋■＋★＝56kg，學生很容易看出就等號左邊相比，第②個等式比第①個等式多了2個■，而等號右邊多了（56－40）kg。那么，1個■就是16÷2＝8kg，★＝40－8＝32kg。這樣的圖形轉(zhuǎn)化使復雜的問題簡單化，學生更能從中體會到符號的價值。

用符號抽象數(shù)量關(guān)系時應(yīng)注意選用恰當?shù)谋磉_方式。例如：小紅和小軍同時在環(huán)形跑道上相背而行，跑道周長400米，經(jīng)過1分鐘兩人第1次相遇，已知小軍每秒速度是小紅的2倍少3米，求兩人每秒速度各是多少？如果設(shè)小紅速度為x米/秒，則小軍速度為（2x－3）米/秒，列方程為：60x＋60（2x－3）＝400。如果設(shè)小軍速度為x米/秒，則小紅速度為（x+3）/2米/秒，列方程為：60x＋60×（x+3）/2＝400。對比兩種未知數(shù)的設(shè)法，可以看出設(shè)小紅為未知數(shù)時，所列方程較為簡單，有利于結(jié)果的獲得。可見在運用符號的過程中，恰當?shù)剡x取表達方式是極其重要的。

用符號抽象數(shù)量關(guān)系時應(yīng)辨析同一符號的多重意義。如：S＝ab，即可以表示長方形面積公式，也可以表示平行四邊形面積公式，甚至可以表示總產(chǎn)量與數(shù)量、單產(chǎn)量之間的關(guān)系……對于這類數(shù)量關(guān)系除了引導學生根據(jù)符號所表示實質(zhì)意義活學活用外，還應(yīng)兼顧約定俗成的規(guī)范。

（三）運用符號積累數(shù)學經(jīng)驗

積累數(shù)學經(jīng)驗是學生提升數(shù)學素養(yǎng)的重要途徑。數(shù)學經(jīng)驗是學生參與數(shù)學活動后所獲得的具有個性特征的經(jīng)驗。數(shù)學符號貫穿于數(shù)學活動的全過程，積極利用符號思考有助于數(shù)學經(jīng)驗的積累。符號思考以推理為主，在這期間學生既能獲得邏輯推理的經(jīng)驗（舉例驗證），又能獲得合情推理的經(jīng)驗（類比歸納）。比如，在乘法分配率的教學中，討論25×（4＋2）與25× 4＋25×2是否相等。學生通過情境、意義、得數(shù)三方面對比都得到相等的結(jié)果后，確定25×（4＋2）＝25×4＋25× 2，但這種相等是否具有一般性？這就需要引導學生舉例驗證，最后得出（a＋b）×c＝a×c＋b×c的字母表達式。這一過程中學生不僅積累了舉例驗證的經(jīng)驗、類比歸納的經(jīng)驗，情感體驗也得到了豐富。再如，讓學生記錄一個月的天氣情況，并能清楚地表示出來。在這一活動中學生經(jīng)歷了數(shù)據(jù)的搜集、整理、分析、統(tǒng)計，以及結(jié)果呈現(xiàn)方式選擇的過程（數(shù)據(jù)的處理、結(jié)果的呈現(xiàn)實際上就是在進行符號思考），體驗了統(tǒng)計的思維方式，積累了統(tǒng)計的直接經(jīng)驗。

數(shù)學活動的思維過程并不總是獨立存在，它總是伴隨一系列外在活動。比如，在思考過程中，根據(jù)題意繪制的線段圖、一些不嚴謹?shù)牟聹y或推理、驗證想法的計算、借助實物的模擬等。這些活動恰恰能使學生積累珍貴的直接經(jīng)驗，如動手操作的經(jīng)驗、解決問題的策略性經(jīng)驗、獨立思考的經(jīng)驗等。

（四）運用符號推進數(shù)學思考

借助符號進行的數(shù)學思考，是多種數(shù)學思想的集中反映，是最具數(shù)學特色的思維方式，也是學生數(shù)學學習過程中最具價值的部分。它貫穿于數(shù)學活動的始終，“四基”的培養(yǎng)、數(shù)學素養(yǎng)的提升，不過都是使學生更好地進行數(shù)學思考。數(shù)學思考又是隱形的、自覺的過程，學生在進行數(shù)學思考時不會刻意覺得自己在從事數(shù)學思考；同時學生在數(shù)學思考時會自覺選擇自己感到熟悉的、好用的手段，數(shù)學符號的優(yōu)越性使其自然成為學生進行數(shù)學思考的首選方法。比如，在解決“雞兔同籠”類問題時，如果學生沒有接受過此類問題的專項訓練，完全可以用列表法（低、中年級）、一元一次方程（高年級）來解決問題，而圖表、方程本身就是數(shù)學符號的范疇。

符號能把數(shù)學思考引向深入。例如，在探索多邊形內(nèi)角和的教學中，學生通過剪拼的方法得到三角形的內(nèi)角和是180°，四邊形的內(nèi)角和是360°后，教師可以引導學生觀察圖形內(nèi)角和與邊的關(guān)系，得到180° （n－2）。當然，這里得到的僅是假設(shè)。這個假設(shè)是否成立，學生可以通過切割組合的方法驗證。上述的教學過程中符號n的加入，使學生在思考時能擺脫思考對象的物性（即多邊形的具體形狀），而關(guān)注對象的本質(zhì)（即多邊形的邊數(shù)）進行思考。無疑，這樣的思考是高效而深入的。

總之，學生數(shù)學符號意識的培養(yǎng)應(yīng)根據(jù)學段要求與學生實際，逐層遞進，螺旋上升。教學中教師應(yīng)緊扣概念、公式、命題的教學，注重理解基礎(chǔ)上的應(yīng)用，在課堂上滲透，在“實戰(zhàn)”中培養(yǎng)。

參考文獻：

［1］陶月娟．“探索事物搭配的規(guī)律”教學談［J］．語數(shù)外學習（初中版·中旬），2013（2）．

［2］姜寧寧，李瑩．符號意識的內(nèi)涵及培養(yǎng)策略［J］．基礎(chǔ)教育論壇，2013（28）．

［3］王曉峰．在數(shù)學實驗中發(fā)展學生的符號意識［J］．中國數(shù)學教育，2015（21）．

［4］教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會．全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）解讀［M］．北京：北京師范大學出版社，2012．

［5］迪多內(nèi).論數(shù)學的進展:數(shù)學史譯文集［M］．上海：上?？萍汲霭嫔?，1980．

中圖分類號：G424.1

文獻標識碼：A

文章編號：1673-9884（2016）03-0037-04

收稿日期：2015 - 12 - 08

基金項目：福州市教育科學研究“十二五”規(guī)劃2014年度一般課題（FZ2014GH059）

作者簡介：江強（1983-），男，福建福州人，福州市臺江第一中心小學一級教師。