鄭富寶

【摘要】 如今，不少中學(xué)生對數(shù)學(xué)課堂頗有微詞，覺得數(shù)學(xué)課堂枯燥乏味，教師除了講題還是講題，教師換了一個(gè)又一個(gè)，課堂教學(xué)模式卻千篇一律，不像其他那些學(xué)科那么有趣好玩，這往往使數(shù)學(xué)老師處在很尷尬的境地. 那么如何使我們的數(shù)學(xué)課堂換發(fā)生機(jī)呢？在前不久舉行的市“一師一優(yōu)課”比賽中，我校一位青年教師的一節(jié)《合情推理》得到了好評，并獲得了較好的名次. 不妨讓我們從中找到一些亮點(diǎn)并進(jìn)行深刻反思.

【關(guān)鍵詞】 教學(xué)實(shí)驗(yàn)；數(shù)學(xué)課堂；一師一優(yōu)課

一、教學(xué)實(shí)錄

1. 圖片欣賞

師：推理是人們思維活動(dòng)的過程，是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷的思維過程，讓我們從欣賞圖片一，圖片二開啟這堂新課.

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自主體會(huì)抽象概括出魯班發(fā)明鋸子，守株待兔兩則小故事分別蘊(yùn)含了類比推理和歸納推理的思想）

2. 案例猜想

師：正如牛頓所說沒有大膽的猜想就得不出偉大的發(fā)現(xiàn)，所以我們應(yīng)該學(xué)會(huì)猜想，學(xué)習(xí)推理，接下來，老師舉幾個(gè)例子，同學(xué)們來猜想推理：

（1. 由銅、鐵、鋁、金、銀等金屬能導(dǎo)電；

生：猜想一切金屬都能導(dǎo)電

（2. 由三角形內(nèi)角和為180°，凸四邊形內(nèi)角和為360°，凸五邊形內(nèi)角和為540°

生：猜想凸n 邊形內(nèi)角和為（n - 2）*180°

（3. 地球上有生命，火星具有一些與地球 類似的地方

生：猜想火星上也有生命

3. 哥德巴赫猜想：任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和

（設(shè)計(jì)意圖：猜想具有一定的偶然性，數(shù)學(xué)研究中，有時(shí)對研究對象進(jìn)行一些形式上的改變有利于發(fā)現(xiàn)規(guī)律）

4. 勤學(xué)思考

例3. 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.

（設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生自主討論明白進(jìn)行類比推理時(shí)合理地確定類比對象是十分重要的，并讓學(xué)生能夠按照類比推理的一般步驟進(jìn)行推理）

5. 河內(nèi)塔游戲

傳說在古老的印度有一座神廟，神廟中有三根針和套在一根針上的64個(gè)圓環(huán).古印度的天神指示他的僧侶們按下列規(guī)則，把圓環(huán)從一根針上全部移到另一根針上，第三根針起“過渡”的作用.

1. 每次只能移動(dòng)1個(gè)圓環(huán)；

2. 較大的圓環(huán)不能放在較小的圓環(huán)上面.

如果有一天，僧侶們將這64個(gè)圓環(huán)全部移到另一根針上，那么世界末日就來臨了.

請你試著推測：把 64 個(gè)圓環(huán)從1號針移到3號針，最少需要移動(dòng)多少次？把n個(gè)圓環(huán)從1號針移到3號針最少需要移動(dòng)多少次？

（設(shè)計(jì)意圖：通過小組活動(dòng)應(yīng)用合情推理，并動(dòng)手實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證局部猜想，進(jìn)而歸納出移動(dòng)次數(shù)的通項(xiàng)公式，為學(xué)習(xí)演繹推理埋下伏筆）

6. 課堂小結(jié)

歸納和類比是合情推理常用的思維方法，由合情推理的過程可以看出，合情推理的結(jié)論往往超越了前提所涵蓋的范圍，帶有猜想的成分，因此推理所得的成分未必正確；但是，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供證明的思路和方向的作用

二、教學(xué)評價(jià)

通過學(xué)生熟知的中國古代兩則小故事引入新課，讓學(xué)生明白了數(shù)學(xué)源于生活的道理，更深刻感受到本節(jié)課將要學(xué)習(xí)的知識是如此的親切，大大激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；從案例猜想到探索原理，始終堅(jiān)持以學(xué)生為中心，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從學(xué)生能感知到生活中的例子慢慢過渡到數(shù)學(xué)問題中來，顯得十分自然且通俗易懂；在數(shù)學(xué)知識應(yīng)用環(huán)節(jié)，往往是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中最常態(tài)化的環(huán)節(jié)，正當(dāng)學(xué)生們都以為會(huì)以常規(guī)的數(shù)學(xué)問題延續(xù)到結(jié)尾時(shí)，精彩出現(xiàn)了！教師將書本中的一個(gè)例題包裝成河內(nèi)塔游戲，課前就準(zhǔn)備好實(shí)驗(yàn)器具，讓兩位學(xué)生上臺(tái)演示，一位同學(xué)具體操作，另一名同學(xué)記錄次數(shù)，實(shí)驗(yàn)過程中還出現(xiàn)了錯(cuò)誤環(huán)節(jié)的花絮，或許是該學(xué)生為了體現(xiàn)幽默感有意而為之，卻收到了意想不到的效果，大大活躍了課堂氣氛，引來哄堂大笑的同時(shí)又讓同學(xué)們更深刻的理解了該問題的內(nèi)涵.

三、教學(xué)反思

1. 樹立重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的意識

長期以來，人們對數(shù)學(xué)的認(rèn)識就是概念、定理、公式和解題，以為數(shù)學(xué)學(xué)科是一種具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)中是否需要“實(shí)驗(yàn)”，人們對此存在認(rèn)識上的偏差. 實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)不只是邏輯思維，還有實(shí)驗(yàn). 學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程. 而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)幾乎涵蓋了上述的各種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，因此，教師在課堂教學(xué)中要優(yōu)先樹立重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的意識，不要因設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程比較繁瑣而棄之不用，而應(yīng)有一雙善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的眼睛，抓住每一次難得的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.

2. 精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的每一個(gè)環(huán)節(jié)

一個(gè)受觀眾喜愛的小品離不開一個(gè)優(yōu)秀的劇本，一個(gè)成功的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也需要教師精心設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，努力創(chuàng)設(shè)一個(gè)恰當(dāng)、合理、有效的問題情境，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，使學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中明確每一個(gè)步驟蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題，并能激發(fā)起學(xué)生的思維，在活動(dòng)中理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，這正是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的主要特征：探索性、思維性. 比如在“橢圓的定義”教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)這樣一些環(huán)節(jié)，讓兩個(gè)學(xué)生在黑板上演示：用一根細(xì)繩子將兩端點(diǎn)重合并固定于黑板上一點(diǎn)，將粉筆套在其中并拉緊，在黑板上劃一個(gè)圓，并復(fù)習(xí)圓的定義. 再將兩端點(diǎn)固定在黑板上，簡單演示一下，讓學(xué)生自己畫圖. 問：畫的是何種曲線？曲線上的任意一點(diǎn)具備什么共同特征？學(xué)生根據(jù)操作活動(dòng)的過程，類比圓的定義容易想到這樣的定義：到兩定點(diǎn)距離之和等于定長的點(diǎn)的軌跡是橢圓. 這個(gè)定義并不完備，如何讓學(xué)生意識到呢？可提問：圓的定義能否為：到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡呢？使學(xué)生意識到應(yīng)加一個(gè)條件“在一個(gè)平面內(nèi)”. 再讓學(xué)生將兩定點(diǎn)由近而遠(yuǎn)多畫幾個(gè)橢圓，當(dāng)學(xué)生將此操作進(jìn)行到極限時(shí)（將線拉緊），發(fā)現(xiàn)畫出的是一條線段. 這樣的過程是能夠使學(xué)生獨(dú)立的發(fā)展和完善橢圓的定義的. 同時(shí)與圓的大小關(guān)系對橢圓的扁圓程度的影響在此也得到了滲透，對后續(xù)“橢圓的性質(zhì)”的學(xué)習(xí)很有幫助.

3. 耐心制作實(shí)驗(yàn)教具及電腦演示畫面

數(shù)學(xué)學(xué)科不同于物理和化學(xué)學(xué)科，數(shù)學(xué)書本上幾乎沒有明確的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，更沒有實(shí)驗(yàn)儀器，這就要求數(shù)學(xué)教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容自己準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)器具，力爭使實(shí)驗(yàn)達(dá)到最佳效果. 按照實(shí)驗(yàn)手段的不同，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可區(qū)分為傳統(tǒng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)兩大類. 傳統(tǒng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指通過對一些工具、材料的動(dòng)手操作，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，發(fā)現(xiàn)并獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論. 現(xiàn)代的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指以計(jì)算機(jī)（器）為工具的實(shí)驗(yàn)，具體而言，就是利用計(jì)算機(jī)或圖形計(jì)算器這些先進(jìn)的現(xiàn)代技術(shù)工具和數(shù)學(xué)軟件為實(shí)驗(yàn)手段，以圖形演示、數(shù)值計(jì)算、符號變換等作為實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，旨在探索數(shù)學(xué)現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論或輔助做數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的實(shí)踐活動(dòng). 不難看出，現(xiàn)代數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的技術(shù)改造. 所有這些都將對中學(xué)教師提出了更高的要求. 4. 及時(shí)總結(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)蘊(yùn)含的哲理

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)只是課堂教學(xué)過程中的一種手段，真正的目的是要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入自己“做數(shù)學(xué)”、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的境界，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)的過程. 在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容設(shè)計(jì)中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思維軌跡往往被掩蓋，以致學(xué)生學(xué)習(xí)過程中常常會(huì)問，當(dāng)初的數(shù)學(xué)家是怎樣想到這個(gè)問題的？他們是怎樣發(fā)現(xiàn)證明方法的？數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)通過對知識的形成過程和對問題的觀察、發(fā)現(xiàn)、解決、引申、變化等過程的模擬和實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在自主探索實(shí)踐中體驗(yàn)到那條被掩蓋了的思維軌跡，因此，教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生去總結(jié)每一步實(shí)驗(yàn)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)哲理，要允許學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中出錯(cuò)，充分肯定學(xué)生的創(chuàng)新精神.

教學(xué)是門藝術(shù)，教師在課堂教學(xué)中，要努力創(chuàng)設(shè)各種情境，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)探究中養(yǎng)成獨(dú)立思考和勇于質(zhì)疑的習(xí)慣的同時(shí)，也要學(xué)會(huì)與他人合作交流，建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的頑強(qiáng)精神，要善于啟發(fā)誘導(dǎo)，及時(shí)點(diǎn)燃學(xué)生智慧的火花，鼓勵(lì)他們積極主動(dòng)的參與學(xué)習(xí)，敢于創(chuàng)新，這樣學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造性思維能力一定能夠大大增強(qiáng)，正如教育家第斯多惠說的“教育的藝術(shù)不僅僅在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、呼喚和鼓勵(lì). ”