【摘 要】數(shù)學素養(yǎng)是世界數(shù)學教育關(guān)注的重要課題，同時也成為我國新一輪數(shù)學課程改革關(guān)注的熱點。當前高中生數(shù)學素養(yǎng)的現(xiàn)狀為：學生不會或不善于提出數(shù)學問題；不能很好地利用類比推理能力解決數(shù)學問題；應用數(shù)學語言表述問題的能力較弱；沒有認識到數(shù)學隱含的語言功能、文化價值。針對現(xiàn)狀，數(shù)學教學要不斷培養(yǎng)學生規(guī)范使用數(shù)學語言的能力、創(chuàng)設(shè)合適的問題情境提升學生提出問題的能力，通過過程教學，提升學生數(shù)學思想方法的運用能力、滲透數(shù)學文化提升學生的數(shù)學觀念素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學素養(yǎng)；問題情境；數(shù)學思想方法；數(shù)學語言；數(shù)學文化

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）18-0034-05

【作者簡介】何睦，江蘇省張家港市常青藤實驗中學（江蘇張家港，215600）教師，江蘇師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院碩士研究生。

數(shù)學素養(yǎng)是世界數(shù)學教育關(guān)注的重要課題，具體表現(xiàn)為：其一，數(shù)學素養(yǎng)逐漸成為國際教育評價、國內(nèi)外數(shù)學課程改革和數(shù)學教育研究共同關(guān)注的目標。其二，由于數(shù)學在社會生活和科技高速發(fā)展中的作用，數(shù)學素養(yǎng)已經(jīng)成為公民進行社會生活或者從事社會工作必備的素養(yǎng)之一。同時，數(shù)學素養(yǎng)也是我國新一輪數(shù)學課程改革的關(guān)注熱點?！皵?shù)學素養(yǎng)”一詞頻繁出現(xiàn)于新一輪高中數(shù)學課程改革的相關(guān)文件中。

鑒于此，近年來，越來越多的研究者關(guān)注數(shù)學素養(yǎng)，他們有的從理論層面探討數(shù)學素養(yǎng)的內(nèi)涵、數(shù)學素養(yǎng)的取向、數(shù)學素養(yǎng)的科學建構(gòu)，也有從實踐層面探索數(shù)學素養(yǎng)的生成途徑，但對于高中學生的數(shù)學素養(yǎng)的現(xiàn)狀與培養(yǎng)途徑鮮有探討。因此，了解高中學生數(shù)學素養(yǎng)的現(xiàn)狀，并在此基礎(chǔ)上開展有的放矢的教學，能有效地促進學生數(shù)學素養(yǎng)的提升。

一、對高中學生數(shù)學素養(yǎng)現(xiàn)狀的調(diào)查

1.調(diào)查依據(jù)。

在理論層面，學界對數(shù)學素養(yǎng)的認識觀點多，視角廣：有數(shù)學素養(yǎng)的“五要素”說，有數(shù)學素養(yǎng)的“特定區(qū)域和背景”說，“數(shù)學過程”說，等等。雖然學界對于“數(shù)學素養(yǎng)的內(nèi)涵，其構(gòu)成要素是什么”并沒有形成統(tǒng)一的認識和看法，但所有的研究者都從不同的角度突出了數(shù)學問題素養(yǎng)（具有問題意識，能夠“數(shù)學地”提出問題、分析問題、解決問題），數(shù)學思想方法素養(yǎng)（掌握數(shù)學思想方法，能正確運用邏輯推理以及合情推理方法解決數(shù)學問題），數(shù)學語言素養(yǎng)（理解并掌握數(shù)學語言，具備數(shù)學表達與交流的能力），數(shù)學知識與技能素養(yǎng)（掌握由數(shù)學概念和命題組成的整體性的基本理論體系），數(shù)學觀念素養(yǎng)（對數(shù)學有較為全面的認識，理解數(shù)學的本質(zhì)，懂得數(shù)學的價值），等等。

鑒于這些素養(yǎng)為許多學者所認可，因此，我們以此五種核心素養(yǎng)作為制作問卷（見文末附錄）的重要依據(jù)，來考查高中學生數(shù)學素養(yǎng)的現(xiàn)狀。

2.調(diào)查對象。

本次調(diào)查的對象是張家港市的高二學生，共1600人參加本次調(diào)查，發(fā)放問卷1600份，回收的有效問卷1585份。

3.調(diào)查問卷。

本次調(diào)查問卷重點考查學生提出問題的能力（A1～A2，共2道），對數(shù)學思想方法的掌握能力（B1～B2，共2道），對數(shù)學語言的應用能力（C1～C2，共2道），以及對數(shù)學的認識和態(tài)度（D1～D6，共6道），調(diào)查時間40分鐘?？紤]到數(shù)學知識與技能在其他能力考查中已有所體現(xiàn)，因此并沒有對其做專項考查。

4.調(diào)查結(jié)果與分析。

（1）關(guān)于提出問題的能力。

A1題的調(diào)查結(jié)果表明，所有學生都提出了數(shù)學問題。如：“蘆薈的種植成本和上市時間是否具有某種函數(shù)關(guān)系？”“選擇合適的函數(shù)擬合種植成本和上市時間的關(guān)系”“在哪一天上市，蘆薈的種植成本最低？”等等，平均每人提出數(shù)學問題1.9個。

A2題的調(diào)查結(jié)果表明，有82.1%的學生提出了問題，但不少學生提出的問題和數(shù)學無關(guān)，如“為什么高斯當年只有9歲？”“小學為什么會有這種問題？”等等。只有30.8%的學生提出了數(shù)學問題，如“能否歸納出研究此類問題的一般方法？”“更為一般的結(jié)論是什么？”“1到100的平方和是多少？”“1到100的倒數(shù)和是多少？”等等，平均每人提出問題0.62個。

調(diào)查結(jié)果反映出當前高中生數(shù)學的“提出問題”素養(yǎng)的現(xiàn)狀：從整體來看，對于具體的問題情境，所有學生都能提出相關(guān)的數(shù)學問題，而對于開放性的問題情境，學生表現(xiàn)為不會或不善于提出數(shù)學問題，或者說他們提出的根本不是數(shù)學問題。

（2）關(guān)于運用數(shù)學思想方法的能力。

數(shù)學知識是數(shù)學思想方法的載體，因此我們在編制問卷時，仍以問題解決的方式考查學生運用數(shù)學思想方法的能力和素養(yǎng)，選取類比推理和合情推理各1道，以考查學生數(shù)學思想方法素養(yǎng)的現(xiàn)狀。

B1題是一道類比推理題，調(diào)查結(jié)果表明，僅有40%的學生能運用題目所給的方法，類比得出“前k個正整數(shù)的平方和為 ”，22.1%的學生在推導過程中出現(xiàn)了計算失誤，約37.9%的學生并沒有給出解答過程。B2題是一道經(jīng)典的合情推理題，48.2%的學生給出了正確的答案和推理過程，23.6%的學生僅給出了答案并沒有給出推理過程，其余學生沒有給出答案。

調(diào)查結(jié)果反映出當前高中學生數(shù)學思想方法素養(yǎng)的現(xiàn)狀：從整體上看，學生合情推理能力較弱，不能很好地利用類比推理能力解決某些數(shù)學問題。

（3）關(guān)于把握數(shù)學語言的能力。

C1題考查學生集合語言的使用以及將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號語言的基本能力。結(jié)果表明，97.4%的學生給出了“ ”的答案，84.6%的學生給出了“Q？哿R”的答案。不少學生在數(shù)學符號語言的使用上仍出現(xiàn)偏差，比如“ 埸N”“Q∈R”等不規(guī)范的表述。

C2題要求學生根據(jù)情境的描述，利用數(shù)學語言規(guī)范地表述所給出的圖形的基本特征，考查學生在現(xiàn)實情境中應用數(shù)學語言的能力。結(jié)果表明，有52.3%的學生能利用數(shù)學語言規(guī)范地表述圖形的基本特征，如“兩條直角邊長分別是3和4的直角三角形”，“以O(shè)為坐標原點，OA，OD所在直線作為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，其中O（0，0），A（4，0），B（6，2），C（5，5），D（0，5），E（-2，2），F(xiàn)（2，2），順次連接OA，AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)O”。其余47.7%的學生則表現(xiàn)為不會表述，或者表述不規(guī)范，存在嚴重錯誤。

調(diào)查結(jié)果反映出當前高中學生數(shù)學語言素養(yǎng)的現(xiàn)狀：從整體來看，在數(shù)學問題情境中，運用數(shù)學語言表述數(shù)學問題的能力較強，但在現(xiàn)實情境中應用數(shù)學語言表述問題的能力較弱。

（4）關(guān)于對數(shù)學價值的認識。

考查學生對數(shù)學價值的認識在一定程度上體現(xiàn)了學生的數(shù)學觀念素養(yǎng)，設(shè)計6個選擇題，以了解學生對數(shù)學價值的認識，要求學生根據(jù)相關(guān)描述作出判斷，頻數(shù)統(tǒng)計見表1。

可以看出，大部分高中生都認可“現(xiàn)在生活處處充滿著數(shù)學”“數(shù)學是物理學、化學、生物學等自然科學的基礎(chǔ)”“數(shù)學是思維的體操，在個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用”，肯定了數(shù)學應用的廣泛性以及數(shù)學的教育價值。但只有近半數(shù)的學生認可“數(shù)學是科學的語言，數(shù)學也是一種日常生活的語言”“數(shù)學基本能力已經(jīng)成為人的生活基本能力的重要組成部分”“數(shù)學是一種人類的文化”。為數(shù)不少的學生并不認可數(shù)學語言是表達科學規(guī)律、在日常生活中起著重要作用的一種語言，并不贊同數(shù)學能力是當前社會公民應具備的基本能力，同時也體會不到數(shù)學作為一種人類文化存在的意義。

調(diào)查結(jié)果反映出當前高中學生數(shù)學觀念素養(yǎng)的現(xiàn)狀：從整體來看，學生基本認可數(shù)學是一門應用極其廣泛的學科，是自然科學的基礎(chǔ)，同時在個人智力發(fā)展過程中發(fā)揮著重要作用。不少學生并沒有認識到數(shù)學隱含的語言功能、文化價值，忽視數(shù)學作為人類生活基本能力的存在。

二、對高中學生數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)途徑的思考

雖然上述調(diào)查僅僅是對地方重點高中所做的調(diào)查，但是在一定程度上也反映了高中生數(shù)學素養(yǎng)的普遍現(xiàn)狀。針對高中學生數(shù)學素養(yǎng)的現(xiàn)狀，下文從“如何教”的角度來探討提高高中生數(shù)學素養(yǎng)的途徑，以期進一步改善現(xiàn)狀，有效地提升高中生的數(shù)學素養(yǎng)。

1.培養(yǎng)學生規(guī)范使用數(shù)學語言的能力。

人類的交流需要語言，數(shù)學的傳播也離不開語言。但是，光用自然語言進行數(shù)學交流是難以使得數(shù)學國際化的。正因如此，數(shù)學才有了有別于其他語言的“數(shù)學語言”。與一般語言相比，數(shù)學語言具有無民族性、無區(qū)域性的特點，并且它是世界上唯一通用的語言，所以數(shù)學語言理應成為推動數(shù)學發(fā)展的力量。在教學過程中，我們應明確數(shù)學學習的本質(zhì)是數(shù)學語言的獲得、發(fā)展與應用，判斷數(shù)學教學是否有效的標準應是學生數(shù)學語言是否得到了發(fā)展和發(fā)展程度如何。在教學中，教師應注重培養(yǎng)學生用規(guī)范的數(shù)學語言表達數(shù)學問題并解決數(shù)學問題的能力，而教材概念、定理和符號的表述以及例題的解決恰好為數(shù)學語言的規(guī)范使用提供了范式，因此教師應關(guān)注教材在規(guī)范使用語言中的價值。同時教師也要積極創(chuàng)造機會，使學生獲得數(shù)學交流的機會，通過引導、示范，培養(yǎng)學生利用嚴謹、規(guī)范的數(shù)學語言表達和解決數(shù)學問題的能力，進而更加深刻地理解數(shù)學符號的內(nèi)涵，有效地提升學生的數(shù)學語言素養(yǎng)。

2.創(chuàng)設(shè)合適的問題情境提升學生提出問題的能力。

數(shù)學的發(fā)展過程可以看成如下模式：問題的提出→問題的解決→新的問題的提出→新的問題的解決→……，可見問題的提出與解決對于數(shù)學研究至關(guān)重要。數(shù)學課堂教學是關(guān)于數(shù)學的教學，因此，數(shù)學課堂教學也就是提出問題、解決問題、提出新問題、解決新問題的過程。數(shù)學新課程改革倡導“問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展”的課程模式，蘇教版教材的內(nèi)容組織形式為：問題情境—學生活動—意義建構(gòu)—數(shù)學理論—數(shù)學應用—回顧反思?？梢姡n程改革將問題情境作為數(shù)學知識產(chǎn)生的源頭。但新課程所倡導的“問題情境”其核心并非是單純的情境，而是隱含著數(shù)學問題的情境。如果只關(guān)注情境而忽視數(shù)學問題，學生難以形成問題意識，提出問題的能力也就薄弱，學生面對數(shù)學就缺乏深入思考的欲望，缺乏探究數(shù)學知識的能力，當然也發(fā)現(xiàn)不了數(shù)學問題，提不出數(shù)學問題。

3.通過過程教學，潛移默化地提升學生數(shù)學思想方法的運用能力。

不管是數(shù)學概念的形成還是數(shù)學規(guī)律的建構(gòu)，都離不開數(shù)學思想方法的運用，數(shù)學思想與方法在個體發(fā)展過程中起著積極的作用。因此，在教學中，通過過程教學不僅要展示知識的形成過程，更要揭示在知識形成過程中體現(xiàn)的數(shù)學思想方法，有效地提升學生數(shù)學思想方法素養(yǎng)。因此，在過程教學中必須把握好以下四個教學的關(guān)鍵環(huán)節(jié)：其一，在概念教學中挖掘數(shù)學思想方法，教師要有意識地引導學生挖掘概念中體現(xiàn)的數(shù)學思想方法；其二，在定理和公式的教學中展現(xiàn)數(shù)學思想方法，要通過發(fā)現(xiàn)、歸納、猜想、演繹證明等活動方式讓學生經(jīng)歷知識的“再創(chuàng)造”過程，努力揭示數(shù)學概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)；其三，在問題解決過程中揭示數(shù)學思想方法，數(shù)學問題的解決過程，實質(zhì)上是命題的不斷變換和數(shù)學思想方法不斷利用的過程，在教學中要不斷地將數(shù)學思想方法的教學置于解題的中心位置，突出數(shù)學思想方法的解題功能；其四，在知識的歸納總結(jié)中概括數(shù)學思想方法。數(shù)學思想方法的概括包括兩個方面，一是揭示事物的普遍必然的本質(zhì)屬性，例如“圓的方程及其幾何性質(zhì)”的研究過程：圓的幾何生成方式-坐標法得到圓的代數(shù)方程-研究圓的幾何性質(zhì)，這對后面學習“圓錐曲線”起到一個范例的作用；二是要明確數(shù)學思想和數(shù)學知識之間的聯(lián)系，將抽取出來的共性，推廣到同類的對象中，比如，通過換元的方法將復雜的方程、函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單的方程和函數(shù)，深刻認識換元法的優(yōu)點在于將復雜問題化歸為簡單問題，化歸思想是換元法的高度概括。

4.滲透數(shù)學文化以有效提升學生的數(shù)學觀念素養(yǎng)。

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》明確指出：“數(shù)學課程應適當反映數(shù)學的歷史、應用和發(fā)展趨勢，數(shù)學對推動社會發(fā)展的作用，數(shù)學的社會需求，社會發(fā)展對數(shù)學發(fā)展的推動作用，數(shù)學科學的思想體系，數(shù)學的美學價值，數(shù)學家的創(chuàng)新精神。數(shù)學課程應幫助學生了解數(shù)學在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學觀。為此，高中數(shù)學課程提倡體現(xiàn)數(shù)學的文化價值，并在適當?shù)膬?nèi)容中提出對數(shù)學文化的學習要求?！睌?shù)學文化的滲透可以采取多樣化的方法，比如鼓勵學生就某個專題查找、閱讀、搜集相關(guān)文獻，在此基礎(chǔ)上開設(shè)專題演講或撰寫一篇研究報告，也可以將概念、定理的發(fā)生、演變、成形過程作為教學的主線，梳理概念、定理形成的歷史發(fā)生過程，讓學生體會概念、定理是如何發(fā)生和發(fā)展的。

當前的數(shù)學教學呈現(xiàn)給學生的只是“冰冷的美麗”，數(shù)學的文化價值往往淹沒在一大堆抽象符號、復雜的公式演算和邏輯推理的海洋里。而只有通過數(shù)學文化的滲透與融入，數(shù)學才能最終轉(zhuǎn)化為“火熱的思考”，學生才能初步了解數(shù)學與人類社會發(fā)展的關(guān)系，明晰數(shù)學的發(fā)生、發(fā)展及其應用的全過程，體會數(shù)學的人文價值、應用價值和科學價值；開闊視野，加強對數(shù)學的宏觀認識和整體把握，領(lǐng)會數(shù)學學科獨有的理性精神。在數(shù)學教學中，我們不但要向?qū)W生傳授知識，更要讓學生體會數(shù)學知識中蘊含的數(shù)學文化，了解“數(shù)學方式的理性思維”，有效地提升學生的數(shù)學觀念素養(yǎng)。

附錄：數(shù)學素養(yǎng)調(diào)查問卷

A1：請根據(jù)下面一段材料的描述，盡可能多地提出一些數(shù)學問題。

蘆薈是一種經(jīng)濟價值很高的觀賞、食用植物，不僅可以美化居室、凈化空氣，又可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內(nèi)占有很大的市場。某人準備進軍蘆薈市場，栽培蘆薈，為了了解行情，進行市場調(diào)研，從4月1日起，蘆薈的種植成本Q（單位：元/10kg）與上市時間t（單位：天）的數(shù)據(jù)情況如下表：

A2：請你根據(jù)下面一段情境的描述，盡可能多地提出一些數(shù)學問題。

高斯用很短的時間計算出了小學老師的任務：自然數(shù)從1到100求和。他所使用的方法是：將1到100構(gòu)造成50對101，即1+2+3+4+……+100=（1+100）+（2+99）+……（50+51）=50×101=5050，同時得到結(jié)果5050。那一年，高斯只有9歲。

B1：我們知道，前k個正整數(shù)的和公式可以借助等式（k+1）2-k2=2k+1累加得到：

（k+1）2-k2=2k+1，k2-（k-1）2=2（k-1）+1…，

32-22=2×2+1，22-12=2×1+1

（k+1）2-1=2（1+2+3+…+k）+k×1

1+2+3+…+k= =

問題：請你運用類比的數(shù)學方法推導前k個正整數(shù)的平方和公式。

B2：有三頂紅帽子和兩頂白帽子。將其中的三頂帽子分別戴在A、B、C三人頭上。這三人每人都只能看見其他兩人頭上的帽子，但看不見自己頭上戴的帽子，并且也不知道剩余的兩頂帽子的顏色。 問A： “你戴的是什么顏色的帽子？” A回答說：“不知道?！?接著，又以同樣的問題問B，B想了想之后，也回答說：“不知道?！?最后問C， C回答說：“我知道我戴的帽子是什么顏色了?！碑斎?，C是在聽了A、B的回答之后而做出回答的。試問：C戴的是什么顏色的帽子？（要求：寫出你的判斷，并簡要說明理由。）

C1：請用規(guī)范的數(shù)學語言表述下列事實：（1）不是整數(shù)；（2）有理數(shù)都是實數(shù)。

C2：假設(shè)你在電話里與同學交談，你要求他作出如上圖所示的圖形，你的同學事先并沒有見過這一圖形，如何在電話里給他指示以保證他能準確地作出這兩個圖形？

D：根據(jù)下列描述，請根據(jù)你的理解選出你對這些描述的認識和態(tài)度。字母A表示贊同；字母B表示不確定；字母C表示反對。

D1：現(xiàn)代生活處處充滿著數(shù)學。（ ）

D2：數(shù)學是物理學、化學、生物學等自然科學的基礎(chǔ)。（ ）

D3：數(shù)學是科學的語言，數(shù)學也是一種日常生活的語言。（ ）

D4：數(shù)學基本能力已經(jīng)成為人的生活基本能力的重要組成部分。（ ）

D5：數(shù)學是思維的體操，在個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用。（ ）

D6：數(shù)學是一種人類的文化。（ ）

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注：本文系蘇州市教育科學“十二五”規(guī)劃2013年度重點立項課題“基于數(shù)學素養(yǎng)生成的教學實踐與校本課程開發(fā)研究”（編號：130801243）和江蘇省“十二五”規(guī)劃重點自籌課題“高中數(shù)學研究性學習的實踐與認識”（編號：B-b/2015/02/119）的階段性研究成果。