曾志斌

[摘 要]重溫了意大利數學家皮亞諾的自然數公理系統，認真研習并解讀了自然數公理化的定義，并在自然數基本定義和公理的基礎上，運用數學歸納法，對自然數加法和乘法的基本運算進行了例證，從而探討皮亞諾自然數公理系統在高中數學教學中的意義.

[關鍵詞]自然數 算術運算 公理化

[中圖分類號] G633.6[文獻標識碼] A[文章編號] 16746058（2016）140003

人們從最基礎的學習開始，直至高中及以后的學習中，都一直在接觸數學中自然數的概念及其算術運算.然而，為什么1+1=2，1+2=3，…；1×2=2，2×2=4；…它們是源自于純粹的實際生產生活的經驗，還是建立在數學公理的基礎上推演獲得的結論呢？

一、自然數及其算術運算的產生

從人類具有原始的識別事物多寡的“數覺”，到抽象的“數”的概念的形成，記數經歷了一個漫長的過程.當人類的“數覺”越來越強烈和明確時，記數便伴隨著計數的發(fā)展而發(fā)展起來.從手指記數、石子記數、結繩記數和刻痕記數，記數經歷了數萬年的發(fā)展，終于出現了書寫記數和相應的記數系統.此時的記數當然是以“1”為基本單位的.這就是最早的自然數的產生.而后直至18世紀，數學家們都談不上有完整的數系概念和建立數系的企圖.在近代康托集合論產生之后，數學家們開始用集合論方法來定義自然數中的0，1，2，3…自然數的算術運算伴隨著自然數的產生和人們最原始的實踐經驗而產生，人們對其法則和結果確信無疑.

二、自然數公理化系統建立的背景

數學的發(fā)展并非如原始的感受般那么自然.“數學的發(fā)展絕不是一帆風順的，在更多的情況下是充滿猶豫、徘徊，要經歷艱難曲折，甚至會面臨危機……”隨著時代的發(fā)展，數學科學產生了許多令人們難以接受的概念和結論.比如，無理數2的出現，動搖了古希臘人對世界“萬物皆數”的信仰；無窮小量理解的混亂與定義的不嚴格，使得以其作為根基的微積分理論始終存在瑕疵；

羅素悖論使得當時數學家們建立在康托集合論上的許多研究成果都面臨了基礎崩潰的尷尬.人們不得不重新考慮自然數的定義問題.特別是非歐幾何的出現，使人們不得不重新考慮自然數算術系統的相容性問題.19世紀70年代以后，意大利數學家貝爾特拉米、德國數學家克萊因等人先后在歐幾里得空間中給出了羅巴切夫斯基幾何的片段的模型，尤其是法國數學家龐加萊對羅巴切夫斯基幾何給出了一個歐氏模型，使羅氏幾何具有對歐氏幾何的相對相容性.通過解析法，可以建立歐幾里得幾何與實數系模型的對應關系，而通過擴充自然數系，可以得到實數系.于是，自然數算術系統是否相容成為數學上層建筑是否穩(wěn)固的關鍵，也成為數學家們迫切需要解決的問題.

而此時產生于實踐經驗的自然數還沒有準確的數學定義，用康托集合論給出的定義方法，又因為羅素悖論而受到置疑.自然數的一切性質和算術運算規(guī)律被實踐所驗證，但無法進行邏輯推演，無法證明其是否絕對相容.在這樣的背景下，意大利數學家皮亞諾撇開集合論的觀點，對已有的、實踐中產生的自然數的基本特點和性質進行了高度抽象的歸納.1889年，他在《算術原理新方法》中完成了對自然數的公理化處理，給出關于自然數的五條公理，創(chuàng)立了自然數的公理化定義.

三、自然數公理解讀及算術運算性質的舉例證明

自然數的五條公理用非形式化的方法敘述為：

（1）0是自然數；

（2）每一個確定的自然數a都有一個確定的后繼數a′，a′也是自然數；

（3）0不是任何自然數的后繼；

（4）如果b，c的后繼都是a，則b=c；

（5）任何關于自然數的命題，如果對0真，并且如果對n真，則對n′也真，那么該命題對所有自然數都真.

下面筆者對這五條公理作一個簡單的分析和解釋.前兩個公理歸納了從“無”到“有”和如何延伸的原始經驗，給出了起始元素和后繼定義，可是要完整描述自然數，這些還遠遠不夠.例如，可以構造數字系統“1，0，1，0，…”來滿足公理（1）（2）的描述，其中，0的后繼數為1，1的后繼數為0.它只包含了兩個數，顯然不符合人們對自然數系統的期望.于是公理（3）對自然數系統的結構進行了限制，不允許0作為任何自然數的后繼.但是，前三條定理仍會產生新的問題.例如，可以構造數字系統“0，1，2，2，…”其中，2的后繼也是2.在這樣的構造例子中，看起來第三條定理只給我們的自然數系統多帶來了一個數字.為了杜絕此類漏洞，追求更嚴密的定義，皮亞諾引入了公理（4），使得不同數的后繼必不同，避免了上例中1和2的后繼都為2的可能.最后，為了排除一些非自然數的數（如0.5），也為了滿足制訂運算規(guī)則的需要，皮亞諾引入了公理（5），也就是歸納公理.于是，數學歸納法的正確性得到了保證.依據以上五條公理定義的自然數系的基礎，就可以定義自然數的基本算術運算.

首先，定義自然數加法是滿足下列兩條規(guī)則的二元運算：

（1）m∈N，0+m=m；對于任意一個自然數，0與這個數的和等于該數.

第一條規(guī)則定義了自然數的加法零元——0.

（2）m，n∈N，n′+m=（n+m）′.對于任意兩個自然數m，n，n的后繼與m的和等于n與m的和的后繼.

這條規(guī)則使得任意兩個自然數的加法運算都能回歸到第一條規(guī)則，從而使運用數學歸納法推演所有自然數的加法運算成為可能.例如：

2+4=1′+4=（1+4）′=（0′+4）′=（（0+4）′）′=（（4）′）′=5′=6.

有了這兩條僅依賴于“后繼”關系的加法定義，就能確定任意兩個自然數相加的結果.筆者以五條公理和兩條加法規(guī)則為工具，對自然數加法的前兩個基本性質做一個簡單的例證，其余性質僅給出：

1.1+1=2.

證明：1+1=0′+1 （根據自然數公理）

=（0+1）′ （根據加法定義（2））

=1′ （根據加法定義（1））

=2 （根據自然數公理）

2.結合律：對于任意自然數m，n，k，有（m+n）+k=m+（n+k）.

證明：（1）當m=0時，（0+n）+k=n+k=0+（n+k）；

（2）假設命題對m成立，則有：

（m′+n）+k=（m+n）′+k （根據加法定義（2））

=[（m+n）+k]′ （根據加法定義（2））

=[m+（n+k）]′ （根據假設條件）

=m′+（n+k） （根據加法定義（2））

即命題對m′也成立.

由（1）（2）可知，對于任意自然數m，n，k，結合律（m+n）+k=m+（n+k）成立.

3.對于任意自然數m，m′=m+1.

4.對于任意自然數m，m+0=m.

5.交換律：對于任意自然數m，n，有m+n=n+m.

其次，定義自然數乘法是滿足下列兩條規(guī)則的二元運算：

（1）對于任意自然數m，m·0=0；任意一個自然數與0的乘積都等于0.

（2）m·n′=m·n+m.

下面筆者以五條公理和規(guī)則為工具，對自然數乘法的一條基本性質進行例證，其余性質僅給出：

1.乘法對加法的分配律：對于任意自然數m，n，k，有m·（n+k）=m·n+m·k.

證明：對n進行歸納

（1）當n=0時，m·（0+k）=m·k=0+m·k=m·0+m·k，命題成立；

（2）假設命題對n成立，則有

m·（n′+k）

=m·（n+k）′ （根據加法定義（2））

=m·（n+k）+m （根據乘法定義（2））

=（m·n+m·k）+m （根據假設條件）

=m·n+（m·k+m） （根據加法結合律）

=m·n+（m+m·k） （根據加法交換律）

=（m·n+m）+m·k （根據加法結合律）

=m·n′+m·k （根據乘法定義（2））

即命題對n′也成立.

由（1）（2）可知，對于任意自然數m，n，k，m·（n+k）=m·n+m·k成立.

2.乘法結合律：對于任意自然數m，n，k，有（m·n）·k=m·（n·k）.

3.對于任意自然數n，0·n=0.

4.對于任意自然數m，n，n′·m=n·m+m..

5.乘法交換律：對于任意自然數m，n，有m·n=n·m.

根據這個建立在公理基礎之上的自然數體系，可以通過定義減法得到整數系，定義除法得到有理數系.同時，通過定義有理數的基本序列的等價類（由康托提出）或者通過有理數集的分割（由戴德金提出）定義實數.數學在數系擴充的發(fā)展歷程中逐漸充實起來.

四、高中數學教學中介紹皮亞諾自然數公理系統的意義

1.教育意義

當前，高中生在數學學習的過程中，容易出現兩類極端現象：一類是崇尚捷徑，追求各種公式化和套路化，這類學生勤于做題，擅長解題，甚至還沒看完題目，就能報出答案，但是一旦問題條件有所變動，他們首先想到的不是如何重新思考、解決問題，而是認為題目出錯了，完全忽略了學習數學的本源；另一類則是在枯燥的數學知識教學模式下，對數學感到畏懼，甚至視之為天敵，這類學生害怕思考，逃避數學學習，害怕一切形式的考查，最終喪失學習新知的興趣和能力.這顯然都不是數學教育的最終目的.而引導學生學習一些數學發(fā)展史，了解一些數學知識產生的由來和背景，能讓學生用心體會真正的數學思維過程，通過那一段段輝煌或蕭條的時代背景、一個個引人入勝的真實故事，揭示數學并非是枯燥乏味的，增強學生對數學學科的學習興趣，并使學生真正做到“知其然，知其所以然”.

2.學科意義

筆者在現在的大學生群體中做過一個小范圍的簡單調查：請調查對象說出自然數的定義.有部分調查對象思考一番后，說：“不知道.”有部分調查對象反問：“自然數還需要定義嗎？”大部分調查對象的回答是：“自然數就是0，1，2，3…”不論是不是數學專業(yè)的學生，都應該

對從小就接觸的數學概念

有一個完整且準確的了解.在當前拓展延伸知識內容、豐富學生知識面的目標驅動下，適當地對學科知識作進一步的深入探究勢在必行.所以，在高中階段的數學教學中介紹自然數公理系統具有重要的學科意義.

3.傳承意義

數學史是整個人類文明史非常重要的組成部分.數學史的研究對象不僅包括數學內容及其發(fā)展歷程，還涉及歷史、哲學、宗教、政治、經濟等社會科學與人文科學內容.不了解數學史，就不可能全面了解人類的發(fā)展史.但從當前高中數學的教學狀況來看，不少有關數學史的知識都被授課教師忽略或者一筆帶過.這或多或少是因“以考定教”的現狀造成的.但從學生發(fā)展的角度出發(fā)，高中數學教師應重視數學史對數學教學的促進作用，認真對待教材中的數學史知識，并結合學生的實際情況，對教學內容進行適當的拓展延伸，綻放數學學科的魅力.

4.可行性意義

首先，高中生對自然數并不陌生，較容易接受這一公理系統的切入口.教師針對學生已經習以為常的自然數算術運算進行設問，容易激發(fā)學生的研究興趣.其次，皮亞諾自然數五條公理之間的邏輯關系其實也正對應了人們對自然數的認知層次，且高中生的知識能力水平

已達到一定層次，完全能夠理解和接受其中的演繹、推理過程.在自然數加法和乘法基本運算性質的證明中使用的數學歸納法，本就是高中數學的教學內容.這能充分讓學生體會到數學歸納法本身的運用絕不僅僅是解決課本上或習題集中的幾道題目，它在數學科學的發(fā)展歷程中扮演著重要的角色，從而使學生重新認識課內所學習的數學知識.因此，

在高中數學教學中介紹皮亞諾數學公理系統

在具備多種必要性意義的同時，還具有可行性.

五、結束語

德國數學家希爾伯特在他著名的講演《數學問題》中提出了23個問題，揭開了20世紀數學的序幕.他在講演的開頭說：“我們當中有誰不想揭開未來的帷幕，看一看今后的世紀里我們這門科學發(fā)展的前景和奧秘呢？我們下一代的主要數學思潮將追求什么樣的特殊目標？在廣闊而豐富的數學思想領域，新世紀將會帶來什么樣的新方法和新成果？”我們有理由相信，數學的發(fā)展將有更廣闊的天地，未來各個領域范圍內的競爭必然在很大程度上受到數學發(fā)展的影響.我國著名數學教育家張奠宙曾說：“如果說小學數學本質上是實用性數學，那么初中數學的本質已經是智力型數學了……有理數的運算、幾何論證、平行線與無理數的無限特性都超出了日常生活經驗的范圍……怎樣設計教學？這是一個很大、很要緊的課題，那肯定需要創(chuàng)新，乃至形成中國數學教育的一種特色.”筆者認為，這段話同樣適用于我國當前的高中數學教學.在高中數學教學中，對現有的數學知識和理論進行更深入的探索和研究，引導學生通過學習、了解相關數學內容的背景知識，可培養(yǎng)學生學習數學的興趣和嚴謹的學科精神，提升學生的數學學習能力.

[ 參 考 文 獻 ]

[1]（美）Howard Eves著，歐陽絳譯.數學史概論[M]（第六版）.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2013.

[2]李文林.數學史概論（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]（德）弗雷格著，王路譯.算術基礎[M].上海：商務印書館，1998.

（責任編輯 鐘偉芳）