[摘 要]公理化方法是根據(jù)盡可能少的概念和彼此獨立的命題，通過嚴格的邏輯推理得到其他命題及結(jié)論，最終實現(xiàn)整個理論系統(tǒng)的構(gòu)建.公理化方法最具代表性的著作是歐幾里得的《幾何原本》，從實質(zhì)性公理化、形式公理化方法到現(xiàn)代形式公理化方法理論體系的建立和完善，許多數(shù)學家終生致力于探討新系統(tǒng)構(gòu)建的一般性和統(tǒng)一性，而向量空間理論體系的建立與發(fā)展正是公理化研究的典型縮影.其中，在現(xiàn)代向量理論體系的建立中，四元數(shù)的研究是重要推動因素.皮亞諾、外爾、達布、舒馬克、維納等人在向量公理化的道路上提供了完善的理論支撐，做出了關(guān)鍵性的貢獻.

[關(guān)鍵詞]向量空間;公理化;線性系統(tǒng);賦范向量空

[中圖分類號] O1-0;O183.1[文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2021）08-0072-04

公理化是指根據(jù)盡可能精簡的概念和盡可能獨立的命題，采用邏輯推導得到其他相關(guān)命題，最終建立起整個系統(tǒng)的過程.在向量理論被提出和發(fā)展的過程中，許多數(shù)學家不斷深化向量理論在數(shù)學和物理學領(lǐng)域的應用，并在向量理論的基礎(chǔ)上研究、建立向量空間理論，探索向量空間理論的公理化.

古埃及和古巴比倫是文明的發(fā)源地，在數(shù)學的發(fā)展進程中起到了重要作用.古希臘哲學家、科學家泰勒斯（Θαλ??，Thalês，公元前624年-公元前547年），他收集、整理了關(guān)于幾何與計算的豐富資料后，將實際生產(chǎn)、生活中的數(shù)學經(jīng)驗進行總結(jié)，上升為理論，這是數(shù)學史上的飛躍.泰勒斯對數(shù)學發(fā)展的杰出貢獻是開創(chuàng)性地提出了命題證明的思想.只有論證、推理，才能確保命題的正確性，才能使數(shù)學具有理論上的嚴密性和應用上的普適性.泰勒斯的積極倡導，為畢達哥拉斯創(chuàng)立理性的數(shù)學奠定了基礎(chǔ).

在探索演繹證明的道路上，畢達哥拉斯學派的希波克拉茨（Hippocrates，約公元前 470年-430年）做出了重要工作，他所撰寫的《幾何綱要》開創(chuàng)了希臘公理化論著的先河.希波克拉茨由一個命題出發(fā)，通過邏輯推導，得出另一個命題.在證明過程中強調(diào)了邏輯性、嚴謹性與規(guī)范性.柏拉圖的學生、著名數(shù)學家歐多克斯（Eudoxus，約公元前408年-前355年）處理不可公度比時，明確建立了以公理為依據(jù)的演繹法.

在前人研究的基礎(chǔ)上，先哲亞里士多德（Aristotle，公元前384年-前322年）透過現(xiàn)象看本質(zhì)，將研究對象進行抽象化，不再局限于幾何，而是將真正的重點放在邏輯推導上.亞里士多德提出邏輯學理論，撰寫了《分析篇》，在歷史上第一次對公理化方法進行了系統(tǒng)論述.

歐幾里得（Euclid，約公元前330年-前275）更是集大成者，在亞里斯多德、希波克拉茨、歐多克斯等人的研究基礎(chǔ)上，以公理化方法為工具，撰寫了史學巨著《幾何原本》.以5條公理、5條公設為前提，提出關(guān)于點、線、面23個定義，在此基礎(chǔ)上推導出460余條結(jié)論，形成嚴密的邏輯演繹體系.《幾何原本》的誕生，標志著實質(zhì)性公理化方法的創(chuàng)立， 是數(shù)學發(fā)展的不朽豐碑.

公理化方法自亞里士多德的《幾何原本》興起，在歐洲文藝復興時期迅速發(fā)展.十八、十九世紀，學術(shù)界對第五公設進行了廣泛的探討，做出重要工作的有意大利數(shù)學家薩開利（G.Saccheri，1667-1733）、俄國數(shù)學家羅巴切夫期基（H.N.JIoqaheBCKNN，1792-1856）等人.其中，羅巴切夫期基的重大學術(shù)成果《幾何學原理及平行線定理嚴格證明的摘要》舉世聞名.在實質(zhì)性公理化發(fā)展的進程中，非歐幾何、黎曼幾何、微分幾何粉墨登場、大放異彩.非歐幾何的建立標志著實質(zhì)公理學向形式公理學過渡，表明人們的認識已從直觀空間上升到抽象空間.

希爾伯特（Hilbert David，1862-1943）在此基礎(chǔ)上，提出了希爾伯特公理體系，首次提出了一個簡明、完整、邏輯嚴謹?shù)男问交?，從此現(xiàn)代公理法思想進入了新階段.范疇論的奠基人、同調(diào)代數(shù)的創(chuàng)立者塞繆爾 · 艾倫伯格（Samuel Eilenberg，1913-1998）是杰出的形式主義者，繼承了希爾伯特、艾米·諾特（Emmy Noether，1882-1935）等人的理論研究，支持公理化統(tǒng)一論.許多數(shù)學家們聚焦于探討新系統(tǒng)構(gòu)建的一般性和統(tǒng)一性，向量空間理論系統(tǒng)也順應了這一潮流.

向量空間是《高等代數(shù)》最為基本和重要的概念.向量空間的公理化始于格拉斯曼的《擴張論》，盡管格拉斯曼的著作在當時沒能產(chǎn)生巨大影響，他的論述太過艱深導致其他科學家望而卻步，使得從格拉斯曼發(fā)源的向量思想未能真正的大范圍被研究、完善和應用.格拉斯曼給出一種線性結(jié)構(gòu)，用公理化方法介紹了研究對象的基本性質(zhì)，探討了進行加、減、數(shù)乘和數(shù)除運算這四種運算定律.雖然現(xiàn)代向量理論與格拉斯曼系統(tǒng)是相互獨立的，格拉斯曼系統(tǒng)所描述的概念與現(xiàn)代向量空間理論有相當大的區(qū)別，但是對現(xiàn)代向量空間公理化研究的起步而言，格拉斯曼的工作是具有前瞻性和啟發(fā)性的.

一、皮亞諾的線性系統(tǒng)研究

在格拉斯曼的工作基礎(chǔ)上，意大利數(shù)學家皮亞諾（G.Peano，1858-1932）于1888年出版了《幾何演算———基于格拉斯曼的<擴張論>》.這部書主要對格拉斯曼的《擴張論》進行了評述，而在文章的末尾，作為總結(jié)部分，皮亞諾給出了蘊含他自己獨立思想的、并被他稱為“線性系統(tǒng)”的第一個公理化定義.

皮亞諾所給出的公理化系統(tǒng)定義如下：

設存在這樣一個系統(tǒng)，該系統(tǒng)滿足以下條件：

1.系統(tǒng)中兩個元素相等，記作[a=b];

2.系統(tǒng)中兩個元素相加，記作[a+b]，[a+b]也在這個系統(tǒng)之中，并且滿足：

[（a=b）<（a+c=b+c），a+b=b+a，a+（b+c）=（a+b）+c];

3.系統(tǒng)中存在兩個元素a和b，設m和n為正整數(shù)，有：

[（a=b）<（ma=mb）;m（a+b）=ma+mb;（m+n）a=ma+na;m（na）=（mn）a;1a=a.]其中元素ma表示正整數(shù)m和元素a的積;

4.系統(tǒng)中存在一個元素0，使得對任意系統(tǒng)中的元素a，總有0a=0（即元素0和元素a相乘，乘積總為0）.另外，[a-b]可以表示成[a+（-b）]，[a+0=a，a-a=0].

可以看到，皮亞諾對向量空間所做的公理化表述已經(jīng)很接近現(xiàn)代意義下的向量公理化.雖然和格拉斯曼系統(tǒng)有所相似，但更加簡潔實用.從數(shù)學史上看，皮亞諾是第一個對線性系統(tǒng)做出公理化定義的數(shù)學家，他的研究對線性代數(shù)的發(fā)展意義重大.

1898年，皮亞諾將自己關(guān)于向量系統(tǒng)的公理化進一步完善，提出了第二個線性系統(tǒng).他在幾何概念的基礎(chǔ)上陳述了十一個公理，運用反向思維，準備使用向量方法來讓幾何公理化.在他的公理中，前三個是在描述兩點間“等差”的概念，第四個說明了交換律的概念.從第五個開始涉及向量：5.若a是一個點，u是一個向量，則存在一個點b使[b-a=u];6.若a是一個正整數(shù)，u是一個向量，如果au=0，則u=0;7.若a是一個正整數(shù)，u是一個向量，則存在一個向量v使av=u;8.把向量u和v的內(nèi)積記作u|v，則u|v是一個實數(shù);9.內(nèi)積滿足u|v=v|u;10.內(nèi)積滿足（u+v）|w=u|w+v|w;11.內(nèi)積u|u是一個正實數(shù)（u[≠]0）.

皮亞諾的第二次公理化顯然是對他第一次公理化的完善和補充，他的第二次公理化已經(jīng)相當接近現(xiàn)代意義下的向量公理化系統(tǒng)，但可惜的是他的理念在當時并沒有得到廣泛傳播.當時的數(shù)學家中只有羅素在他的著作《數(shù)學原理》中提到了皮亞諾的線性系統(tǒng)，并用向量的公理化定義來解釋歐幾里得空間，他的研究從某種意義上來講可以看作是對皮亞諾向量公理的詮釋.

二、達布、舒馬克與漢默爾的公理化工作

達布（Gaston Darboux，1842-1917）是法國著名數(shù)學家.他在數(shù)學分析（積分、偏微分方程）以及微分幾何（曲線和曲面的研究）領(lǐng)域都有重要貢獻.在1875年，他在論文《關(guān)于靜力的合成》中研究了向量公理化的另外一種方法.和皮亞諾的理念完全不同，他分析了力學中力的合成（即平行四邊形法則）的各種證明，運用幾何方法處理問題，并設立了自己的一套系統(tǒng)：

給定以O為起點的n條有向線段，有如下四條公理：1.若任意改變分力的順序，合力不變;2.若各個分力繞點O任意旋轉(zhuǎn)，合力不變;3.力的合成法則同樣適用于分力的代數(shù)加法運算;4.合力的方向、大小可作為分力的連續(xù)函數(shù).

到了1903年，達布的四條公理被德國人舒馬克（Rudolf Schimmack，1881-1912）和漢默爾（Georg? Hamel，1877-1954）引用.

舒馬克在1903年和1908年分別發(fā)表了兩篇同名的文章《關(guān)于向量加法的公理化建立》.文中首先定義了向量，然后分析了達布的公理化系統(tǒng)并進行討論，最后提出自己的觀點與結(jié)論，并將達布的4條公理拓展到7條.

比較達布和舒馬克的公理的不同之處，可以發(fā)現(xiàn)舒馬克把達布的第一條定理分成了三條來解釋，豐富了它的內(nèi)涵，三條定理分別解釋了向量加法的唯一性、向量的交換性和向量的可結(jié)合性.另外，舒馬克用兩條公理來詮釋達布的第三條公理.

漢默爾的主要工作是他證明了達布的第四條公理.1901年到1904年，漢默爾在他的導師希爾伯特影響下，發(fā)表了兩篇關(guān)于證明達布第四公理的文獻，并指出了達布第四定理的必要性和合理性.后一篇論文《所有數(shù)的基和代數(shù)函數(shù)方程[f（x+y）=f（x）+f（y）]的非連續(xù)解》在前一篇的基礎(chǔ)上完成，并且更加翔實.漢默爾不僅針對代數(shù)函數(shù)方程進行了非連續(xù)解的探討，同時還給出了函數(shù)方程的所有解，并予以嚴格證明.

達布、舒馬克和漢默爾的工作使向量公理化又往前邁了一大步.

三、外爾和有限維向量空間

盡管皮亞諾、達布、舒馬克和漢默爾等人在向量的公理化方面做了很多努力，取得了一些成果，但是向量空間公理化的重要性并沒有得到共識，以至于在接下來的一段時間里進展緩慢.直到德國數(shù)學家外爾（Hermann Weyl，1885-1955）的出現(xiàn)，終于打破僵局.他研究了實數(shù)域上的有限維向量，將向量與空間聯(lián)系在一起.

外爾在20世紀上半葉是影響最深遠、研究最廣泛的數(shù)學家之一.他在分析學、拓撲學、超復數(shù)、廣義微分幾何學等方面都有非常重要的成就.1918年，外爾的著作《空間，時間，物質(zhì)》出版.書中他以廣義相對論為基礎(chǔ)，采用新思維使向量空間公理化，將向量看作空間中的位移，把向量和空間中的點聯(lián)系到了一起.

進而外爾把基向量看作一個n元組，利用坐標來處理向量.他使用“張量”代替“向量”，從n維幾何概念開始，逐步討論了度量幾何、歐幾里得空間中的張量、非歐幾何的注釋、張量代數(shù)和張量分析等內(nèi)容.

從上述分析不難發(fā)現(xiàn)，外爾所做的工作實際上是現(xiàn)代意義下有限維向量空間公理化.

四、賦范向量空間和向量理論的完善

在外爾之后，哈恩（Hans Hahn，1879-1934）、維納（Norbert Wiener，1894-1964）和巴拿赫（Stefan Banach，1892-1945）等人都各自給出了向量空間公理化體系，他們完善了賦范向量空間，并且對泛函分析和拓撲學有自己獨到的見解.

為了統(tǒng)一對奇異積分進行處理，哈恩在1922年發(fā)表了論文《連續(xù)線性算子》.文中他將賦范向量空間稱之為“線性空間”，定義了指標的完整性，并做了相應的泛函分析.之后，哈恩又在“線性空間”中提出“范數(shù)”的概念，使線性空間成了可度量的空間.哈恩一直致力于研究不同的賦范向量空間，討論這些函數(shù)空間上的線性變換、線性子空間、收斂序列和算子等概念.

哈恩的工作傾向于現(xiàn)實分析，他對向量空間的公理化并沒有投入太多精力;外爾關(guān)心的則是射影幾何和數(shù)學物理方面;而維納則更關(guān)注泛函分析，他的研究涉及了大量的拓撲結(jié)構(gòu)，面向抽象空間.在1920年的國際數(shù)學家大會上，維納首次介紹了他的空間系統(tǒng)，他所給出的公理化定義其實與現(xiàn)代意義下的賦范空間非常接近，只是沒有提到其完備性.他的“向量系統(tǒng)”是包括點集K和向量集[σ]的系統(tǒng)，在其中他定義了向量加法[⊕]、純量乘法[?]以及模和范數(shù)[]的概念.

巴拿赫所做的研究工作在當時所產(chǎn)生的廣泛影響是外爾、維納等人無法匹敵的.他在嚴格抽象的公理框架下建立了一個完備的賦范向量空間——巴拿赫空間.確切地說，巴拿赫空間具有完備的范數(shù)，它包括“實巴拿赫空間”和“復巴拿赫空間”，分別將向量空間建立在實數(shù)域和復數(shù)域上.此外巴拿赫空間將外爾的有限維空間擴展到了無限維函數(shù)空間，深入的研究了空間拓撲.

1922年巴拿赫發(fā)表了一篇在1920年完成的博士論文，即《關(guān)于抽象集合上的運算及其在積分方程上的應用》，文中介紹了巴拿赫空間的公理化方法.另外，巴拿赫還在他1932年的著作《線性算子論》中總結(jié)了他關(guān)于賦范向量空間的所有成果，書中提到的關(guān)于泛函分析的拓撲定理、共鳴定理和閉圖像定理等在今天也被廣泛采用，引導后世的數(shù)學家們研究基于向量空間和泛函分析的各種理論，具有很大的參考價值.

五、現(xiàn)代意義下的向量空間公理化定義

向量發(fā)展到21世紀，經(jīng)過多次完善，形成了現(xiàn)代意義下的向量空間.

設V是數(shù)域P上一個n維向量的非空集合，在V中定義了加法，即對于任意[α，β∈V]，存在[γ=α+β，γ∈V];在P與V之間還定義了數(shù)量乘法，即對于任意[k∈P，α∈V]，存在[δ=kα，δ∈V]與之對應，[δ]稱為k與[α]的數(shù)量積.若加法與數(shù)量乘法這兩種代數(shù)運算滿足8條公理，就稱V是數(shù)域P上的向量空間.

當然，向量空間的公理定義不止這一種表述方法，它還有其他的一些同義的可以相互轉(zhuǎn)換的等價公理.這一現(xiàn)象存在的特殊性主要在于向量空間的定義并非完全獨立，若元素的加法交換律（公理1）成立，則零元素的存在性（公理3）和負元素的存在性（公理4）等價.但若加法交換律不成立，兩者不等價.這種不同也造成了加法交換律，即通常意義下的公理1獨立和不獨立的兩種情況.此外，公理3與4可以用其他命題等價替換.

基和維數(shù)將向量空間分為有限維和無限維向量空間，而解析幾何的需求使科學家們開始關(guān)心向量的度量性質(zhì)，從而衍生出內(nèi)積空間和賦范向量空間.

六、小結(jié)

不管基于向量的抽象空間公理定義如何拓展，向量空間的中心思想和內(nèi)涵是統(tǒng)一的.向量空間和基于向量空間的幾類空間構(gòu)成了整個向量理論和線性代數(shù)核心理論的基礎(chǔ)支架，一代代數(shù)學家經(jīng)過漫長的研究最后形成了向量相關(guān)理論簡潔、濃縮、實用的公理定義.向量空間的發(fā)展過程讓我們窺見數(shù)學之美麗深邃，而科學文化領(lǐng)域其他概念的發(fā)展大抵如此.

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[責任編輯：林志恒]