張棟華

(東北財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計學(xué)院，遼寧 大連 116025)

一、引 言

隨著指數(shù)公式類型及其數(shù)量越來越多，如何選擇其中具有優(yōu)良性質(zhì)的指數(shù)成為一個重要議題。Fisher①Irving Fisher是美國最偉大的經(jīng)濟學(xué)家之一，是數(shù)理經(jīng)濟學(xué)和價格指數(shù)理論的先驅(qū)，其中著名的費雪方程式是其在1911年《貨幣的購買力》中提出的。首次系統(tǒng)地提出時間維度下的公理化檢驗方法，并且應(yīng)用該方法將列舉的134種指數(shù)劃分至worthless至superlative等7個組別中，其中通過檢驗公式越多的指數(shù)，其越接近于superlative②Irving Fisher提出的superlative indices與Diewert(1976)提出的superlative indices有所區(qū)別。組別[1]246-257。在Fisher提出該方法后，通過公理化檢驗方法來判別指數(shù)的好壞成為選擇指數(shù)的重要準(zhǔn)則，并且多位學(xué)者對該方法作出了進一步的闡述、擴展，這些方面包括：Eichhorn指出公理化檢驗方法并不是一個可以將所有檢驗公式納入的兼容體系[2]69-94；Olt和Balk對該方法進行了系統(tǒng)的整理、闡述和擴展[3]270-275[4]；Diewert和Balk在時間維度下公理化檢驗方法的基礎(chǔ)上提出空間維度下的公理化檢驗方法[5][6]68-74[7]；此外，部分國內(nèi)學(xué)者將公理化檢驗方法應(yīng)用到具體的問題當(dāng)中，其中馮星光和張曉靜采用公理化檢驗方法中的部分公式對貧困測度指標(biāo)進行了綜合評價[8]。

公理化檢驗方法作為構(gòu)建指數(shù)理論方法中的一種，一方面可以作為指數(shù)的檢驗方法，如Fisher、Balk等學(xué)者通過該檢驗方法對大量的指數(shù)進行了對比總結(jié)，并選擇出其中具有優(yōu)良性質(zhì)的指數(shù)；另一方面，可以通過相關(guān)的檢驗公式來推導(dǎo)所要求的指數(shù)。從公理化檢驗方法的兩個作用來看，具體可以描述為拋開指數(shù)的具體公式形式和無需具體公式形式的實際數(shù)據(jù)，用來提出指數(shù)應(yīng)該所具備的一些特征，進而歸納形成指數(shù)的檢驗方法，并且可以從集中化、抽象化的公理檢驗公式出發(fā)，演繹出各類指數(shù)公式，可見公理化檢驗方法在篩選指數(shù)，構(gòu)建指數(shù)上有著重要的作用。

二、時間維度下的公理化檢驗方法演化

(一)時間維度下公理化方法的初步提出

指數(shù)公理化方法的出現(xiàn)是一種非常自然的事情，隨著眾多指數(shù)的提出，如以拉氏指數(shù)為代表的Young指數(shù)，以帕氏指數(shù)為代表的調(diào)和平均形式指數(shù)、以C-D指數(shù)為代表的幾何平均形式指數(shù)，以及后來以Vartia-I和Vartia-II指數(shù)為代表的對數(shù)算術(shù)平均形式的指數(shù)和在它們基礎(chǔ)上演變而來的Fisher等其他指數(shù)，這些指數(shù)面臨的一個問題是哪種指數(shù)的性質(zhì)更加優(yōu)良，有沒有一種最優(yōu)指數(shù)的存在，伴隨著這些問題，公理化檢驗方法隨之產(chǎn)生。

在指數(shù)公理化方法產(chǎn)生的過程中，首先出現(xiàn)的是各個檢驗公式，并且這些檢驗公式是在各個統(tǒng)計學(xué)家、經(jīng)濟學(xué)家在指數(shù)構(gòu)造的基礎(chǔ)上，通過指數(shù)的本質(zhì)特性、所具有的經(jīng)濟意義和 目的用途等方面提出并發(fā)展而來，如Laspeyres提出的Identity test，表明了指數(shù)的運動方向；Fisher 提出的product test和the factor reversal test，指明了價格指數(shù)與物量指數(shù)的對偶性和經(jīng)濟意義，本文在此將一些檢驗公式總結(jié)為表1。

表1 一些雙邊指數(shù)公理化檢驗公式匯總表

隨著大量指數(shù)和諸多檢驗公式的提出，F(xiàn)isher 首次系統(tǒng)地對各類公理化檢驗公式進行了總結(jié)，并且提出8種具體的指數(shù)檢驗公式，認為指數(shù)滿足的檢驗公式越多，那么該指數(shù)就更加優(yōu)越[1]246-251。指數(shù)公理化檢驗方法的創(chuàng)立代表了人們對指數(shù)的認識從直觀上升到了抽象的階段，從初步、簡單的認知到系統(tǒng)、全面的認知。

(二)時間維度下公理化方法的動態(tài)演化

在Fisher提出系統(tǒng)公理化檢驗方法后，諸多學(xué)者對該方法進行了深入地分析和擴展，主要是對公理化檢驗公式之間的兼容性檢驗，公理化檢驗方法的進一步擴展以及公理化檢驗方法的演繹作用。本文對這三方面進行詳細的論述。

1.公理化方法中各類公式之間的兼容性檢驗。在Fisher提出公理化檢驗方法后，部分學(xué)者對其檢驗公式之間的相容性提出質(zhì)疑，認為系統(tǒng)中的這些檢驗公式并不能被全部包含入內(nèi)，即部分檢驗公式與其他檢驗公式存在一定的排斥性。其中，F(xiàn)risch和Wald采用舉證的方法首次對此進行了相關(guān)的論證，其中Wald指出，P和Q在一定假設(shè)條件下，Identity test、circular test和product test是不兼容的[9-10]。Eichhorn采用數(shù)理推導(dǎo)對公理化檢驗方法中公式之間的不兼容性進行了全面地證明和論述[2]69-94。正是因為對公理化檢驗公式之間互斥性的認知，在實際構(gòu)造指數(shù)或者選出最優(yōu)指數(shù)時，應(yīng)該選擇一些具有互相獨立性質(zhì)的檢驗公式。

2.公理化檢驗方法的進一步擴展。公理化檢驗方法是一種動態(tài)發(fā)展的體系，隨著統(tǒng)計學(xué)家對指數(shù)認知的逐步加深，其檢驗的公式數(shù)量也在不斷地增加，在該方法發(fā)展過程中，部分學(xué)者對公理化檢驗方法中的公式做了進一步的補充、總結(jié)，從表1提出的檢驗公式來看，各個學(xué)者從不同的角度對指數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和本質(zhì)特征提出了自我的認知；此外，Olt和Balk對公理化檢驗方法分別做了系統(tǒng)性的描述、總結(jié)，指出公理化檢驗方法的適用范圍和不足之處。公理化檢驗方法的動態(tài)發(fā)展，保證了其是一個兼容并蓄的方法體系，可以為不同指數(shù)的優(yōu)劣作為一個評判的參考標(biāo)準(zhǔn)。

3.公理化檢驗方法的演繹作用。公理化檢驗方法的演繹作用，主要是指通過相關(guān)的檢驗公式來推導(dǎo)所要求的指數(shù)，即可以從集中化、抽象化的公理檢驗公式出發(fā)，演繹出各類指數(shù)公式，具體可用式(1)的形式來進行具體說明：

F(k1,...,kN)=P

(1)

從公理化檢驗方法的演變來看，其是一個不斷發(fā)展包容完善的過程。從發(fā)展階段來看，首先出現(xiàn)的是各類公理化檢驗公式來檢驗統(tǒng)計指數(shù)的優(yōu)劣，其次又通過檢驗公式演繹出所需要的指數(shù)。

三、空間維度下的公理化檢驗方法演化

(一)空間維度下公理化檢驗方法提出的背景

隨著全球經(jīng)濟的一體化發(fā)展，要求不同國家、區(qū)域經(jīng)濟水平或者諸如人均收入、工業(yè)產(chǎn)值等其他指標(biāo)進行比較，以此來分析國家或區(qū)域間經(jīng)濟水平等多方面的狀況。在多國或多區(qū)域比較中，由于國家的重要程度不同，以及更加復(fù)雜的加總計算等問題，特別是如果選擇雙邊指數(shù)直接進行多邊比較計算，其結(jié)果可能依賴基期國家的選擇性，即選擇不同的國家作為基期國家，其帶來的最終結(jié)果可能會出現(xiàn)不同，這種多邊國家之間比較的特征決定了雙邊指數(shù)直接應(yīng)用在其上可能存在偏誤，因此在測度多個國家的經(jīng)濟水平對比上，雙邊指數(shù)所計算出的數(shù)值與真實的數(shù)值之間會存在一定程度的偏差。

隨著時間的推進，諸如GEKS(Gini-Eltet?- K?ves-Szulc method)、GK(Geary-Khamis method)和CPD(The Country-Product-Dummy method)等多邊指數(shù)方法被提出，這些方法的性質(zhì)如何，特別是在一些相似方法的比較中其優(yōu)缺點的對比說明，因此如何像Fisher提出對應(yīng)的檢驗公式來分析比較這些方法就顯得很有必要。

(二)空間維度下公理化檢驗方法的提出及其特征

Diewert*Diewert是當(dāng)今價格指數(shù)領(lǐng)域中最出名的學(xué)者之一，是《Consumer Price Index Manual Theory and Practice》(2004)、《Operational Guidelines and Procedures for Measuring the Real Size of the World Economy》(2011)等價格指數(shù)領(lǐng)域書籍的主要編撰者之一，是《The New Palgrave Dictionary of Economics》中統(tǒng)計指數(shù)一欄的編寫者。提出多邊比較下(空間維度)的公理化檢驗方法，將多邊指數(shù)的公理化檢驗公式總結(jié)為9種，在此本文將其中的9種公理化檢驗公式歸納為表2。

從Diewert提出的一系列檢驗公式可以看到：

第一，由于在多邊指數(shù)方法中包含雙邊指數(shù)方法的特征，并且多邊指數(shù)的公理化檢驗方法是基于雙邊指數(shù)公理化檢驗方法發(fā)展而來的。因此，空間維度下的檢驗方法一方面反映出理論方法上的連續(xù)性特征，如物量比率檢驗和價格比率檢驗是基于時間維度下公理化方法中的比率檢驗發(fā)展而來，Diewert提出的公度性檢驗是基于Jenvos、Pierson、Fisher所提出的公度性檢驗發(fā)展而來；另一方面，空間維度下的公理化檢驗方法又有其個性的一面，如多邊國家互換檢驗測度的意義在于保證各個國家在比較中有公平的、不偏不倚的地位，防止在購買力評價的測度中出現(xiàn)格申科龍效應(yīng)[5,12]。

表2 一些多邊指數(shù)公理化檢驗公式匯總表

第二，空間維度下的公理化檢驗方法更加側(cè)重檢驗物量指數(shù)*購買力平價(Purchasing Power Parity，PPP)，在多邊比較(International Comparison Program，ICP)中，僅僅作為一個中間過程，最終目的在于求解各國國力等物量方面的比較。，如Diewert和Balk基于Sk(P,Y)來檢驗其所提出的各類公理化檢驗方法，原因在于區(qū)域或世界范圍內(nèi)的多邊比較，其目的往往是比較各國的經(jīng)濟水平、產(chǎn)出水平等，即物量水平上的比較[5,13]。

第三，在空間多邊比較中，其比較的范圍內(nèi)國家之間應(yīng)該保持一種“均勻”狀態(tài)，因此在空間維度下的公理化檢驗公式中，多邊國家互換檢驗意味著在區(qū)域內(nèi)的多個國家中，不能存在一個國家獨大，即區(qū)域內(nèi)的每個國家都應(yīng)該被公平對待，Kravis等將該檢驗視為基期國家的不變性[14]376。在多邊國家經(jīng)濟水平比較中，該檢驗被認為是一個非常重要的檢驗。

(三)空間維度下公理化檢驗方法的動態(tài)演化

在Diewert之后，Balk等部分學(xué)者對空間維度下的公理化方法進行了擴展與修正，其中Balk通過采用不同國家的權(quán)重對其中的檢驗公式進行了修正處理，在對比10種多邊比較方法后，對Diewert所提出的9種多邊指數(shù)的公理化檢驗方法作了進一步的修正，并通過這些檢驗指出GK方法和the Van I Jzeren方法要更加優(yōu)越[13,15]。在Balk提出修正后的檢驗公式基礎(chǔ)上，Diewert對空間維度下公理化檢驗公式進行了系統(tǒng)性總結(jié)，并提出了包含可加性等12種檢驗公式[12]?？梢哉f，空間維度下的公理化檢驗方法在不斷的動態(tài)演化，在這個動態(tài)過程中，公理化檢驗方法中的各種公式是被學(xué)者不斷提出的，這些檢驗公式提出的過程也是對多邊指數(shù)結(jié)構(gòu)認知逐步加深的過程。

四、對公理化檢驗方法的評析

(一)公理化檢驗方法與指數(shù)之間可以進行互相推導(dǎo)

公理化檢驗方法作為反映指數(shù)本質(zhì)特征和經(jīng)濟意義的方法，其具體的檢驗公式是通過指數(shù)的運動特征和其他特性推導(dǎo)得出的，并且隨著對指數(shù)的認知越加深刻，推導(dǎo)而出的公理化檢驗公式也會逐步得到增加；另一方面，公理化檢驗方法中的檢驗公式也可以在一定條件下進行結(jié)合，進而推導(dǎo)出所需要的指數(shù)。在這種相互的推導(dǎo)過程中，也反映出對指數(shù)的本質(zhì)特性了解越加深刻。

(二)時間和空間維度下的指數(shù)公理化檢驗方法，兩者側(cè)重點并不相同

時間維度下的公理化檢驗方法其檢驗的不僅包括物量指數(shù)，也包括價格指數(shù)，而空間維度下的公理化檢驗方法更加側(cè)重于物量指數(shù)，其原因可能在于時間維度下的指數(shù)目的不僅偏向于測度同一個體在不同時間上經(jīng)濟水平的比較，也包括測度對價格的變動，如通貨膨脹上的測度，而多邊比較方法更加注重物量上的比較*盡管在多邊比較中，也存在測度區(qū)域通貨膨脹率和世界通貨膨脹率，然而由于目前的ICP只是幾年才能測度一次，因此中間的年份數(shù)據(jù)只能通過推導(dǎo)而獲得，所以其最終獲得的世界通貨膨脹率數(shù)值也是不準(zhǔn)確的。，即多個國家的國內(nèi)生產(chǎn)總值等方面的比較。

(三)在一定條件下，公理化檢驗方法可以演繹出任意指數(shù)

從理論上而言，在條件足夠的前提下，無論是時間維度的公理化檢驗方法還是空間維度的公理化檢驗方法都可以演繹出所需要的指數(shù)，這正是公理化檢驗方法可以作為構(gòu)建指數(shù)理論的原因所在。然而，這些檢驗公式如何去找，怎么將這些公式形成一個獨立的體系，仍然需要去不斷地驗證和發(fā)展。

(四)時間和空間維度下的指數(shù)公理化檢驗方法，兩者既有共性又有個性

由于許多空間多邊指數(shù)是基于時間雙邊指數(shù)的原理提出和設(shè)計的，作為反映空間指數(shù)本質(zhì)特征的公理化檢驗方法與反映時間指數(shù)本質(zhì)特征的公理化檢驗方法有著諸多的共性，如時間維度下的公理化檢驗方法對應(yīng)的公度性檢驗和空間維度下的公理化檢驗方法對應(yīng)的公度性檢驗基本類似。然而，國家或者區(qū)域的多邊比較與時間雙邊比較也存在很大的不同，如時間數(shù)據(jù)對應(yīng)的雙邊指數(shù)，其在時間上是無限的，并且有著自然的排序和同等的位置。但是，在多邊比較中，國家的數(shù)量是一定的，并且國家并沒有一種自然性的排序和不同的位置，這種位置可能是由于國家的經(jīng)濟實力、人數(shù)等原因所引起的，這種比較上和方法上的差異性導(dǎo)致了公理化檢驗方法必然在共性中存在著個性特征，如多邊國家互換檢驗意味著在多個國家的比較中，不應(yīng)該存在一個不對稱性的國家，即區(qū)域內(nèi)的每個國家都應(yīng)該是對稱和均勻的，而在時間維度下的公理化檢驗方法并沒有類似的檢驗。

五、結(jié) 論

(一)公理化檢驗方法為統(tǒng)計指數(shù)的編制、設(shè)計與評價提供了框架準(zhǔn)則

從公理化檢驗方法與指數(shù)之間的互相推導(dǎo)來看，第一，在對指數(shù)的逐步認知中，不斷歸納和總結(jié)出各類公理化檢驗公式，這體現(xiàn)了對指數(shù)的認知從個別上升到一般的過程，也為后續(xù)公理化檢驗方法的演繹作用提供了先決條件；第二，在歸納和總結(jié)的基礎(chǔ)上，公理化檢驗方法又可以從中演繹出各類所需的指數(shù)公式，這體現(xiàn)了對指數(shù)認知從一般、普遍的視角中回到個別、具體的指數(shù)當(dāng)中，并且公理化檢驗方法演繹作用的挖掘與發(fā)展是對歸納作用的一個重要補充，可以為各類公理化檢驗公式的歸納指明一定的方向。在公理化檢驗方法的兩種作用中，通過歸納作用總結(jié)出的各類檢驗公式，為以后統(tǒng)計指數(shù)公式的創(chuàng)建提供了依據(jù)和指導(dǎo)，并且通過這些檢驗公式，為不同指數(shù)之間的比較、評價提供了框架準(zhǔn)則；通過演繹作用，在不同的假設(shè)前提下，可以推導(dǎo)出各類所需要的統(tǒng)計指數(shù)，進而為測度各類經(jīng)濟目標(biāo)服務(wù)。

(二)公理化檢驗方法是數(shù)學(xué)和統(tǒng)計方法的一種結(jié)合

公理化檢驗方法中的各類檢驗公式，本質(zhì)是通過數(shù)學(xué)的方法來描述和檢驗各類統(tǒng)計指數(shù)，并且在逐步抽象出各類數(shù)學(xué)公式的過程中，需要查看和分析各類指數(shù)公式以及其他資料，因此這一過程又是描述統(tǒng)計分析的過程。數(shù)學(xué)和統(tǒng)計的方法為統(tǒng)計指數(shù)的邏輯性、可比性與可分析性提供了基本的理論依據(jù)和保障，也是統(tǒng)計指數(shù)可以逼近現(xiàn)實問題的基本保證。