魏洪偉 王博 王建華

摘要：針對(duì)應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)下離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)實(shí)際，分析計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)原則及方法，提出學(xué)以致用的教學(xué)原則，闡述如何在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用翻轉(zhuǎn)式教學(xué)、引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、加強(qiáng)實(shí)踐等教學(xué)方法，使學(xué)生牢固掌握離散數(shù)學(xué)知識(shí)并將其應(yīng)用于實(shí)踐，使離散數(shù)學(xué)教學(xué)為培養(yǎng)應(yīng)用型人才服務(wù)。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用型人才；離散數(shù)學(xué)教學(xué)；學(xué)以致用；翻轉(zhuǎn)式教學(xué)；

引言

離散數(shù)學(xué)是研究離散量的結(jié)構(gòu)及離散量間相互關(guān)系的一門(mén)學(xué)科，在計(jì)算機(jī)科學(xué)理論體系中具有重要的基礎(chǔ)地位。毫不夸張地說(shuō)，計(jì)算機(jī)科學(xué)理論體系是架構(gòu)在離散數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上的。許多計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)后續(xù)課程都以離散數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，無(wú)論是硬件還是軟件，離散數(shù)學(xué)知識(shí)都有著舉足輕重的地位。從硬件角度來(lái)說(shuō)，計(jì)算機(jī)硬件系統(tǒng)本身就是一種離散結(jié)構(gòu)，只能處理離散的數(shù)量關(guān)系，比如在數(shù)據(jù)存儲(chǔ)方面，磁盤(pán)用離散的磁粒子保存數(shù)據(jù)、光盤(pán)用離散的凹點(diǎn)保存數(shù)據(jù)。在軟件方面，很多算法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)都是架構(gòu)在離散數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上、利用離散數(shù)學(xué)方法來(lái)解決問(wèn)題的，比如樹(shù)、圖等常用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。因此，學(xué)好離散數(shù)學(xué)是學(xué)好計(jì)算機(jī)軟硬件理論知識(shí)的關(guān)鍵。

古人說(shuō)：學(xué)以致用。離散數(shù)學(xué)是最貼近生活、最能展現(xiàn)這一原則的數(shù)學(xué)學(xué)科之一。計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)就是為了將其應(yīng)用于計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，進(jìn)而成為應(yīng)用型人才。因此，在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，我們一直遵循“學(xué)以致用”的教學(xué)原則，以培養(yǎng)應(yīng)用型人才為目標(biāo)。

1教材與教學(xué)方式的選擇

在教材的選擇上，我們選擇的是美國(guó)Bernard Kolman等人撰寫(xiě)的Discrete MathematicalStructures，采用雙語(yǔ)教學(xué)。之所以選擇這本英文教材，原因有以下幾方面。

首先，該教材在介紹離散數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，既介紹了相應(yīng)知識(shí)在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中的應(yīng)用，又介紹了如何利用計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)知識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。切合了我們培養(yǎng)應(yīng)用型人才的目標(biāo)。

其次，選擇英文教材進(jìn)行雙語(yǔ)教學(xué)能夠使學(xué)生掌握一定的英文專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)，提高學(xué)生閱讀英文文獻(xiàn)的能力。比如，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是最重要的計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)課之一，也是以離散數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的一門(mén)課程，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中不僅涉及離散數(shù)學(xué)的許多知識(shí)，而且算法名稱(chēng)、變量名稱(chēng)都以英文形式出現(xiàn)，這些英文術(shù)語(yǔ)在該離散數(shù)學(xué)教材中均有涉獵，掌握這些術(shù)語(yǔ)對(duì)學(xué)生深入理解算法大有裨益。另外，由于以往閱讀英文文獻(xiàn)在本科階段所占比重不是很大，本科生往往忽略對(duì)這一能力的提高。而一旦進(jìn)入科研領(lǐng)域，英文能力的欠缺不但影響到他們對(duì)工作、學(xué)習(xí)的信心，還大大限制了他們的發(fā)展。通過(guò)雙語(yǔ)教學(xué)能夠提高本科生的專(zhuān)業(yè)英文水平，有利于他們將來(lái)繼續(xù)深造和求職就業(yè)。

2貫徹學(xué)以致用的教學(xué)原則

正因?yàn)殡x散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)其他課程的基礎(chǔ)，所以講授這門(mén)課程就不能孤立地講數(shù)學(xué)知識(shí)，更應(yīng)該讓學(xué)生了解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用，使學(xué)生學(xué)以致用。

離散數(shù)學(xué)主要包含集合論、數(shù)理邏輯、近世代數(shù)、樹(shù)論、圖論等內(nèi)容。提到離散數(shù)學(xué)，人們很容易想起數(shù)理邏輯這部分知識(shí)。為什么要學(xué)邏輯，它和計(jì)算機(jī)科學(xué)有什么聯(lián)系，這是很多計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的困惑。在講授這部分知識(shí)之前，我們應(yīng)介紹邏輯在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的基礎(chǔ)地位：第一，因?yàn)槊}的真值只有T、F兩種狀態(tài)，所以可以用0、1表示，而命題間的∧、∨、～等運(yùn)算關(guān)系是數(shù)字邏輯電路設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)；第二，計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)必須嚴(yán)格遵循邏輯，建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S有利于計(jì)算機(jī)程序的設(shè)計(jì)與開(kāi)發(fā)；第三，邏輯關(guān)系中由==>、<=>、≡等符號(hào)聯(lián)結(jié)的表達(dá)式傳遞給我們的信息實(shí)際上是一些推理、證明方法，比如（p<=>q）一（p==>q）∧（q==>p））這個(gè)表達(dá)式實(shí)際上告訴我們，在證明兩個(gè)命題p<==>q時(shí)，可以通過(guò)證明p==>q并且q==>p這兩個(gè)蘊(yùn)含式來(lái)實(shí)現(xiàn)。所以這些邏輯表達(dá)式都可以在推理、證明的過(guò)程中加以運(yùn)用。

離散數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的一個(gè)名詞就是關(guān)系，而計(jì)算機(jī)科學(xué)中常用到的數(shù)學(xué)模型大多是特殊的關(guān)系，如函數(shù)、布爾代數(shù)、樹(shù)、圖等，可以說(shuō)關(guān)系的特性滲透在計(jì)算機(jī)科學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域。樹(shù)和圖這兩種特殊的關(guān)系對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)的貢獻(xiàn)更是有目共睹，它們不僅為我們提供了數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的方法，更提供了處理數(shù)據(jù)的算法依據(jù)。比如，二叉樹(shù)為我們提供了一種數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)方法，基于它衍生出多種搜索策略和數(shù)據(jù)處理方法，哈夫曼樹(shù)更為我們提供了一種行之有效的編碼方案。再如，圖論中漢密爾頓路問(wèn)題的一個(gè)最典型的應(yīng)用就是算法分析課中的旅行售貨員問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題是算法分析課的一項(xiàng)重要內(nèi)容，不僅涉及離散數(shù)學(xué)中圖論的相關(guān)知識(shí)，其解決方案更涉及樹(shù)論的知識(shí)。在離散數(shù)學(xué)課中簡(jiǎn)要介紹旅行售貨員問(wèn)題的基本概念和算法基本思想，既能使學(xué)生加深對(duì)樹(shù)論、圖論相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，更能為學(xué)生將來(lái)學(xué)習(xí)算法分析打下基礎(chǔ)。因此，在離散數(shù)學(xué)的授課過(guò)程中，不但要注重相關(guān)數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算方法的講解，更要滲透這些知識(shí)在后續(xù)課程中的應(yīng)用。

3引導(dǎo)學(xué)生在思考中學(xué)習(xí)

應(yīng)用型人才應(yīng)具有較強(qiáng)的獨(dú)立分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，在思考中學(xué)習(xí)正是提高這一能力的前提。學(xué)習(xí)就是一個(gè)思考的過(guò)程，只有多問(wèn)多想才能更好地理解知識(shí)、掌握知識(shí)進(jìn)而運(yùn)用知識(shí)。教師的作用就是引導(dǎo)學(xué)生思考、教會(huì)學(xué)生如何思考。如果像填鴨一樣把所有知識(shí)灌輸給學(xué)生，只會(huì)使學(xué)生“消化不良”，產(chǎn)生厭學(xué)心理。教室不是教師的一言堂，而是師生共同探討知識(shí)的天地。教師也并非至高無(wú)上、不容置疑的權(quán)威，懂得質(zhì)疑的學(xué)生比盲目接受的學(xué)生學(xué)得更扎實(shí)、用得更靈活。因此，在教學(xué)中多為學(xué)生營(yíng)造思考的空間，多問(wèn)一些為什么，允許學(xué)生質(zhì)疑，這樣才能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，其學(xué)習(xí)效果則更加顯著。

比如，圖論中的運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題需要求解最大流，可以利用標(biāo)號(hào)算法解決。但算法本身較繁瑣，步驟也很多，每找到一條路就要進(jìn)行一次回溯，學(xué)生在做題時(shí)難免有些困惑。此時(shí)應(yīng)適時(shí)向?qū)W生提問(wèn)：為什么要進(jìn)行多次回溯？學(xué)生經(jīng)過(guò)思考不難發(fā)現(xiàn)，回溯的目的是為了重新找到從源到匯的路，而多次回溯就是要找到所有從源到匯的路，這些路累加起來(lái)就是運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中的最大流。如此，學(xué)生就能自行總結(jié)出標(biāo)號(hào)算法的基本思想：找到從源到匯的所有路，將這些路累加起來(lái)得到最大流。標(biāo)號(hào)算法雖然繁瑣，算法步驟雖然多，但只要能夠理解其基本思想就能利用它來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。離散數(shù)學(xué)中類(lèi)似的例子不勝枚舉。在教學(xué)中，教師要不斷地引領(lǐng)學(xué)生前行，一個(gè)又一個(gè)的“為什么”就是引領(lǐng)學(xué)生前行的路標(biāo)，思考則是前行的最強(qiáng)動(dòng)力。

4翻轉(zhuǎn)式教學(xué)法的應(yīng)用

翻轉(zhuǎn)式教學(xué)使學(xué)生成為課堂的主體，課程的講解人從教師“翻轉(zhuǎn)”為學(xué)生。教師提前將學(xué)習(xí)提綱布置給學(xué)生，學(xué)生自學(xué)后到課堂上講解，再由師生共同討論、總結(jié)。離散數(shù)學(xué)中一些難度不大的內(nèi)容完全可以采用翻轉(zhuǎn)式教學(xué)法。比如圖論中Some important special graphs（幾種特殊的圖）這部分內(nèi)容就可以以填表的形式讓學(xué)生自學(xué)并講解，如表1所示。表1中涵蓋了這部分內(nèi)容的全部知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生要完成表格就必須仔細(xì)閱讀書(shū)中內(nèi)容，并利用書(shū)中的定義、定理去判斷（如是否正則圖、連通圖）、計(jì)算（如邊數(shù)）、總結(jié)公式。

讓學(xué)生在課堂上講解不但可以活躍課堂氛圍、加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，還可以鍛煉學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力，這些都是應(yīng)用型人才的基本能力。因此，翻轉(zhuǎn)式教學(xué)是培養(yǎng)應(yīng)用型人才的有力方法。

5加強(qiáng)實(shí)踐環(huán)節(jié)

對(duì)于應(yīng)用型人才的培養(yǎng)，實(shí)踐環(huán)節(jié)是不可或缺的重要部分。離散數(shù)學(xué)知識(shí)在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題也可以用計(jì)算機(jī)手段來(lái)解決。比如前文提到的運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題就可以編程序解決。離散數(shù)學(xué)課中類(lèi)似的問(wèn)題還有很多。為了讓學(xué)生更好地理解離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用、提高學(xué)生利用所學(xué)的計(jì)算機(jī)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，我們通過(guò)課程設(shè)計(jì)、學(xué)年論文、畢業(yè)論文等方式，將離散數(shù)學(xué)知識(shí)與計(jì)算機(jī)其他專(zhuān)業(yè)知識(shí)相融合，提出許多課題讓學(xué)生獨(dú)立解決，如匹配問(wèn)題的研究與應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法在算法驗(yàn)證中的應(yīng)用，圖的著色問(wèn)題、歐拉路問(wèn)題、漢密爾頓路問(wèn)題、最短路徑問(wèn)題等圖論知識(shí)的研究與應(yīng)用，編程序驗(yàn)證關(guān)系的自反性、對(duì)稱(chēng)性、傳遞性等。通過(guò)這些課題的訓(xùn)練，不但加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，使學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，更提高了學(xué)生利用計(jì)算機(jī)編程解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

6結(jié)語(yǔ)

在十幾年的離散數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，我們始終堅(jiān)持以培養(yǎng)應(yīng)用型人才為目標(biāo)，以學(xué)以致用為教學(xué)原則，不斷嘗試和總結(jié)新的教學(xué)方法，使學(xué)生熟練掌握離散數(shù)學(xué)知識(shí)并能將其應(yīng)用于實(shí)踐，為后續(xù)課程打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。問(wèn)卷調(diào)查顯示，95%的學(xué)生認(rèn)為離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)后續(xù)課程有很大幫助，92%的學(xué)生認(rèn)為我們采取的教學(xué)方式有助于理解和運(yùn)用知識(shí)，89%的學(xué)生希望增加翻轉(zhuǎn)式教學(xué)、實(shí)踐教學(xué)。在今后的教學(xué)中，我們會(huì)繼續(xù)研究與探索，力爭(zhēng)為社會(huì)培養(yǎng)更多具有實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神的應(yīng)用型人才。