任小英

[摘 要] 導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的運(yùn)用，最基本的作用是將解題過(guò)程變得簡(jiǎn)單高效，將復(fù)雜的高中數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，為學(xué)生下一階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做一個(gè)鋪墊.教師在在導(dǎo)數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，將理論知識(shí)形象化，結(jié)合一定的圖片表格，讓學(xué)生能更直觀的感受到導(dǎo)數(shù)的各性質(zhì)之間的區(qū)別，同時(shí)也要注意引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)生活化，這樣也能更好地提高學(xué)生導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的效率.

[關(guān)鍵詞] 導(dǎo)數(shù) 高中數(shù)學(xué) 合理應(yīng)用

[中圖分類(lèi)號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674 6058（2016）17 0000

導(dǎo)數(shù)是高考出題的熱點(diǎn)，這讓教師和學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的意識(shí)也逐漸加強(qiáng).導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的引入，加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新思維，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將導(dǎo)數(shù)解題的方式運(yùn)用到實(shí)際生活中去，并且對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性有一定的作用.所以導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)教學(xué)中有利的輔助工具.注重引導(dǎo)學(xué)生用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解題，并且能熟練掌握已成為數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)目標(biāo)之一.

一、導(dǎo)數(shù)在代數(shù)中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)不是很復(fù)雜難學(xué)的知識(shí)，只要將公式、法則、性質(zhì)牢記于心，多做練習(xí)，自然就能熟練應(yīng)用.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求極值一般有固定的解題步驟：首先求出f′（x）的根值，根據(jù)所得數(shù)值，確定根兩側(cè)的函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性呈現(xiàn)出來(lái)的遞增或遞減狀態(tài)，得到相應(yīng)的最大值或最小值.如果兩側(cè)單調(diào)性相同，則說(shuō)明此根處沒(méi)有相應(yīng)的極值.

例如，用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）=-x3+3x2+9x在單調(diào)區(qū)間[1，5]上的最大值.

解： 函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-3x2+6x+9，所以在區(qū)間（-1，3）上是單調(diào)遞增的，即f′（x）>0.在區(qū)間（-∞，-1），（3，+∞）上是單調(diào)遞減的；對(duì)于區(qū)間[1，5]在[1，3]的范圍內(nèi)f′（x）>0，即是遞增，在[3，5]范圍內(nèi)f′（x）<0即為遞減，所以根據(jù)極值的定義可得出，在x=3處取得最大值，即f（3）=63.

這類(lèi)題目在高中是常見(jiàn)的基礎(chǔ)題型，在某一區(qū)間內(nèi)求取極值的問(wèn)題，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，在區(qū)間內(nèi)如果兩側(cè)符號(hào)不同，那就說(shuō)明這個(gè)區(qū)間存在極值，以此為根據(jù)，有清晰的解題思路，就能快速地解出答案.

二、導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在幾何題目的解答上都能使解題變得更高效簡(jiǎn)單.學(xué)生在導(dǎo)數(shù)知識(shí)章節(jié)的學(xué)習(xí)中，對(duì)于導(dǎo)數(shù)的公式和兩個(gè)函數(shù)之間的四種求導(dǎo)法則，可以不用加以過(guò)多的證明，但一定要將公式和法則熟記于心，在遇到難題時(shí)，能夠正確使用相應(yīng)的步驟和法則.學(xué)生在導(dǎo)數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，也要注意適時(shí)的進(jìn)行總結(jié)，對(duì)知識(shí)有一個(gè)連貫性.注重知識(shí)的全面運(yùn)用，可以提升學(xué)生自身的綜合學(xué)習(xí)能力.

導(dǎo)數(shù)在幾何解題的應(yīng)用也可以有效地提高解題效率.比如常見(jiàn)的給出某M點(diǎn)坐標(biāo)和曲線(xiàn)c方程，求出最終的切線(xiàn)方程.解題基本上也是有固定的步驟：首先確定M點(diǎn)是否在相應(yīng)的曲線(xiàn)c上，另外要求得相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)f′（x）；根據(jù)題目的實(shí)際情況會(huì)得出不一樣的數(shù)值，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)根據(jù)具體的情況運(yùn)用相應(yīng)的方程公式.如果點(diǎn)在曲線(xiàn)上，那么需要用的方程為y-y0=f′（x0）（x-x0）；如果點(diǎn)不在曲線(xiàn)上，那么需要用到的方程為y1=f（x1），y0-y1=f′（x1）（x0-x1），以此為根據(jù)，得出具體的x1的值，這樣就能求得切線(xiàn)方程.

在幾何題目的解答中，合理的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可以使計(jì)算方法變得更加簡(jiǎn)單，通過(guò)這種方式可以提高數(shù)學(xué)題目解答的效率.在高中數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常會(huì)遇到坐標(biāo)系中切線(xiàn)方程求解.一般的題目都是給出曲線(xiàn)外的一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，讓學(xué)生來(lái)求解過(guò)這個(gè)點(diǎn)的曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程，這些題目的解答都是通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)的.

例如：已知一條直線(xiàn)p：x+4y-4=0，以及曲線(xiàn)y=x4，直線(xiàn)p與曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)n相互垂直，求切線(xiàn)n的方程.這是一道典型的采用導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行解答的曲線(xiàn)切線(xiàn)題目.在解題的過(guò)程中，我們要對(duì)題目所給的信息進(jìn)行分析，根據(jù)直線(xiàn)x+4y-4=0與切線(xiàn)n相互垂直這一信息，來(lái)計(jì)算出n這條直線(xiàn)的斜率，然后再求出曲線(xiàn)的導(dǎo)函數(shù).當(dāng)導(dǎo)函數(shù)取具體值的時(shí)候，我們就可以將其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)求出，這樣就可以根據(jù)斜率和點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)得出直線(xiàn)的方程.具體解題步驟為：y=x4，求導(dǎo)結(jié)果為y′=4x3，直線(xiàn)x+4y-4=0的斜率為-1/4，那么與這條直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)n的斜率就是4.我們令y=4x3=4，就可以得出x=1，由此可知，這條直線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)，也就是切點(diǎn)的位置就是（1，1），那么對(duì)應(yīng)的切線(xiàn)方程就為y-1=4（x-1），即為y=4x-3.

學(xué)生要想在數(shù)學(xué)解題中很好地應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，必須是建立再對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念、性質(zhì)以及法則等有深刻理解的基礎(chǔ)上的.通過(guò)導(dǎo)數(shù)典型性的應(yīng)用，可以使一些題目變得一題多解，幫助學(xué)生對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)有更加深層的掌握，并在此基礎(chǔ)上選擇較為簡(jiǎn)單的方法，更好的解決問(wèn)題.

總之，導(dǎo)數(shù)在高數(shù)解題中的運(yùn)用，有效地幫助學(xué)生更快速地解答難題；在有些包含導(dǎo)數(shù)、方程組、數(shù)列等方面的綜合題目，通過(guò)使用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解題，可以考察學(xué)生的綜合思考能力，提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)有效性.

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1]吳龍福.例析導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)題目解答中的典型性應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)大世界：教師適用，2012，（11）：62-62.

[2]郝利軍.關(guān)于高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用研究[J].文理導(dǎo)航（中旬），2014，（8）：19-19.

建議先理論分析，再列舉一個(gè)具體的例子.

（特約編輯 章 強(qiáng)）