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        數(shù)列教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的挖掘與滲透

        2016-05-14 11:41:19周文匯??
        關(guān)鍵詞:高考數(shù)學(xué)數(shù)列數(shù)學(xué)思想方法

        周文匯  ??

        [摘 要] 數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,在高考中占有很大的比重.教師在教學(xué)數(shù)列知識(shí)時(shí),要認(rèn)真挖掘與滲透數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想方法,并以這些數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo),引導(dǎo)學(xué)生分析、解決數(shù)列問題,從而達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.

        [關(guān)鍵詞] 高考數(shù)學(xué) 數(shù)列 數(shù)學(xué)思想方法

        [中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674 6058(2016)17 0057

        數(shù)學(xué)思想是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式.實(shí)際上,這兩者的本質(zhì)是相同的,差別只是站在不同的角度看問題,所以通常被混稱為數(shù)學(xué)思想方法.常見的四大數(shù)學(xué)思想方法有函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的核心和靈魂.數(shù)列中蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法,在數(shù)列教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的挖掘與滲透具有十分重要的意義.

        一、函數(shù)與方程思想

        1.函數(shù)思想

        數(shù)列是一類特殊的函數(shù),數(shù)列中的好多問題都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.函數(shù)思想是用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)考查數(shù)學(xué)對(duì)象.以函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)、理解數(shù)列,是解決數(shù)列問題的有效方法.

        【例1】 (2013·全國(guó)卷Ⅱ,理16)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S10=0,S15=25,則nSn的最小值為 .

        解析: 設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,

        很容易求得Sn=-3n+ n(n-1) 2 × 2 3 = 1 3 n2- 10 3 n

        .

        令f(n)=nSn,則f(n)= 1 3 n3- 10 3 n2.

        然后,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,可知當(dāng)n= 20 3 時(shí),f(n)取最小值,而n∈ N+ ,f(6)=-48,f(7)=-49,所以當(dāng)n=7時(shí),f(n)min=-49.

        2.方程思想

        等差、等比數(shù)列共涉及五個(gè)基本量.在解數(shù)列問題時(shí),利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式及性質(zhì)構(gòu)造方程(組),是解決數(shù)列問題的基本方法.

        【例2】 (2015·安徽,理14)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于 .

        解析: 由題意得

        a1+a4=9

        a2·a3=a1·a4=8

        ,解得:

        a1=1a4=8

        a1=8a4=1

        .

        而數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,所以 a1=1a4=8

        ,即q3=

        a4 a1 =8

        ,所以q=2,可求得數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn=2n-1.

        二、分類討論的思想

        對(duì)于復(fù)雜的問題,我們一般無法一次性解決,常需分類討論,化整為零,各個(gè)擊破.數(shù)列中蘊(yùn)含著豐富的需要分類討論的問題,如對(duì)等比數(shù)列中公比的討論.

        【例3】 (2015·山東,理18)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知2Sn=3n+3.

        (1)求{an}的通項(xiàng)公式;

        (2)若數(shù)列{bn}滿足anbn=log3an,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

        解析: (1)an=

        3,n=13n-1,n>1

        .

        (2)因?yàn)閍nbn=log3an,

        當(dāng)n>1時(shí),bn=31-nlog33n-1=(n-1)31-n

        ,所以

        Tn=b1+b2+b3+…+bn= 1 3 +[1×3-1+2×3-2+…+(n-1)31-n],

        所以3Tn=1+[1×30+2×3-1+…+(n-1)32-n],

        兩式相減,得2Tn= 2 3 +[30+3-1+…+32-n-

        (n-1)·31-n]= 2 3 + 1-31-n 1-3-1 -(n-1)·31-n

        = 13 6 -

        6n+3 2×3n

        .

        所以Tn= 13 12 - 6n+3 4×3n .

        經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)n=1時(shí),T1=b1= 1 3 滿足Tn= 13 12 - 6n+3 4×3n .

        綜上可得:Tn= 13 12 - 6n+3 4×3n .

        三、轉(zhuǎn)化與化歸思想

        將研究對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為另一種研究對(duì)象,將其變?yōu)槭煜さ幕蛘咭呀?jīng)解決過的數(shù)學(xué)模式.或者從整體著眼,通過問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或其他整體處理后,達(dá)到解題的目的.

        【例4】 (2014·全國(guó)卷Ⅱ,理17)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.

        (1)證明{an+ 1 2 }是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式;

        (2)證明: 1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an < 3 2

        .

        解析: (1)由an+1=3an+1,得an+1+ 1 2 =3(an+ 1 2 ).

        又a1+ 1 2 = 3 2

        ,所以數(shù)列{an+ 1 2 }是首項(xiàng)為 3 2 ,公比為3的等比數(shù)列,

        所以an+ 1 2 =

        3 2 ×3n-1=

        3n 2 ,

        所以an= 3n-1 2 .

        (2)略.

        (責(zé)任編輯 鐘偉芳)

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