戴中林（西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637002）

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求一類非齊次微分方程特解的待定算子法

戴中林
（西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637002）

［摘 要］給出了求一類非齊次微分方程L（D）y＝f（x）特解的待定微分算子解法．即通過求與方程相關(guān)的待定微分算子R（D），從而得出非齊次微分方程的特解y＝R（D）f（x）．

［關(guān)鍵詞］非齊次微分方程；特解；待定微分算子；解法

1　引 言

對(duì)于一般線性非齊次微分方程L（D）y＝f（x）特解的求法，有關(guān)教材上已有介紹，當(dāng)f（x）僅為x的冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，三角正弦或余弦函數(shù)時(shí)一般應(yīng)用算子解法［1］或待定系數(shù)法［2］，亦可用文［3］或其他的方法［4－7］解決，但這些解法較為繁瑣．下面介紹一種求非齊次微分方程特解的待定算子法．即不通過積分運(yùn)算，也無需按一般教材上的算子解法去定義微分算子L（D）的逆算子1／L（D）以及相關(guān)的性質(zhì)和定理，而僅用微分的方法即通過求與微分方程相關(guān)的待定微分算子R（D），即可得到非齊次微分方程的特解y＝R（D）f（x）．

非齊次微分方程一般形式為

其中各項(xiàng)系數(shù)p1，…，pn均為常數(shù)，f（x）僅為x的冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，三角正弦或余弦函數(shù)等．則上述方程對(duì)應(yīng)的微分算子方程為

若已知方程L（D）y＝0的特征方程有n個(gè)特征根λ1，…，λn（可為等根），則該方程可記為或簡(jiǎn)記為

下面僅研究微分方程（1）的特解的求法

2　主要結(jié)果

定理1 微分方程L（D）y＝f（x）有解y＝R（D）f（x）的充要條件是存在微分算子R（D），當(dāng)L（D）f（x）≠0時(shí)，有下式成立

證 必要性．設(shè)微分方程（1）有解y＝R（D）f（x），其中R（D）是待定微分算子，代入方程（1）得

由微分算子乘積的可換性即得

其中L（D）f（x）≠0．

充分性．若L（D）f（x）≠0，且有

即存在微分算子R（D）滿足方程

故可取y＝R（D）f（x），且滿足微分方程L（D）y＝f（x），即方程（1）有解y＝R（D）f（x）．

在定理1中，若L（D）f（x）≡0，則本定理不可用．可用下面定理2求解．

定理2 微分方程L（D）y＝f（x）有解

的充要條件是存在微分算子R（D），當(dāng)L（D）xkf（x）≠0時(shí)，有下式成立

其中k＝1，2，…，n是齊次方程L（D）y＝0的特征方程的根的重?cái)?shù)．

證 令F（x）＝xkf（x），仿定理1證明．

由上述定理可得到下面的求解公式．

推論1 若方程L（D）y＝0的特征方程有n個(gè)互異的特征根λ1，…，λn，且a不是特征方程的根，則方程L（D）y＝eax的解為

證 因方程L（D）y＝0的特征方程有n個(gè)互異的特征根λ1，…，λn，由定理1

取

即得

推論2 若方程L（D）y＝0的特征方程有n個(gè)互異的特征根λ1，…，λn，設(shè)a＝λ1是特征方程的單根，則方程L（D）y＝eax的解為

證 因方程L（D）y＝0的特征方程有n個(gè)互異的特征根λ1，…，λn，且a＝λ1為特征方程的單根．由定理2

取

即得

證 因方程L（D）y＝0的特征方程有n重根λ0，且a＝λ0，由定理2

推論3 若方程L（D）y＝0的特征方程有n重根λ0，設(shè)a＝λ0，則方程L（D）y＝eax的解為，即得

3　例 子

例1 求方程y（4）＋y″＋y＝x3的特解．

解 由定理1

因方程中x的次數(shù)為三次式，可設(shè)

代入上式可求得

故原方程特解為

解法1 原方程即

其自由項(xiàng)中a＝1是特征方程的二重根，故由本方法的定理2

令R（D）＝a＋bD代入求得

故原方程特解為

解法2 用傳統(tǒng)的算子解法求解．原方程特解為

可由文［8］的方法將算子分式分解成部分算子分式

由逆微分算子性質(zhì)，得

因前兩項(xiàng)已包含在通解中，故特解為

例3 求方程y″＋y＝xsinx的特解．

解法1 原方程即（D2＋1）y＝Imxei x，其自由項(xiàng)中a＝i是特征方程的單根．由定理2

令R（D）＝a＋bD代入前式，即求得

故原方程特解為

解法2 應(yīng)用文［3］的方法求解，由常數(shù)變易法，設(shè)

可得增廣矩陣B（x），并對(duì)其進(jìn)行初等變換，

故有

故

為原方程的一個(gè)特解．

從上述例2，例3的對(duì)比解法可看出本方法在實(shí)際計(jì)算時(shí)較其他方法是相當(dāng)簡(jiǎn)便的．已包含在通解中，故取

［參 考 文 獻(xiàn)］

［1］ 王柔懷，伍卓群．常微分方程講義［M］．北京：人民教育出版社，1963：122－131．

［2］ 四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室．高等數(shù)學(xué)（第三冊(cè)）［M］．北京：高等教育出版社，1990：246－250．

［3］ 戴中林．求高階非齊次微分方程（組）特解的矩陣解法［J］．大學(xué)數(shù)學(xué)，2013，29（6）：125－129．

［4］ 劉玲，蘇農(nóng)．n階常系數(shù)非齊次線性微分方程的降階解法［J］．大學(xué)數(shù)學(xué)，2012，28（6）：91－95．

［5］ 肖氏武．用算子升階法求一類微分方程的特解［J］．高等數(shù)學(xué)研究，2010，13（4）：61－62．

［6］ 陳新明，楊逢建．用逆微分算子法求n階常系數(shù)線性一般非齊次微分方程特解公式［J］．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2004，34（3）：120－124．

［7］ 王雋．常系數(shù)線性非齊次微分方程的算子解法［J］．大學(xué)數(shù)學(xué)，1993，10（4）：204－206．

［8］ 戴中林．一類有理分式積分的解法［J］．高等數(shù)學(xué)研究，2013，16（6）：18－20．

Solving the Undetermined Differential Operator Method for Solving
the Special Solution of Non－Homogeneous Differential Equation

DAI Zhong－lin
（Mathematics and Information Institute，China West Normal University，Nanchong Sichuan 637002，China）

Abstract：The solutions of the special solutions for a class of non－h(huán)omogeneous differential equations are given．Namely，the special solution of the non－h(huán)omogeneous differential equation is obtained by solving the undetermined differential operator．

Key words：non－h(huán)omogeneous linear equation；special solution；uncertain differential operator；solution

［收稿日期］2015－01－10

［中圖分類號(hào)］O175．1

［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］C

［文章編號(hào)］1672－1454（2016）01－0096－05