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        高中立體幾何解法解析

        2017-03-29 03:18:07蔡劍鋒
        關(guān)鍵詞:解法立體幾何高中教學(xué)

        蔡劍鋒

        【摘要】 在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)階段,立體幾何是一個(gè)難點(diǎn)也是重點(diǎn),而如何解決立體幾何問(wèn)題,這就需要教師通過(guò)一定的教學(xué)手段,讓學(xué)生們正確認(rèn)識(shí)以及通過(guò)正確的思維方法處理、解決立體幾何圖形問(wèn)題,這樣也會(huì)對(duì)學(xué)生所掌握基礎(chǔ)知識(shí)以及應(yīng)用水平有很大影響.因此,本文中基于本人自身多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),總結(jié)分析了幾點(diǎn)關(guān)于立體幾何問(wèn)題解題的技巧.

        【關(guān)鍵詞】 立體幾何;解法;高中教學(xué)

        立體幾何問(wèn)題是高考中的一個(gè)重點(diǎn),同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn),因此,高中學(xué)生必須重點(diǎn)掌握.但是由于立體幾何明顯的多變性特征,再加上絕大部分高一學(xué)生邏輯思維能力不夠完善,缺少一定的解題技巧,因此,在立體幾何解題方面有較大的困難.所以,在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的過(guò)程之中,教師需要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用空間想象力以及邏輯思維能力進(jìn)行解題,從而達(dá)到提高學(xué)生解題能力的目標(biāo).

        一、將立體幾何與生活相結(jié)合

        教師們可以將生活中的立體幾何與數(shù)學(xué)中的立體幾何相結(jié)合.比如說(shuō),在上立體幾何的新課之前,可以先引導(dǎo)學(xué)生觀察一些常見(jiàn)的物體,并讓學(xué)生自行描述、概況和總結(jié)這些物體的幾何特征,這樣可以讓學(xué)生感覺(jué)立體幾何存在于我們的日常生活中,學(xué)習(xí)的熱情不自覺(jué)地也就有所提升,同時(shí)還減少了學(xué)生對(duì)立體幾何的恐懼感.

        二、教會(huì)學(xué)生運(yùn)用畫(huà)圖方法

        教會(huì)學(xué)生畫(huà)圖,從而更好地解題,也是立體幾何一種學(xué)習(xí)策略.例如,“直線與平面垂直的判定”這一部分的知識(shí),學(xué)生必須弄清定義“若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直,則這條直線和這個(gè)平面垂直”.根據(jù)其定理再進(jìn)行有關(guān)延伸,學(xué)生能夠轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言:m為直線,n為平面β中的任意一條直線,若m⊥n,那么m⊥β,說(shuō)明學(xué)生對(duì)該基礎(chǔ)知識(shí)有所掌握,教師再根據(jù)定義,對(duì)判定依據(jù)“如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線就垂直于這個(gè)平面”進(jìn)行講解和舉例,最后,根據(jù)各條判定條件進(jìn)行有關(guān)的舉例和練習(xí).除了以上的將一般問(wèn)題特殊化、表面距離平面化之外,面臨立體幾何中的最值問(wèn)題求解時(shí),我們可以先根據(jù)題目條件構(gòu)造出一個(gè)由所求變量所組成的目標(biāo)函數(shù),函數(shù)構(gòu)造完以后,通過(guò)函數(shù)最值的求法算出我們需要的結(jié)果.在求解的過(guò)程中我們可以運(yùn)用配方法、判別式法、三角法等等.

        例1 (2014年高考廣東卷文科第18題)四邊形ABCD為一個(gè)矩形(圖1),PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2,做如圖2折疊:折痕EF,其中點(diǎn)E,F(xiàn)分別在線段PD,PC上,沿EF折疊后點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M,并且MF⊥CF.

        (1)證明:CF⊥平面MDF.

        (2)求三棱錐M-CDE的體積.

        分析 (1)根據(jù)已知條件“PD⊥平面ABCD”,采用面面垂直的定理可得MD⊥CF,然后結(jié)合MF⊥CF,通過(guò)線線垂直得知CF⊥平面MDF;

        (2)根據(jù)已知條件和構(gòu)造輔助圖形,可以得知MD= 6 2 ,S△CDE= 3 8 ,因此,VM-CDE= 1 3 S△CDE·MD= 2 16 .

        三、空間想象力

        幾何上的三視圖,首先,是要習(xí)慣從立體的角度看待問(wèn)題,把立體問(wèn)題平面化,然后,再運(yùn)用平面幾何知識(shí)解題.關(guān)鍵是要掌握立體幾何定理,比如,空間直線、直線和平面的關(guān)系、平面和平面的關(guān)系、簡(jiǎn)單的幾何體.在解答一些立體幾何問(wèn)題過(guò)程中,例如,求立體幾何中的范圍、最值等問(wèn)題時(shí),如果能夠靈活地運(yùn)動(dòng)空間想象力來(lái)轉(zhuǎn)變圖形,也可以通過(guò)一些物體內(nèi)在的變化分析問(wèn)題、解決問(wèn)題,便能夠正確、迅速地解答出立體幾何題.

        例2 如圖3所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是一個(gè)直角三角形,∠ABC=90°,BC=CC1= 2 ,AC=6,BC1上有一個(gè)隨意移動(dòng)的點(diǎn)P,問(wèn)CP+PA1的最小值.

        分析 這道題考查一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化中解答最小值距離的知識(shí)點(diǎn),可以采用變化圖形的方法進(jìn)行解答,將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎺缀沃R(shí)來(lái)進(jìn)行解答.

        將A1與B連接起來(lái),順著B(niǎo)C1把△CBC1展開(kāi),△A1B1C1在一個(gè)平面內(nèi),如圖4所示,再將A1與C連接起來(lái),因此,A1C2的長(zhǎng)度便是CP+PA1的最小值,根據(jù)計(jì)算得知,∠A1C1C=90°,∠BC1C=45°,因此∠A1C1C2=135°.按照余弦定理能夠算出A1C2=5 2 ,便是CA+PA的最小值便是5 2 .

        四、總 結(jié)

        教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的靈活的空間想象力和動(dòng)手畫(huà)圖能力.立體幾何中所涉及的圖形較多,所考查的內(nèi)容也較多,教師要根據(jù)教學(xué)大綱要求,根據(jù)學(xué)生的掌握程度來(lái)進(jìn)行適當(dāng)分解,只有這樣,立體幾何才能更容易被理解和消化.

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