張士誠（江蘇師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇徐州221116）

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一道大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題的推廣

張士誠
（江蘇師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇徐州221116）

［摘 要］針對(duì)2015年第七屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽（非數(shù)學(xué)類）第五題，本文利用介值性定理或者積分中值定理，將結(jié)論推廣到一般情形，并給出證明．

［關(guān)鍵詞］積分中值定理；數(shù)學(xué)競賽；介值性定理

1　引 言

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽2009年開始舉辦，作為面向本科生的一項(xiàng)全國性高水平數(shù)學(xué)競賽，給全國大學(xué)生提供了一個(gè)展示數(shù)學(xué)基本功和數(shù)學(xué)思維的舞臺(tái)，也極大的激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性，對(duì)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)起到了一定的促進(jìn)作用．同時(shí)也促進(jìn)高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程建設(shè)的改革和發(fā)展積累了調(diào)研素材．本文從第七屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽（非數(shù)學(xué)類）中的一道證明題入手，主要運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中的介值定理、中值定理等知識(shí)將該證明題的結(jié)論做一般化推廣．

2　預(yù)備知識(shí)

定理2．1［1］（介值性定理） 設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且f（a）≠f（b）．若μ為介于f（a）與f（b）之間的任何實(shí)數(shù)（f（a）＜μ＜f（b））或（f（a）＞μ＞f（b）），則至少存在一點(diǎn)x0∈（a，b），使得f（x0）＝μ．

定理2．2［1］（積分中值定理） 若f與g都在［a，b］上連續(xù)，且g（x）在［a，b］上不變號(hào)，則至少存在一點(diǎn)x0∈［a，b］，使得

命題2．3（全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽非數(shù)學(xué)類第五題） 設(shè)函數(shù)f在［0，1］上連續(xù)，且

試證

（i）存在x0∈［0，1］使｜f（x0）｜＞4；

（ii）存在x1∈［0，1］使｜f（x1）｜＝4．

證 （i）若x∈［0，1］，｜f（x）｜≤4，則

因此

而

所以對(duì)于任意x∈［0，1］，｜f（x）｜＝4，由連續(xù)性知f（x）＝4或者f（x）＝－4．這樣與條件

（ii）先證存在x2∈［0，1］使｜f（x2）｜＜4．若不然，對(duì)任何x∈［0，1］，｜f（x）｜≥4成立．則f（x）≥4恒成立，或者f（x）≤－4恒成立，與矛盾．再由f（x）的連續(xù)性及（1）的結(jié)果，利用介值性定理存在x1∈［0，1］使｜f（x1）｜＝4．

3　結(jié)論的推廣

定理3．1 設(shè)函數(shù)f在［0，1］上連續(xù)，且

試證

（i）存在x0∈［0，1］使｜f（x0）｜＞2n（n＋1）；

（ii）存在x1∈［0，1］使｜f（x1）｜＝2n（n＋1）．

證 （i）若x∈［0，1］，｜f（x）｜≤2n（n＋1），則

因此

而

故

所以對(duì)于任意x∈［0，1］，｜f（x）｜＝2n（n＋1），由連續(xù)性知f（x）＝2n（n＋1）或者f（x）＝－2n（n＋1）．這樣與條件

矛盾．故存在x0∈［0，1］使

（ii）先證x2∈［0，1］使｜f（x2）｜＜2n（n＋1）．若不然，對(duì)任何x∈［0，1］，2n（n＋1）成立．則f（x）≥2n（n＋1）恒成立，或者f（x）≤－2n（n＋1）恒成立，與

矛盾．再由f（x）的連續(xù)性及（1）的結(jié)果，利用介值性定理存在x1∈［0，1］使｜f（x1）｜＝2n（n＋1）．注 當(dāng)n＝2時(shí)，定理3．1即為命題2．3．

下面也可以將結(jié)論推廣到一般的區(qū)間上．

命題3．2 設(shè)函數(shù)f在［a，b］上連續(xù)，且

試證

（i）存在x0∈［a，b］使

（ii）存在x1∈［a，b］使

定理3．3 設(shè)函數(shù)f在［a，b］上連續(xù)，且

試證

（i）存在x0∈［a，b］使

（ii）存在x1∈［a，b］使

因此

而

故

所以對(duì)于任意x∈［a，b］，

由連續(xù)性知

這樣與條件

矛盾．故存在x0∈［a，b］使

（ii）先證x2∈［a，b］使

若不然，對(duì)任何x∈［a，b］，

成立．則

恒成立，或者

恒成立，與

矛盾．再由f（x）的連續(xù)性及（1）的結(jié)果，利用介值性定理存在x1∈［a，b］使

注 當(dāng)n＝2時(shí)，定理3．3即為命題3．2．

以上結(jié)論都是應(yīng)用連續(xù)性與介值性定理證明，下面將結(jié)論中的兩個(gè)小結(jié)論歸結(jié)在一起，使用積分中值定理可以更簡潔的證明．

定理3．4 設(shè)函數(shù)f在［0，1］上連續(xù)，且

試證：存在x0∈［0，1］使｜f（x0）｜≥2n（n＋1）．

定理3．5 設(shè)函數(shù)f在［a，b］上連續(xù)，且

試證：存在x0∈［a，b］使

因此

注 當(dāng)a＝0，b＝1時(shí)，定理3．5即為定理3．4．

4　結(jié)論與認(rèn)識(shí)

我們從一道全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題入手，通過改變題目中的條件，將其結(jié)論進(jìn)行了一般化的推廣．希望本文對(duì)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的大學(xué)生有一定的幫助與啟發(fā)．

［參 考 文 獻(xiàn)］

［1］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析［M］．北京：高等教育出版社，2010．

［2］ 王華生，欒姝．一道全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽證明的推廣［J］．湛江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，35（6）：61－67．

Extension of a Proof Problem in the Chinese Mathematics Contest for College Students

ZHANG Shi－cheng
（School of Mathematics and Statistics，Jiangsu Normal University，Xuzhou，Jiangsu 221116，China）

Abstract：This paper consider the the fifth question which appeared in the 7(th)Chinese College Mathematical Competition（Non Mathematics Major）in 2015．By applying intermediate value theorem or integral mean value theorem in mathematical analysis，the conclusion in the problem is more generalized．

Key words：integral mean value theorem；mathematics；intermediate value theorem

［基金項(xiàng)目］國家自然科學(xué)基金（61271002）；江蘇師范大學(xué)高等數(shù)學(xué)教改項(xiàng)目

［收稿日期］2015－11－30

［中圖分類號(hào)］O172

［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］C

［文章編號(hào)］1672－1454（2016）01－0118－05