朱 燦， 洪 丹（上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海200093）

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基于曲線導(dǎo)數(shù)的二元函數(shù)微分中值定理

朱 燦， 洪 丹
（上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海200093）

［摘 要］給定二元函數(shù)，文獻(xiàn)［1］定義了其在光滑曲線上的方向?qū)?shù)（簡(jiǎn)稱為曲線導(dǎo)數(shù)）．本文主要利用曲線導(dǎo)數(shù)建立二元函數(shù)的微分中值定理，比如羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理．這些中值定理可視作一元函數(shù)微分中值定理在二維情形的推廣．

［關(guān)鍵詞］曲線導(dǎo)數(shù)；羅爾定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理

1　引 言

一元函數(shù)微分學(xué)是研究度量空間（?，d）或其子空間上函數(shù)的分析性質(zhì)．距離d是建立極限理論的前提，而一元函數(shù)微分學(xué)的基本工具是極限．傳統(tǒng)上，二元函數(shù)微分學(xué)采取了另外的辦法，即從偏導(dǎo)數(shù)的角度來(lái)建立微分學(xué)理論．但二者存在明顯的區(qū)別．例如，一元函數(shù)的可微性和可導(dǎo)性等價(jià)，但二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在性無(wú)法刻畫(huà)可微性．甚至在現(xiàn)在通用的數(shù)學(xué)分析教材［2－4］中都沒(méi)有給出二元函數(shù)可微性的等價(jià)條件．文獻(xiàn)［1］中提出了二元函數(shù)的曲線導(dǎo)數(shù)的概念，并且證明了可微性和曲線導(dǎo)數(shù)存在等價(jià)．本文試圖用曲線導(dǎo)數(shù)來(lái)建立二元函數(shù)的微分中值定理．

2　曲線導(dǎo)數(shù)

定義［1］二元函數(shù)z＝f（x，y）在點(diǎn)P0的某鄰域內(nèi)有定義．設(shè)l是以P0為起點(diǎn)的光滑曲線，點(diǎn)P

為曲線l上任一點(diǎn)，P0到P的沿曲線l的弧長(zhǎng)為．若極限

存在且有限，則稱此極限為函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)P0處沿曲線l的導(dǎo)數(shù)，簡(jiǎn)稱為曲線導(dǎo)數(shù)，記作f′l（P0）或，其中指點(diǎn)P沿曲線l無(wú)限趨近于P0．

定理［1］函數(shù)z＝f（x，y）在點(diǎn)P0可微的充要條件是函數(shù)z＝f（x，y）在點(diǎn)P0處沿任意光滑曲線l上的曲線導(dǎo)數(shù)均存在且

該定理解決了當(dāng)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)不連續(xù)時(shí)，函數(shù)仍在這一點(diǎn)處可微的問(wèn)題，彌補(bǔ)了用偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)來(lái)判別可微性的不足，從而豐富了多元函數(shù)可微性的判別理論．考慮以下例子．

例 討論二元函數(shù)

在點(diǎn)（0，0）處的可微性．

由可微的定義易知該函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處可微，但偏導(dǎo)數(shù)f′x（x，y）與f′y（x，y）在點(diǎn)（0，0）處不連續(xù)．由曲線導(dǎo)數(shù)定義，函數(shù)f（x，y）沿任意一條過(guò)點(diǎn)（0，0）的光滑曲線l的曲線導(dǎo)數(shù)均存在且

從而函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（0，0）處可微．更多的例子請(qǐng)見(jiàn)參考文獻(xiàn)［1］．

3　中值定理

有了曲線導(dǎo)數(shù)的定義后，雖然曲線導(dǎo)數(shù)已經(jīng)被用來(lái)刻畫(huà)可微性，但現(xiàn)存文獻(xiàn)中并沒(méi)有關(guān)于曲線導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用．所以本節(jié)主要將一元微分中值定理推廣至基于曲線導(dǎo)數(shù)的多元函數(shù)的微分中值定理，如羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理等．

3．1 費(fèi)馬定理

定理1（費(fèi)馬引理） 設(shè)函數(shù)z＝f（x，y）是在點(diǎn)P0（x0，y0）的某鄰域內(nèi)有定義的二元函數(shù)，且在點(diǎn)P0處可微．如果點(diǎn)P0是函數(shù)f（x，y）的極值點(diǎn)，則函數(shù)z＝f（x，y）在點(diǎn)P0的沿任意光滑曲線l的曲線導(dǎo)數(shù)存在且皆為零．

而函數(shù)z＝f（x，y）在點(diǎn)P0處可微，并且點(diǎn)P0是f（x，y）的極值點(diǎn)，那么

從而函數(shù)z＝f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）的沿任意曲線l的曲線導(dǎo)數(shù)皆為零．

3．2 羅爾中值定理與拉格朗日中值定理

證 若函數(shù)z＝f（x，y）在D上連續(xù)，則在任一光滑曲線l上函數(shù)

（記作z＝g（t））有最大值和最小值，分別用M與m來(lái)表示．以下分為兩種情況討論：

①當(dāng)M＝m時(shí)，則函數(shù)z｜l＝f（x，y）｜l必為常數(shù)，記作f（x，y）｜l＝C，其中C為常數(shù)．由曲線導(dǎo)數(shù)定義可知，任意點(diǎn)Pξ處沿曲線l的曲線導(dǎo)數(shù)皆為零．即結(jié)論成立．

②當(dāng)M＞m時(shí)，由于f（x0，y0）＝f（x1，y1），那么最大值M與最小值m至少有一個(gè)不在點(diǎn)P0和P1處取得，即為函數(shù)z＝g（t）的極值點(diǎn)．由條件（i），f（x，y）在D上可微，則函數(shù)z＝g（t）可微．由一元函數(shù)的費(fèi)馬引理，存在ξ使得g′（ξ）＝0．設(shè)ξ對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Pξ（x（ξ），y（ξ））．因?yàn)?/p>

（i）z＝f（x，y）在D上可微； （ii）f（x0，y0）＝f（x1，y1），則在曲線l上至少存在一點(diǎn)Pξ（x（ξ），y（ξ）），使得

證 作輔助函數(shù)

易知函數(shù)F（x，y）在有界閉區(qū)域D上可微，且有F（x0，y0）＝F（x1，y1）＝0．由羅爾定理可知，則在曲線l上至少存在一點(diǎn)Pξ（x（ξ），y（ξ）），使得．而函數(shù)F（x，y）在點(diǎn)Pξ（x（ξ），y（ξ））處的沿曲線l的曲線導(dǎo)數(shù)為

而由F（x，y）的構(gòu)造知

由定理中曲線導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式可得等式

3．3 柯西中值定理

定理4（柯西中值定理） 設(shè)D??2是有界閉區(qū)域且點(diǎn)P0（x0，y0），P1（x1，y1）∈D．設(shè)l是以P0為起點(diǎn)，P1為終點(diǎn)的任一光滑曲線且其參數(shù)方程為．設(shè)函數(shù)z＝f（x，y），w＝g（x，y）是

（iii）g（x0，y0）≠g（x1，y1），

則在曲線l上至少存在一點(diǎn)Pξ（x（ξ），y（ξ）），使得在區(qū)域D內(nèi)有定義的二元函數(shù)．若函數(shù)z＝f（x，y）與w＝g（x，y）滿足如下條件：

（i）z＝f（x，y）與w＝g（x，y）在D上可微；

（ii）曲線導(dǎo)數(shù)

所以函數(shù)F（x，y）在有界閉區(qū)域上D可微，且有F（x0，y0）＝F（x1，y1）＝0．由羅爾定理可知，則在曲線l上至少存在一點(diǎn)Pξ（x（ξ），y（ξ）），使得

證 作輔助函數(shù)．而函數(shù)F（x，y）在點(diǎn)Pξ（x（ξ），y（ξ））處沿曲線l的曲線導(dǎo)數(shù)為

因?yàn)?/p>

所以有））

由定理中曲線導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式可得

4　結(jié) 論

本文討論了基于曲線導(dǎo)數(shù)的二元函數(shù)的微分學(xué)中值定理，得到了完全類似于一元函數(shù)的微分中值定理．更進(jìn)一步，還可以在此基礎(chǔ)上討論高階曲線導(dǎo)數(shù)及二元函數(shù)的泰勒定理，限于篇幅關(guān)系未作展開(kāi)．

［參 考 文 獻(xiàn)］

［1］ 舒世昌．多元函數(shù)的曲線導(dǎo)數(shù)與可微［J］．咸陽(yáng)師專學(xué)報(bào)，1994，9（6）：3－6．

［2］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析下冊(cè)（第四版）［M］．北京：高等教育出版社，2011．

［3］ 張筑生．?dāng)?shù)學(xué)分析新講（共三冊(cè)）［M］．北京：北京大學(xué)出版社，1990．

［4］ 菲赫金哥爾茨．微積分學(xué)教程［M］．北京：高等教育出版社，1957．

Differential Mean Value Theorems Based on the Curve Derivative of Binary Function

ZHU Can， HONG Dan
（College of Science，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

Abstract：For a given binary function，its’directional derivative on a smooth curve is defined in reference(［1］)（often called curve derivative briefly）．Some differential mean value theorems of binary function are studied based on The Curve Derivative，such as Rolle theorem，Lagrange mean value theorem and Cauchy mean value theorem．These differential mean value theorems can be viewed as a generalization of the one of one variable function．

Key words：curve derivative；Rolle theorem；Lagrange mean value theorem；Cauchy mean value theorem

［基金項(xiàng)目］滬江基金（B14005）

［收稿日期］2015－07－25

［中圖分類號(hào)］O172．1

［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］C

［文章編號(hào)］1672－1454（2016）01－0110－04