劉繼成， 胡曉山（華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，武漢430074）

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獨立隨機變量乘積的分布

劉繼成， 胡曉山
（華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，武漢430074）

［摘 要］得到了兩個獨立的任意分布隨機變量乘積的分布函數(shù)的計算公式，該公式推廣了參考文獻［1］中定理1的結(jié)果．

［關(guān)鍵詞］分布函數(shù)；條件期望；Lebesgue－Stieltjes積分

1　問題的提出

文獻［1］中的定理1給出了兩個隨機變量乘積的分布函數(shù)的計算公式，其中要求一個隨機變量是連續(xù)型隨機變量，另一個是任意的隨機變量，并在注3中舉例說明該公式不適用于兩個都是任意隨機變量的情形．本文對此問題給予正面的解答，得到任意兩個獨立隨機變量乘積的分布函數(shù)公式，該結(jié)果適用于［1］中定理1不成立的情形．

2　預(yù)備知識

需要下面條件期望的性質(zhì)．

性質(zhì)1 設(shè)隨機變量X和Y獨立，則對任意Borel可測函數(shù)f（x，y），

另外，需要下面特殊情形下Lebesgue－Stieltjes積分的計算公式．

性質(zhì)2 設(shè)α（x）絕對連續(xù)，β（x）關(guān)于α（x）在開區(qū)間I上Lebesgue－Stieltjes積分存在，則

性質(zhì)3 設(shè)α（x）為跳躍函數(shù)且在xk的跳躍為αk，β（x）關(guān)于α（x）在開區(qū)間I上的Lebesgue－Stieltjes積分存在，則

3　主要結(jié)論

定理1 設(shè)隨機變量X和Y的分布函數(shù)分別為F（x）和G（x），且X和Y相互獨立，則Z＝XY的分布函數(shù)H（x）為

其中等式右端的積分理解為Lebesgue－Stieltjes積分．由F（x）和G（x）的對稱性，易知H（x）也等于

證 由全概率公式及條件期望的性質(zhì)1，有

下面討論幾種特殊情況作為特例，這些公式在實際中應(yīng)用更為方便．

（i）若G（x）在x＝0處連續(xù)，則Z＝XY的分布函數(shù)為

若G（x）連續(xù)，因為F（x）的不連續(xù)點至多可列個，所以

因此

若G（x）絕對連續(xù)，且G′（x）＝g（x），則

更進一步，若F（x）也絕對連續(xù)，且F′（x）＝f（x），則Z＝XY的密度函數(shù)h（x）為

（ii）若G（x）為跳躍函數(shù)，且在xk的跳躍為pk，則Z＝XY的分布函數(shù)為

更進一步，若G（x）在0連續(xù)，則

再進一步，F(xiàn)（x）絕對連續(xù)，且F′（x）＝f（x），則Z＝XY為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)h（x）為

4　應(yīng)用舉例

例1 設(shè)隨機變量U服從［－1，2］上的均勻分布，V的密度函數(shù)為

且U和V相互獨立．記X＝max｛U，1｝，Y＝min｛V，2｝，求XY的分布．

解 容易計算，X和Y的分布函數(shù)分別為

注意到，當x＜0或者x＞2，dFY（x）＝0，以及FY（x）在x＝0連續(xù)，F(xiàn)Y（0）＝0設(shè)XY的分布函數(shù)為H（x），由公式（1）得

因此，當x≤0，H（x）＝0．當x≥4，

當2≤x＜4，

當0＜x＜2，

例2 設(shè)隨機變量X和Y的分布函數(shù)分別為

注意到G（x）在0連續(xù)，由公式（2），則Z＝XY的分布函數(shù)為

例3 設(shè)X服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，其分布函數(shù)為

Y服從參數(shù)為λ的Poisson分布，其分布列為

假設(shè)X和Y相互獨立．注意到，此時Y只取自然數(shù)，（5）式右端第二項為0，又因為Y的分布函數(shù)G（x）滿足G（0－）＝0，因此（5）式右端第三項為0，且易知G（0）＝P（Y＝0），因此Z＝XY的分布函數(shù)為

注 本文通訊作者胡曉山，hxs＠hust．edu．cn

［參 考 文 獻］

［1］ 劉洋，何璐，孫麗英，許貴橋．隨機變量積的分布函數(shù)及其應(yīng)用［J］．大學(xué)數(shù)學(xué)，2014，5（30）：112－115．

［2］ 嚴加安．測度論講義［M］．2版．北京：科學(xué)出版社，2004．

［3］ Carter M，Van Brunt B．The Lebesgue－Stieltjes Integral：apractical introduction［M］．New York：Springer Press，2000．

The Distribution Function of the Product of Independent Random Variables

LIU Ji－cheng， HU Xiao－shan
（School of Mathematics and Statistics，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China）

Abstract：We give a computing formula to the distribution function of product of independent random variables，which extends the result of Theorem 1in the reference［1］．

Key words：distribution function；conditional expectation；Lebesgue－Stieltjes integral

［基金項目］華中科技大學(xué)自主創(chuàng)新研究基金（2014TS066）；華中科技大學(xué)教學(xué)研究項目（2015067）

［收稿日期］2015－06－30

［中圖分類號］O211．5

［文獻標識碼］C

［文章編號］1672－1454（2016）01－0123－04