仝淑芳， 鄭 軍（．西南交通大學(xué)交通運(yùn)輸系，四川峨眉山640； ．西南交通大學(xué)基礎(chǔ)課部，四川峨眉山640）

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等價(jià)無窮小代換在求和式極限中的應(yīng)用

仝淑芳1， 鄭 軍2
（1．西南交通大學(xué)交通運(yùn)輸系，四川峨眉山614202； 2．西南交通大學(xué)基礎(chǔ)課部，四川峨眉山614202）

［摘 要］等價(jià)無窮小代換經(jīng)常用于求函數(shù)乘積的極限，討論了如何利用等價(jià)無窮小代換求函數(shù)和式的極限．

［關(guān)鍵詞］等價(jià)無窮小；極限；定積分；廣義積分

1　引 言

利用定積分定義與等價(jià)無窮小量代換是求極限的兩種常用方法，由于等價(jià)無窮小量一般不能在加、減法中直接代換以求極限，所以上述兩種方法難以直接綜合應(yīng)用．在文獻(xiàn)［1］中，作者證明了，在求和因子f（x）有不低于一次的增長性條件下，即當(dāng)時(shí)，可以采用類似于等價(jià)無窮小代換的技巧，從而使利用定積分定義與等價(jià)無窮小量代換可綜合使用．本文的主要結(jié)論是，在求和因子沒有增長性條件的假設(shè)下，證明一類求和式的極限可以采用等價(jià)無窮小代換的技巧，使得求和式極限時(shí)不僅可以綜合利用定積分與等價(jià)無窮小代換，也可以利用無界函數(shù)的廣義積分定義與等價(jià)無窮小代換．在下文中，將數(shù)列

時(shí)，在求和式極限

2　主要結(jié)果

若存在，則

即

故

由數(shù)列極限定義得

由此可得

注1 在文獻(xiàn)［1］中，f（x）與h（x）有不低于一次的增長性，本文減弱了該條件，使得f（x）與h（x）可以有其它的增長方式，例如f（x）與h（x）形式上可以為等．

推論1 ①設(shè)函數(shù)f（x），h（x）滿足：

（ii）在0的某一去心鄰域內(nèi)h（x）≠0且不改變符號(hào)；

其中g(shù)（x）是定義在（a，b］上的函數(shù)，g（x）≠0，且存在常數(shù)M及p∈［0，1），使得

則

②設(shè)函數(shù)f（x），h（x）滿足：

（ii）在0的某一去心鄰域內(nèi)h（x）≠0且不改變符號(hào)；

其中g(shù)（x）是定義在［a，b）上的函數(shù)，g（x）≠0，且存在常數(shù)M及p∈［0，1），使得

則

即時(shí)，

令

則有

由定理可得

注2 ①在文獻(xiàn)［1］中，g（x）為閉區(qū)間［0，1］上的有界函數(shù)，在本文的推論中，g（x）可以減弱為開區(qū)間上的無界函數(shù)．

②若g（x）為閉區(qū)間［0，1］上的有界函數(shù)，則推論中g(shù)（x）的條件自然滿足．

推論2 ①若函數(shù)f（x），g（x）滿足：

（i）g（x）在上可積（0，1］，且存在常數(shù)M及p∈［0，1），使得

（ii）f（x）在x＝0處可微，且f（0）＝0（或f（0）＝1），則

②若函數(shù)f（x），g（x）滿足：（i）g（x）在［0，1）上可積，且存在常數(shù)M及p∈［0，1），使得

（ii）f（x）在x＝0處可微，且f（0）＝0（或f（0）＝1），則

證 只需注意到無界函數(shù)的反常積分的定義（見［2］）及g（x）的增長性，利用推論1及文獻(xiàn)［1，3］的方法即可證明．

注3 若g（x）在［0，1）上連續(xù)，且存在常數(shù)M及p∈［0，1），使得對，有

則由無界函數(shù)的反常積分的比較審斂法（見p266，定理6，［2］），g（x）在［0，1）上可積．同理，若g（x）在（0，1］上連續(xù)，且存在常數(shù)M及p∈［0，1），使得對，有，則g（x）在［0， 1）上可積．

下面給出本文結(jié)論的幾個(gè)應(yīng)用，其中例1和例3取自文獻(xiàn)［3］．

解 令f（x）＝sinx，h（x）＝x，則

例2 求

解 注意到

令

則

例3 求

選取

例4 求

解 注意到

令

顯然f（x）在x＝0處可微，且f（0）＝1．由于

且

由推論2可得

［參 考 文 獻(xiàn)］

［1］ 華夢霞，陳慶．利用等價(jià)無窮小代換求和極限［J］．大學(xué)數(shù)學(xué)，2013，29（1）：134－137．

［2］ 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)［M］．北京：高等教育出版社，2014．

［3］ Yuan N．A Discussion on a limit theorem and its application［J］．College Mathematics，2006，22（1）：90－94．

An Application of the Equivalent Infinitesimal in Solving Sum Limitations

TONG Shu－fang1， ZHENG Jun2
（1．Department of Traffic and Transportation，Southwest Jiaotong University，Emeishan 614202，China；2．Department of Basic Course，Southwest Jiaotong University，Emeishan 614202，China）

Abstract：The equivalent infinitesimal is often used in solving limitations with multiplicativity factors．In this paper，it is discussed how to apply the equivalent infinitesimal to solve limitations with additive factors．

Key words：equivalent infinitesimal；limitation；integration；generalized integration

［基金項(xiàng)目］中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)（10801X10096022）

［收稿日期］2015－06－20

［中圖分類號(hào)］O172．2

［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］C

［文章編號(hào)］1672－1454（2016）01－0105－05