楊 秀 香

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南 714099)

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微分方程中常數(shù)變易法的應(yīng)用

楊 秀 香

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南 714099)

摘要：利用微分方程中常數(shù)變易法、線性代數(shù)以及微分方程理論,研究伯努利方程、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程、二階變系數(shù)齊次線性微分方程、二階變系數(shù)非齊次線性微分方程、n階非齊次線性微分方程、非齊次線性微分方程組的解法,得到各類方程的通解與特解。

關(guān)鍵詞:常數(shù)變易法;微分方程;求解;應(yīng)用

常數(shù)變易法是解微分方程的一種很特殊的方法,常微分方程教材中是在求解一階非齊次線性微分方程時(shí)提出的,這種方法指的是將一階線性齊次微分方程通解中的常數(shù)變易成待定的函數(shù),代入原方程從而確定方程的解。本文利用常數(shù)變易法分析求解常微分方程中常見(jiàn)幾類方程的過(guò)程，總結(jié)出常數(shù)變易法在求解微分方程中的應(yīng)用。

下面先將利用常數(shù)變易法解一階非齊次線性微分方程的過(guò)程作一回顧，見(jiàn)文獻(xiàn)[1-3]。

(1)

其中：P(x)、Q(x)在研究區(qū)間上是x的連續(xù)函數(shù)。若Q(x)≡0,方程(1) 變?yōu)椋?/p>

(2)

稱為一階齊次線性微分方程；若Q(x)≠0,方程(1)稱為一階非齊次線性微分方程。

方程(2)為變量分離方程,則得到它的通解為

y=ce∫P(x)dx，

(3)

這里c是任意常數(shù)。

現(xiàn)在討論非齊次線性微分方程(1)通解的求法。

顯而易見(jiàn)方程(2)是方程(1)的特殊形式,可以設(shè)想:在(3)中,將常數(shù)c變易為x的待定函數(shù)c(x)。令

y=c(x)e∫P(x)dx，

(4)

兩邊微分得

(5)

將(4)(5)代入(1),得到

若所給方程不能化為(1)的形式,可以將x看作是y的函數(shù),再看是否能化為(1)的形式。

1常數(shù)變易法的應(yīng)用

1.1利用常數(shù)變易法解伯努利方程

伯努利方程(Bernouli equation)是非線性微分方程，通?？梢赞D(zhuǎn)化為線性方程,然后根據(jù)線性方程的求解方法再去求解。這里用常數(shù)變易法來(lái)直接求解[4-5]。

伯努利方程為:

(6)

y=ce∫P(x)dx。

(7)

將(7)中的常數(shù)c變易為x的待定函數(shù)c(x),令

y=c(x)e∫P(x)dx，

(8)

即[c(x)]-ndc(x)=Q(x)e(n-1)∫P(x)dxdx，

1.2利用常數(shù)變易法解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程:

y″+py′+q=f(x)。

(9)

它對(duì)應(yīng)的齊次方程為

y″+py′+q=0。

(10)

其特征方程為

r2+pr+q=0。

(11)

由于方程(9)的通解等于方程(11)的通解與其自身的一個(gè)特解之和,而二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解容易求得。因此,此處只需求出方程(9)的一個(gè)特解即可。但其中的實(shí)根與復(fù)根情況,要分別考慮:

(A)若r為方程(11)的實(shí)根,則y=cerx是方程(10)的解,由常數(shù)變易法可設(shè)方程(9)的一個(gè)特解為y*=c(x)erx,代入方程(9)并化簡(jiǎn)得c″(x)+(2r+p)c′(x)=e-rxf(x)。

這是關(guān)于c(x)的一階線性微分方程,有特解c(x)=∫[e-(2r+p)x(∫e(r+p)xf(x)dx)]dx。

從而得到方程(9)的一個(gè)特解為y*=erx∫[e-(2r+p)x(∫e(r+p)xf(x)dx)]dx。

(B)若r為方程(11)的復(fù)根,不妨設(shè):r=a+bi(a,b∈R,b≠0)，那么y=eaxsinbx是方程(10)的解,由常數(shù)變易法可設(shè)方程(9)有特解y*=c(x)eaxsinbx,與(A)的推導(dǎo)類似,可得方程(9)的一個(gè)特解

因?yàn)閥*是特解,所以積分常量可以選成0。

1.3利用常數(shù)變易法解二階變系數(shù)齊次線性微分方程

二階常系數(shù)齊次線性微分方程是通過(guò)特征方程法求線性無(wú)關(guān)的特解,然后根據(jù)微分方程解的性質(zhì)得到通解。但是在二階變系數(shù)齊次線性微分方程當(dāng)中,因?yàn)橄禂?shù)本身是變化的,利用特征方程來(lái)求通解的方法失效,為此我們利用常數(shù)變易法來(lái)做:

y″+p(x)y′+q(x)y=0 。

(12)

這是一個(gè)可降階的微分方程。

上式叫作變系數(shù)微分方程(12)的特解關(guān)系,因?yàn)閥2為特解,所以積分常量均可選定為0。

1.4利用常數(shù)變易法解二階變系數(shù)非齊次線性微分方程

二階變系數(shù)非齊次線性微分方程[4-7]：

y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)。

(13)

若y1為其對(duì)應(yīng)的齊次方程的特解,則可利用第1.3節(jié)的方法求出方程另一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,下面利用常數(shù)變易法求出非齊次方程的特解。為此,令y*=c(x)y1,將

y*′=c′(x)y1+c(x)y1′，y*″=c″(x)y1+2c′(x)y1′+c(x)y1″

代入方程(13)得

c″(x)y1+(p(x)y1+2y1′)c′(x)+(y1″+p(x)y1′+q(x)y1)c(x)=f(x)。

因?yàn)橛衴1″+p(x)y1′+q(x)y1=0，所以c″(x)y1+(p(x)y1+2y1′)c′(x)=f(x)，

構(gòu)成c′(x)的一階線性微分方程,由通解公式得

1.5利用常數(shù)變易法解n階非齊次線性微分方程

形如

(14)

的方程叫作n階線性微分方程,其中：pi(x)(i=1,2,…，n),f(x)是x的已知連續(xù)函數(shù)。當(dāng)f(x)≠0時(shí),(14)式叫作n階非齊次線性微分方程;當(dāng)f(x)=0時(shí),(14)式叫作n階齊次線性微分方程。

n階非齊次線性微分方程的通解為其相應(yīng)的齊次線性微分方程的通解與其本身的一個(gè)特解之和[1]。因此,在求n階非齊次線性微分方程的通解時(shí),只需要求出其相應(yīng)的齊次線性微分方程的通解與其本身的一個(gè)特解即可。

設(shè)(14)式相應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為:

Y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)+…+cnyn(x)。

(15)

其中：yi(x)(i=1,2,…，n)是齊次方程n個(gè)線性無(wú)關(guān)的的特解,ci(i=1,2，…,n)是n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)。

引用常數(shù)變易法的思想,將ci變易為ci(x),令

(16)

為方程(14)的一個(gè)特解,即(16)式滿足(14)式,為了解n個(gè)待定函數(shù)ci(x),把(16)式代入(14),由此得到ci(x)滿足的一個(gè)條件(即含有ci(x)及其導(dǎo)數(shù)的一個(gè)方程),可是待定函數(shù)有n個(gè),為了確定它們,必須再找出n-1個(gè)限制條件。

1.6利用常數(shù)變易法解非齊次線性微分方程組

先討論

x′=A(t)x+f(t)

(17)

解的結(jié)構(gòu),A(t)是區(qū)間a≤t≤b上的n×n連續(xù)矩陣,f(t)是區(qū)間a≤t≤b上的n維連續(xù)列向量,當(dāng)f(x)≡0時(shí),

x′=A(t)x

(18)

為(17)對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程組。

性質(zhì)1[1]如果φ(t)是(17)的解向量,ψ(t)是(18)的解向量,則φ(t)+ψ(t)是(17)的解向量。

引理1[1-2]方程組(18)一定存在一個(gè)基解矩陣Φ(t),如果ψ(t)是(18)的任一解,那么ψ(t)=Φ(t)c, 這里c是確定的n維常數(shù)列向量。

引理2[1-2]設(shè)Φ(t)是(18)的基解矩陣,φ*(t)是(17)的某一個(gè)解,則(17)的任一解φ(t)都可表示為：

φ(t)=Φ(t)c+φ*(t)。

(19)

引理2告訴我們,為了求(17)的通解,只要知道(17)的一個(gè)解和它對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程(18)的基解矩陣即可。為了求(17)的一個(gè)解,在已經(jīng)知道基解矩陣Φ(t)的情況下,有一個(gè)簡(jiǎn)單的求解方法：常數(shù)變易法。

我們知道,如果c是常數(shù)列向量,則φ(t)=Φ(t)c是(18)的解,不可能是(17)的解。因此，我們將c變易為t的向量函數(shù)c(t),則有

φ*(t)=Φ(t)c(t) 。

(20)

假設(shè)(17)存在形如(20)的解,則將(20)代入(17)得到

Φ′(t)c(t)+Φ(t)c′(t)=A(t)Φ(t)c(t)+f(t)。

因?yàn)棣?t)為(18)的基解矩陣,所以Φ′(t)=A(t)Φ(t),由此上式中含有A(t)Φ(t)c(t)的項(xiàng)就消失了,因而c(t)滿足關(guān)系式

Φ(t)c′(t)=f(t)。

(21)

2結(jié)語(yǔ)

綜上所述,常數(shù)變易法是一種特殊且實(shí)用性非常強(qiáng)的方法,利用常數(shù)變易法不僅能解一階非齊次線性微分方程,并且對(duì)一階非線性微分方程、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程、二階變系數(shù)齊次線性微分方程、二階變系數(shù)非齊次線性微分方程、高階非齊次線性微分方程和非齊次線性微分方程組的求解有著重要的作用,常數(shù)變易思想也是解微分方程的重要數(shù)學(xué)思想。盡管我們看到以上的方法公式煩瑣不便記憶,而且積分中運(yùn)算量也比較大,但是我們?nèi)匀荒芸吹剿膬?yōu)點(diǎn):(1)充實(shí)了常數(shù)變易法的應(yīng)用；(2)可以解決變系數(shù)的二階微分方程問(wèn)題,這是教材中未曾涉及的；(3)在解決非齊次方程問(wèn)題時(shí),沒(méi)有必要像教材一樣把自由項(xiàng)做詳細(xì)的分類,其適用范圍變得更加廣泛了,從而給我們一些新的啟示,擴(kuò)展了我們解決問(wèn)題的思路。

參考文獻(xiàn):

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【責(zé)任編輯牛懷崗】

The Application with Variation of Constants in the Ordinary Differential Equation

YANG Xiu-xiang

(School of Mathematics and Physics, Weinan Normal University，Weinan 714099, China)

Abstract:Using the variation of constants in differential equation, the knowledge of linear algebra and theory of differential equation to research Bernoulli equations, two order nonhomogeneous linear differential equations with constant coefficients, two order homogeneous linear differential equation with variable coefficient, two order variable coefficient linear differential equation, n order nonhomogeneous linear differential equations, and non-homogeneous linear differential equations, the general solution and special solution of equations are got.

Key words:variation of constants; differential equation; solution; application

作者簡(jiǎn)介：楊秀香(1966—)，女，陜西富平人，渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院教授，主要從事生態(tài)數(shù)學(xué)及微分方程研究。

基金項(xiàng)目：陜西省扶持學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)科基金資助項(xiàng)目：微分方程的穩(wěn)定性理論及其在生物數(shù)學(xué)中的應(yīng)用(14SXZD008)；渭南師范學(xué)院重點(diǎn)科研計(jì)劃項(xiàng)目：利用生態(tài)動(dòng)力學(xué)模型研究秦東地區(qū)黃河濕地的資源保護(hù)與最優(yōu)化分析(13YKF003)；渭南師范學(xué)院教育科學(xué)研究項(xiàng)目：西方教師教育大學(xué)與中小學(xué)合作體質(zhì)特點(diǎn)(2014JYKX021)

收稿日期：2016-01-22

中圖分類號(hào)：O175.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1009-5128(2016)08-0009-05

【自然科學(xué)基礎(chǔ)理論研究】