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探討函數(shù)單調(diào)性的判定方法

◇江蘇鮑怡

單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,在高考中以單調(diào)性為背景的問題屢見不鮮,解題的關(guān)鍵是先判斷出函數(shù)的單調(diào)性,再應(yīng)用其解題．本文從如下幾個方面對單調(diào)性進行探討.

1函數(shù)單調(diào)性定義

設(shè)定函數(shù)y=f(x) 的定義域為A,區(qū)間I?A．如果區(qū)間I內(nèi)的任意2個自變量x1、x2,當(dāng)x1f(x2), 則y=f(x)為區(qū)間I上單調(diào)減函數(shù)．總之,在區(qū)間I上,無論函數(shù)y=f(x)是單調(diào)增函數(shù)還是減函數(shù),則稱其在該區(qū)間上具有單調(diào)性．

注: 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)某個區(qū)間上的性質(zhì),是函數(shù)的局部性質(zhì)．所以在對函數(shù)的單調(diào)性進行研究時,首先要明確所屬區(qū)間．

2函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

2.1定義法

利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性時,可分3個步驟:1)求出函數(shù)的定義域; 2)在定義域內(nèi)任意設(shè)定2個值x1

所以f(x1)>f(x2)．因此,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)．同理f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)．

2.2組合函數(shù)法

如函數(shù)f(x)、g(x)均為區(qū)間A內(nèi)的增函數(shù),則f(x)+g(x)也是區(qū)間A內(nèi)的增函數(shù);若f(x)為區(qū)間A內(nèi)的增函數(shù),g(x)為區(qū)間A內(nèi)的減函數(shù),則f(x)-g(x)為 區(qū)間A內(nèi)的增函數(shù),g(x)-f(x)為區(qū)間A內(nèi)的減函數(shù)．

2.3圖象法

根據(jù)函數(shù)圖象進行函數(shù)單調(diào)性的判斷．具體來講,就是在單調(diào)區(qū)間內(nèi),如果函數(shù)圖象一直呈上升狀態(tài),函數(shù)就為單調(diào)增函數(shù)．而函數(shù)圖象一直呈下降趨勢,則函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)．

圖1

2.4復(fù)合函數(shù)法

在高中數(shù)學(xué)教材中,復(fù)合函數(shù)定義:函數(shù)y=f(g(x))是由函數(shù)y=f(t)和t=g(x)組合而成的，其中t=g(x)為內(nèi)層函數(shù),y=f(t)為外層函數(shù)．根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性定義,在內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性不同的情況下,復(fù)合函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)；在內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時,復(fù)合函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)．

對于較復(fù)雜的函數(shù)還可利用導(dǎo)數(shù)法來判斷其單調(diào)性．總之,學(xué)會判斷函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)好函數(shù)的基礎(chǔ)．在高考中出現(xiàn)的頻率也非常高,只要靈活運用圖象法、定義法、復(fù)合函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等即可順利解題．

(作者單位：江蘇省蘇州市第一中學(xué))