單妍炎，黃秦安

(1.陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院,陜西 西安 710119； 2.內(nèi)蒙古工業(yè)大學 理學院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051)

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數(shù)學知識社會學下學習理論框架新觀

單妍炎1,2，黃秦安1

(1.陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院,陜西 西安 710119； 2.內(nèi)蒙古工業(yè)大學 理學院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051)

摘要：數(shù)學知識社會學的發(fā)展，奠定了數(shù)學知識新形式在數(shù)學教育中的重要地位。隱性知識根植于先前經(jīng)驗，促進了數(shù)學認知向深層水平的發(fā)展。在知識的轉(zhuǎn)化過程中，數(shù)學語言及修辭起到橋梁的作用。通常以顯性知識形式出現(xiàn)的結(jié)晶體概念，代表了數(shù)學三個世界理論的更高發(fā)展水平。這三種力量的交織和平衡，形成了一個動態(tài)的學習理論框架。在數(shù)學知識社會學的影響下，整合與連結(jié)成為數(shù)學學習理論發(fā)展的自然選擇和努力方向。

關(guān)鍵詞：數(shù)學知識社會學；數(shù)學結(jié)構(gòu)；先前經(jīng)驗；隱性知識；整合；平衡；連結(jié)

近百年來，人類對于數(shù)學知識與社會或文化中其他因素關(guān)系的研究從未停止。長期以來的數(shù)學實踐和數(shù)學中的擬經(jīng)驗主義(Quasi-empiricism)，都關(guān)注于實際操作和使用相同假設(shè)的數(shù)學共同體。20世紀60、70年代，尤金·維格納(Eugene Wigner)和希拉里·普特南(Hilary Putnam)對“數(shù)學和物理這兩個領(lǐng)域，為什么能如此一致”的問題都提出了重要見解。他們認為數(shù)學思想的基本組成部分，包括空間、形式結(jié)構(gòu)、數(shù)和比例關(guān)系等也是物理的基本要素。作為科學知識社會學(SSK)的創(chuàng)始人之一，大衛(wèi)·布魯爾(David Bloor)吸收維特根斯坦和同時代其他哲學家的思想，對數(shù)學知識社會學作出重要貢獻。他們認為數(shù)學知識是社會的建構(gòu)，且有不可復原的偶然性和歷史因素融合其中。作為SSK的一部分，數(shù)學知識社會學有自己的獨特性特征。直到20世紀90年代，英國數(shù)學哲學家鮑爾·歐內(nèi)斯特(Paul Ernest)才圍繞顯性知識、隱性知識及其相互關(guān)系，構(gòu)建起數(shù)學知識的社會建構(gòu)主義框架。

一、數(shù)學知識的新形式

數(shù)學中的隱性知識、特定領(lǐng)域知識以及語言，在數(shù)學知識觀理論中不斷發(fā)力而引起人們的持續(xù)關(guān)注。這些數(shù)學知識的新形式與以下三個發(fā)展背景密不可分：(1)數(shù)學真理與其語境脈絡(luò)相關(guān)聯(lián)，并且部分地依賴于歷史偶然性，這促使人們重新審視數(shù)學中證明的作用和目的。(2)數(shù)學共同體的組織和結(jié)構(gòu)，與數(shù)學知識的生成和檢驗密不可分，同時也是隱性知識(Tacit Knowledge)應用與傳播的中心場所。(3)人們對數(shù)學交流的行為和表現(xiàn)給予了更多的關(guān)注。[1](P67~83)這些思想相繼產(chǎn)生了一系列有關(guān)數(shù)學知識的形式、數(shù)學文本的作用和功能、數(shù)學證明和數(shù)學教與學的問題。

數(shù)學知識觀的生成與演進直接影響著人們的數(shù)學認知觀。1979年，斯根普(Skemp,1919—1995)區(qū)分了數(shù)學學習中理解的三種類型：工具性理解、關(guān)系性理解和邏輯性理解。工具性理解可以由數(shù)學方法的隱性內(nèi)容知識來解釋，即在完成一項工作時知道怎樣履行方法和程序。關(guān)系性理解可以部分地通過顯性內(nèi)容知識來解釋，也就是“知其然，知其所以然”。邏輯性理解是對前兩種理解的超越：不僅要知道怎樣完成一項數(shù)學任務(wù)，而且知道為什么這種方法有效，同時在這兩個層面之上，還能夠用數(shù)學語言準確地表達其方法。斯根普的“邏輯理解”概念確立了學校數(shù)學中隱性修辭知識的重要性。人們對于數(shù)學認知的理解不斷加深。幾乎同時期，也就是在弗賴登塔爾(Freudenthal，1905—1990)的晚年，他就數(shù)學認知的結(jié)構(gòu)曾表達了下面的思想。任何時候，我們只需要關(guān)注兩個層次：一個是此時你所在的，另一個是你所努力的方向。①同時，在建構(gòu)主義不同取向的二元對立中，不論是認知的或情境的學習觀，還是獲得性或參與性學習，只取其一都是危險的[2](P4~13)[3](P4~15)，找到其平衡點應該是我們努力的方向。

二、數(shù)學認知發(fā)展中的兩類重要關(guān)系

1.結(jié)晶體概念是數(shù)學結(jié)構(gòu)的更高層次

數(shù)學的三個世界理論始于對數(shù)學概念不同類型的研究，是由英國Warick大學教授David Tall給出的，可以簡單概括為具身化、符號化、形式化。[4](P29~32)對世界的感知和動作是一切認知的基礎(chǔ)。感知使我們獲得了對圖形、空間的認識，進而轉(zhuǎn)換成包括歐幾里得證明在內(nèi)的各種形式的幾何推理；而在諸如計數(shù)、分組這樣的動作中，通過壓縮數(shù)學過程形成了算術(shù)和代數(shù)中的可操作性概念。這兩方面并列地發(fā)展，在較晚的時期，數(shù)學思維才可以轉(zhuǎn)換到以公理化定義和數(shù)學證明為基礎(chǔ)的形式化模式。這三種層次依次發(fā)展，并且越來越復雜。結(jié)晶體概念(Crystalline Concept)是數(shù)學三個世界理論的核心概念之一。由于抽象不是數(shù)學認知發(fā)展的終點，從不同的角度可以完成對同一個數(shù)學對象的刻畫。抽象知識的相互轉(zhuǎn)化，使得更高層次的數(shù)學思維成為可能。也就是說，在我們獲得的這三種不同的數(shù)學思想發(fā)展框架之下，它們擁有一個共同的基礎(chǔ)。它提供了數(shù)學思維發(fā)展理論框架的普遍基礎(chǔ)，它把人類思維發(fā)展與數(shù)學概念結(jié)構(gòu)聯(lián)結(jié)起來，是自身語境中的認知結(jié)果。 2011年，Tall根據(jù)越來越復雜的知識系統(tǒng)，把對學習結(jié)果的分類評價法SOLO(Structure of the Observed Learned Outcomes)擴充為單點、多點、關(guān)聯(lián)、等價和結(jié)晶體概念5大結(jié)構(gòu)層次。[5](P3~8)這些等價的關(guān)系是潛在的結(jié)晶體概念的不同方面，它們使得研究事物本身結(jié)晶化為一個純粹的抽象對象。從而,在更高的數(shù)學思維中，數(shù)學不只是變得越來越復雜，在操作層面上也變得更靈活、簡潔。結(jié)晶體概念代表了數(shù)學結(jié)構(gòu)的更高發(fā)展水平。

2.認知發(fā)展的更深水平來源于先前經(jīng)驗

先前經(jīng)驗(Met-before)是一種依靠人們以前經(jīng)驗的認知結(jié)構(gòu)。起積極作用的先前經(jīng)驗，我們稱之為支持性(Supportive)的；相反，也有在情境中起消極作用的先前經(jīng)驗，我們稱為障礙性 (Problematic)的。同一類先前經(jīng)驗在某些情境中可能起到促進作用，而在另外一些情境中卻是阻礙性的。[6](P171)先前經(jīng)驗在學習上不僅能產(chǎn)生積極或消極的作用，同時對學習情境也產(chǎn)生情感上的反應。它與學習情感緊密相聯(lián)：一方面，在人們處理遇到的各種語境時，支持性的先前經(jīng)驗給予信心，從成功中獲得快樂。甚至，它們能夠成為數(shù)學行為無意識功能的一部分，提高我們厘清楚新概念的機會，增加完成概念性理解的概率。另一方面，障礙性先前經(jīng)驗在厘清新思想時，阻礙學習進程，降低學習者的自我效能感，產(chǎn)生數(shù)學焦慮。古有教育名言：“授人以魚，不如授人以漁”。其凸顯了先前經(jīng)驗理論中情感的力量，有了學習的內(nèi)在學習動機，我們在認知的道路上才能走得更遠。

三、動態(tài)學習理論框架建構(gòu)

數(shù)學知識社會學理論代表人物歐內(nèi)斯特的哲學思想，主要來源于后期維特根斯坦關(guān)于語言的思想和可誤主義(Fallibilist)。歐內(nèi)斯特認為，客觀知識不僅包含形式的或非形式的數(shù)學公理、定理、猜想和證明，也包括獲得社會性承認的語言、邏輯約定和規(guī)則(明確的或隱含的)?？陀^性被解釋為社會的認同，個體的主觀知識通過發(fā)表獲得社會承認的過程即是主觀知識獲得客觀性的過程。[7](P8)這些觀點著重強調(diào)數(shù)學知識生成和演變的社會性，國內(nèi)學者在此基礎(chǔ)之上，進行了批判性的接受，從內(nèi)部和外部兩部分對數(shù)學知識進行多變量系統(tǒng)綜合分析。[8](P61)縱觀學習理論的發(fā)展史，從早期的行為主義理論到認知理論和建構(gòu)主義，為了應對學習理論全景變化方面的巨大復雜性，這些理論與社會學觀點的融合都體現(xiàn)了數(shù)學認知觀自身的一種超越。在這種數(shù)學知識社會學下，學習理論框架的建構(gòu)是一個多變量、多向度的內(nèi)在運行機制(如圖1)。

圖1　數(shù)學思想水平框架圖②

回顧前面提到的弗賴登塔爾的思想觀點，我們能夠感受到從數(shù)學的三個世界出發(fā)：在向結(jié)晶體概念水平努力，獲得個人認知結(jié)構(gòu)發(fā)展的更高要求的同時，另一股力量在向先前經(jīng)驗的基礎(chǔ)水平縱深發(fā)展。復雜的概念思想具有極大靈活性，要求學習者構(gòu)建影響學習者表達新思想的連續(xù)不斷的經(jīng)驗。而先前經(jīng)驗促使個人認知的更深理解。教育學中的“冰山理論”告訴我們，顯性知識只占所有知識的一小部分，而覆蓋在水面下我們看不到的是隱性知識。正如波拉尼(Polanyi，1891—1976)指出，隱性知識通常是個人的見解，只有通過個人經(jīng)驗才能獲取。語言的連接，使顯性知識和隱性知識相互轉(zhuǎn)化。張奠宙說過，“教什么永遠比怎么教更重要”，就著重強調(diào)了隱性知識的重要性。數(shù)學結(jié)構(gòu)通常以顯性知識的形式出現(xiàn)，而先前經(jīng)驗是隱藏在水下的看不到的部分，常常以隱性知識的形式出現(xiàn)。雖然它們兩者包含了兩個不同的發(fā)展水平，但是它們可以通過顯性知識和隱性知識的形式相互轉(zhuǎn)化。因此，在確定學習操作中支持性和障礙性先前經(jīng)驗的同時，還要抓住使數(shù)學思想變簡單靈活的結(jié)晶體概念。更進一步地,在社會文化脈絡(luò)中，使結(jié)晶體概念和先前經(jīng)驗理論達到適度的平衡，是數(shù)學教育研究的一個新的努力的方向。[9](P64)

概括看來，從Tall的數(shù)學三個世界理論出發(fā)，三股不同的力量形成一個動態(tài)的再生產(chǎn)循環(huán)學習理論系統(tǒng)。一方面，數(shù)學結(jié)構(gòu)從具身化、符號化到形式化，越來越復雜，直至獲得統(tǒng)攝的結(jié)晶體概念。另一方面，認知發(fā)展不斷地從先前經(jīng)驗中獲取資源與能量，發(fā)揮積極作用，而障礙性先前經(jīng)驗則在新語境中需要重新被建構(gòu)。顯性知識與隱性知識通過社會化、外化、融合、內(nèi)化的SECI模型，來實現(xiàn)連結(jié)。這三個方面并不孤立，它們在特定社會、歷史和文化情境中演化和建構(gòu)。同時，在思維、問題、觀念、語言、運演法則和方法等多因素共同作用之下，又彼此依賴約束。這種力量的交織，根植于數(shù)學社會、文化、教育，與數(shù)學知識的生成與演化相呼應。它促使學生用多元的方法去解決探究數(shù)學問題，注重知識的連結(jié)。透過連結(jié)將知識融合，建立起一致的關(guān)系。教師也不再是唯一的指導者與發(fā)現(xiàn)者，翻轉(zhuǎn)成為發(fā)現(xiàn)者、創(chuàng)造者。這種數(shù)學知識多維度視角下的數(shù)學教育動態(tài)圖景，是對數(shù)學學習理論的豐富與延伸，代表了數(shù)學教育研究的趨勢走向。

注釋：

①原文是：At any one time there are only two levels of concern: the one that you are in at the moment and the next level that you are working towards.

②需要說明的是：這是在Tall的更高、更深思想水平圖的基礎(chǔ)上改進來的。

參考文獻：

[1]Paul Ernest. Forms of Knowledge in Mathematics and Mathematics Education: Philosophical and Rhetorical Perspectives[J]. Educational Studies in Mathematics, 1999,(38).

[2]Sfard, A. On Two Metaphors for Learning and the Dangers of Choosing Just One[J]. Educational Researcher, 1998, (2).

[3]Paul Cobb,Janet Bowers. Cognitive and Situated Learning Perspectives in Theory and Practice[J].Educational Researcher, 1999,(3).

[4]David Tall. Building Theories: the Three Worlds of Mathematics[J]. For the Learning of Mathematics, 2004, (3).

[5]David Tall. Crystalline Concepts in Long-term Mathematical Invention and Discovery[J]. For the Learning of Mathematics, 2011,(1).

[6]David Tall. Metaphor or Met-Before? The Effects of Previous Experience on Practice and Theory of Learning Mathematics[J]. The Journal of Mathematical Behavior, 2010,(29).

[7]David Tall. Integrating History, Technology and Education in Mathematics[C]. Plenary Presentation:História e Tecnologia no Ensino da Matemática, Universidade Federal de S?o Carlos, Brazil,2013,7,15.

[8]黃秦安. 關(guān)于數(shù)學知識的多維度視角及其變量函數(shù)[J]. 科學技術(shù)與辯證法, 2008, (5).

[9]李建華. 社會建構(gòu)主義數(shù)學哲學與數(shù)學教育哲學及其教育圖景[J]. 全球教育展望, 2000, (5).

Analysis on Learning Theory Structure under Sociology of Mathematical Knowledge

SHAN Yanyan1,2，HUANG Qin’an1

(1. School of Mathematics and Information Science, Shanxi Normal University, Xi’an Shanxi 7101192. College of Science, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot Inner Mongolia 010051)

Abstract:The development of sociology of mathematical knowledge, has established the important position of new forms of mathematical knowledge in education. Tacit knowledge is embedded in met-befores, which promote deeper development of mathematical cognition. And in the process of knowledge transformation, mathematical knowledge and rhetoric are in the role of bridges. Crystalline concepts are, frequently appeared in form of explicit knowledge, on behalf of higher development level of three world of mathematics theory. The interlocked and balanced strength forms a dynamic learning theory structure. In the influence of sociology of mathematical knowledge, integrating and connections, have become unconscious choice and endeavor direction of mathematical learning theory.

Key words:sociology of mathematical knowledge， mathematical structure， met-before， tacit knowledge， integration， balance，connection

作者簡介：單妍炎，河南安陽人，陜西師范大學數(shù)學與信息科學學院博士研究生，內(nèi)蒙古工業(yè)大學理學院講師，主要從事數(shù)學教育研究。

基金項目：本文系西安市2015年基礎(chǔ)教育研究重大課題“基于提升教育質(zhì)量的課堂教學建模研究”(立項號：2015ZB-ZD02)研究成果。

黃秦安，陜西西安人，陜西師范大學數(shù)學與信息科學學院教授，博士生導師，主要從事數(shù)學哲學、數(shù)學文化研究。