楊靜靜，張　楠，夏　禾

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京　100044)

在既有車軌耦合振動(dòng)的研究中，一般以剛體動(dòng)力學(xué)方法建立車輛子系統(tǒng)，以有限元法建立軌道子系統(tǒng)，車輛子系統(tǒng)與軌道子系統(tǒng)通過一定的輪軌接觸模型相互聯(lián)系。

目前，輪軌豎向接觸模型共有2種：Hertz非線性接觸模型[1-3]和輪軌豎向密貼模型[4-6]。Hertz非線性接觸模型對(duì)法向輪軌力描述精確，然而由于輪軌間是非線性關(guān)系，需采取較小的時(shí)間步長(zhǎng)進(jìn)行迭代求解，導(dǎo)致對(duì)車軌系統(tǒng)的動(dòng)力方程計(jì)算緩慢[7]。輪軌豎向密貼模型對(duì)輪軌關(guān)系的處理較為簡(jiǎn)便，然而列車運(yùn)行時(shí)總無法避免出現(xiàn)瞬間的輪軌分離現(xiàn)象，此時(shí)輪軌豎向密貼模型則不能較為準(zhǔn)確地予以描述[8]。

Dinh-Van Nguyen提出線性近似Hertz接觸模型，定義豎向輪軌力等于輪軌豎向接觸剛度與輪軌接觸點(diǎn)處法向彈性壓縮量的乘積，其中輪軌豎向接觸剛度為常數(shù)。Dinh-Van Nguyen給出的輪軌豎向接觸剛度與豎向輪軌力的表達(dá)式分為2種情況：①當(dāng)車軌系統(tǒng)不考慮軌道不平順時(shí)，豎向輪軌力與靜輪重大致相等，此時(shí)輪軌豎向接觸剛度可以依據(jù)靜輪重給出；②當(dāng)車軌系統(tǒng)需要考慮軌道不平順時(shí)，豎向輪軌力則比靜輪重高很多，此時(shí)由于輪軌接觸點(diǎn)處的法向彈性壓縮量一般低于2 mm，Dinh-Van Nguyen給出的輪軌豎向接觸剛度的建議范圍為4.602～4.602 GN·m-1[9]。Dinh-Van Nguyen提出的線性近似Hertz接觸模型雖然簡(jiǎn)化了豎向輪軌力的計(jì)算，然而當(dāng)車軌系統(tǒng)需要考慮軌道不平順時(shí)，用于確定豎向輪軌力的輪軌豎向接觸剛度并不是確定的常數(shù)，因此輪軌豎向接觸剛度的選取將影響著豎向輪軌力的計(jì)算精度。

本文為進(jìn)一步簡(jiǎn)化豎向輪軌力的計(jì)算，對(duì)豎向輪軌力的表達(dá)式進(jìn)行統(tǒng)一，將Hertz非線性接觸模型的函數(shù)曲線總是以經(jīng)過某點(diǎn)的直線進(jìn)行替代。本文提出2種線性近似Hertz接觸模型：① 經(jīng)過Hertz非線性接觸模型函數(shù)曲線上點(diǎn)的割線，下文簡(jiǎn)稱為“割線線性近似模型”；②經(jīng)過Hertz非線性接觸模型函數(shù)曲線上點(diǎn)的切線，下文簡(jiǎn)稱為“切線線性近似模型”，如圖1所示。

圖1　Hertz非線性接觸模型及其線性近似模型的函數(shù)曲線

針對(duì)Hertz非線性接觸模型、輪軌豎向密貼模型、割線線性近似模型和切線線性近似模型，本文以雙塊式無砟軌道為例，比較這4種輪軌豎向接觸模型對(duì)車軌系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響。

1　車軌系統(tǒng)方程及求解方法

車軌耦合動(dòng)力系統(tǒng)包含車輛、軌道兩部分，車輛與軌道之間用輪軌關(guān)系相關(guān)聯(lián)。車軌系統(tǒng)的坐標(biāo)系定義如下：x軸為列車前進(jìn)方向，z軸為豎直向上，y軸依右手螺旋法則確定，繞3個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度依次記為θ，φ和Ψ。假定車輛運(yùn)行速度在所研究時(shí)間范圍內(nèi)保持不變，則車軌系統(tǒng)不存在縱向相互作用力，本文也忽略車軌的橫向相互作用力，以下僅討論車軌系統(tǒng)的豎向耦合振動(dòng)。

1.1　車輛

單節(jié)車輛的豎向動(dòng)力方程為

(1)

式中：mV，CV和KV分別為單節(jié)車輛的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，可基于Lagrange方程[4-6]或達(dá)朗貝爾原理求得[1-3]；ZV為單節(jié)車輛的豎向位移向量；FV為單節(jié)車輛所受的豎向力向量，即豎向輪軌力。

在只考慮車輛的豎向平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，單節(jié)4軸機(jī)車共有10個(gè)自由度，其中，車體、轉(zhuǎn)向架各有沉浮和點(diǎn)頭2個(gè)自由度，每個(gè)輪對(duì)有沉浮1個(gè)自由度。對(duì)于輪軌豎向密貼模型，輪對(duì)的自由度不獨(dú)立。

具有4個(gè)輪對(duì)的車輛結(jié)構(gòu)側(cè)視圖如圖2所示。

圖2　4個(gè)輪對(duì)車輛模型側(cè)視圖

1.2　軌道

雙塊式無砟軌道主要由鋼軌、扣件(包括軌下膠墊)、預(yù)制的雙塊式軌枕、混凝土道床板等組成。由文獻(xiàn)[2]可知，對(duì)于雙塊式無砟軌道，由于軌枕與混凝土道床板完全聯(lián)結(jié)在一起，軌下基礎(chǔ)的質(zhì)量很大，道床板與混凝土底座之間基本沒有彈性，故軌道的彈性主要靠軌下膠墊提供，雙塊式無砟軌道的振動(dòng)主要體現(xiàn)為鋼軌的振動(dòng)，因此在用有限元法建立路基上雙塊式無砟軌道振動(dòng)模型時(shí)，僅需考慮鋼軌。雙塊式無砟軌道的振動(dòng)模型如圖3所示。

圖3雙塊式無砟軌道振動(dòng)模型

采用有限元法建立鋼軌的豎向動(dòng)力方程為

(2)

式中：mR，CR和KR分別為鋼軌的總體質(zhì)量矩陣、總體阻尼矩陣和總體剛度矩陣；ZR為鋼軌的豎向位移向量；FR為車輛作用于鋼軌的豎向力向量。

MR和KR可由有限元法求得，CR可由比例阻尼法求得。

只考慮鋼軌的豎向平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，單個(gè)鋼軌節(jié)點(diǎn)有豎向及相應(yīng)彎曲自由度共2個(gè)自由度。

1.3　軌道不平順激勵(lì)

軌道不平順指用來支承和引導(dǎo)車輪的軌道接觸面沿軌道方向與理論平順軌道面之間的偏差，包括軌向不平順、高低不平順和水平不平順。

分析車軌系統(tǒng)的豎向平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，只考慮高低不平順。為避免隨機(jī)不平順規(guī)律的不確定性，本次采用正弦波型不平順激勵(lì)，分析不平順中不同波長(zhǎng)、不同振幅的影響。正弦波型不平順δ(x)的表達(dá)式為

(3)

式中：A為不平順幅值；L為不平順波長(zhǎng)。

1.4　豎向輪軌力

1.4.1輪軌豎向密貼模型

輪軌豎向密貼模型假定輪對(duì)與鋼軌在豎向上始終不分離，輪對(duì)運(yùn)動(dòng)可表示為鋼軌運(yùn)動(dòng)和軌道不平順附加運(yùn)動(dòng)的代數(shù)和。輪軌豎向密貼模型根據(jù)輪對(duì)的運(yùn)動(dòng)平衡方程求取垂向輪軌力。單節(jié)車輛1位輪對(duì)的豎向輪軌力Fw1和2位輪對(duì)的豎向輪軌力Fw2分別為

(4)

(5)

式中：Fwg為每個(gè)輪對(duì)平均受到的整節(jié)車輛的靜輪重；mw為每個(gè)輪對(duì)的質(zhì)量；zw1和zw2分別為單節(jié)車輛1位輪對(duì)和2位輪對(duì)的沉浮自由度；zt1和φt1分別為單節(jié)車輛前轉(zhuǎn)向架的沉浮和點(diǎn)頭自由度；kz1和cz1分別為一系彈簧阻尼器左右兩側(cè)的垂向剛度和垂向阻尼系數(shù)之和；d為轉(zhuǎn)向架軸距之半。

1.4.2Hertz非線性接觸模型

Hertz非線性接觸模型下每個(gè)輪對(duì)的豎向輪軌力Fw均根據(jù)Hertz非線性理論確定，即

(6)

式中：G為輪軌接觸常數(shù)，對(duì)于錐形踏面車輪G=4.57R-0.149×10-8m·N-2/3，R為車輪半徑，對(duì)于磨耗型踏面車輪G=3.86R-0.115×10-8m·N-2/3；Δ為輪軌接觸點(diǎn)的法向彈性壓縮量。

當(dāng)僅考慮輪軌垂向振動(dòng)時(shí)，輪軌法向彈性壓縮量即為輪對(duì)與鋼軌的垂向相對(duì)位移，Δ包括輪軌間因靜輪重Fwg引起的靜壓縮量Δ0在內(nèi)。

1.4.3割線線性近似模型

以割線線性近似模型代替Hertz非線性模型(見圖1)時(shí)，輪軌豎向接觸模型被視為滿足Fw=ksΔ形式的線性彈簧(ks為割線線性近似模型的輪軌豎向接觸剛度)，滿足Fwg=ksΔ0。割線線性近似模型下每個(gè)輪對(duì)的豎向輪軌力Fw為

Fw=ksΔ=ks(Δ0+Δ′)=Fwg+ksΔ′

(7)

式中：Δ′為輪軌接觸點(diǎn)的法向彈性總壓縮量與靜壓縮量之差。

1.4.4切線線性近似模型

從數(shù)學(xué)意義上講“以直代曲”時(shí)，一般取曲線過某點(diǎn)的切線。以切線線性近似模型代替Hertz非線性模型(見圖1)時(shí)，輪軌豎向接觸模型被視為滿足Fw=ktΔ+b形式的線性彈簧(kt為切線線性近似模型的輪軌豎向接觸剛度,b為截矩)，滿足Fwg=ktΔ0+b。切線線性近似模型下每個(gè)輪對(duì)的豎向輪軌力Fw為

Fw=ktΔ+b=kt(Δ0+Δ′)+b=Fwg+ktΔ′

(8)

其中，

1.5　車軌系統(tǒng)方程及求解

將車輛運(yùn)動(dòng)方程、軌道運(yùn)動(dòng)方程、豎向輪軌力組合在一起，即可構(gòu)成車軌系統(tǒng)的動(dòng)力平衡方程

(9)

式中：Kq和Fq分別為由豎向輪軌力引起的車軌系統(tǒng)附加剛度矩陣、附加輪軌力。

輪軌垂向力的計(jì)算與輪軌相對(duì)位移相關(guān)，而使用有限元法對(duì)鋼軌進(jìn)行動(dòng)力分析時(shí)，只能得到每個(gè)時(shí)刻鋼軌各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移。因此求解輪軌接觸點(diǎn)處的鋼軌位移需要根據(jù)輪對(duì)所在位置鋼軌單元兩端節(jié)點(diǎn)的位移通過形函數(shù)插值求得[3]。設(shè)輪軌接觸點(diǎn)距某一鋼軌單元節(jié)點(diǎn)i和j的距離分別為l1和l2，單元總長(zhǎng)度為l，l1/l=q；i和j節(jié)點(diǎn)的豎向位移及彎曲角位移分別為zi，φi，zj和φj，如圖4所示。因此輪軌接觸點(diǎn)處的鋼軌豎向位移zR為

zR=fzizi+fφiφi+fzjzj+fφjφj

(10)

其中，

fzi=1-3q2+2q3

fφi=l(-q+2q2-q3)

fzj=3q2-2q3

fφj=l(q2-q3)

式中：f為梁?jiǎn)卧灰频姆植夹魏瘮?shù)。

圖4　輪軌接觸點(diǎn)位置示意圖

鋼軌所受的輪軌力不一定作用在鋼軌的節(jié)點(diǎn)上，可按照結(jié)構(gòu)力學(xué)的矩陣位移法將非節(jié)點(diǎn)豎向輪軌力Fw轉(zhuǎn)化為鋼軌節(jié)點(diǎn)荷載Fi，Mi，F(xiàn)j和Mj，如圖5所示。

圖5　鋼軌單元豎向等效節(jié)點(diǎn)荷載示意圖

Fi=fziFw

(11)

Mi=fφiFw

(12)

Fj=fzjFw

(13)

Mj=fφjFw

(14)

由于豎向輪軌力Fw與輪軌相對(duì)位移Δ(即zR-zw)相關(guān)，zR為i和j節(jié)點(diǎn)的豎向位移及彎曲角位移zi，φi，zj和φj的函數(shù)，故鋼軌節(jié)點(diǎn)荷載Fi，Mi，F(xiàn)j和Mj也均為zw，zi，φi，zj和φj的函數(shù)。將Fw，F(xiàn)i，Mi，F(xiàn)j和Mj表達(dá)式中與自由度zw，zi，φi，zj和φj相關(guān)的項(xiàng)移至方程(9)的左邊，得到Kq與Fq分別為

Kq=

(15)

(16)

式中：k為割線線性近似模型或切線線性近似模型的輪軌豎向接觸剛度，而Hertz非線性接觸模型隨時(shí)間變化的k在本質(zhì)上與割線線性近似模型和切線線性近似模型相同。

對(duì)于車軌系統(tǒng)動(dòng)力平衡方程的求解，若輪軌關(guān)系滿足線性條件，同振型疊加法相比，采用直接剛度法則更為簡(jiǎn)便。因此本文采用直接剛度法求解車軌系統(tǒng)的動(dòng)力平衡方程。由于輪軌豎向密貼模型、割線線性近似模型和切線線性近似模型均滿足線性輪軌關(guān)系，因此在求解車軌系統(tǒng)的整體動(dòng)力方程時(shí)，可避免時(shí)間步內(nèi)2個(gè)子系統(tǒng)間的迭代，提高計(jì)算效率與計(jì)算精度。而Hertz非線性接觸模型滿足非線性輪軌關(guān)系，求解車軌系統(tǒng)的整體動(dòng)力方程時(shí)需要迭代并將前后迭代步所有輪對(duì)的豎向輪軌力相對(duì)誤差低于0.001作為收斂判斷。

2　4種輪軌豎向接觸模型的對(duì)比分析

在僅對(duì)豎向平面運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析時(shí)，車軌耦合系統(tǒng)的動(dòng)力指標(biāo)主要包括車輛運(yùn)行平穩(wěn)性指標(biāo)(車體豎向加速度)、車輛運(yùn)行安全性指標(biāo)(輪重減載率)、軌道動(dòng)態(tài)變形指標(biāo)(鋼軌垂向動(dòng)態(tài)位移[1])。其中，輪重減載率為減載側(cè)車輪的輪重減載量(即輪對(duì)的平均靜輪重與減載側(cè)車輪的豎向輪軌力之差)與輪對(duì)的平均靜輪重之比，為簡(jiǎn)明起見，輪重減載率以最小輪軌力代替。

考慮到輪軌豎向密貼模型與Hertz非線性接觸模型的不同主要體現(xiàn)為輪對(duì)運(yùn)動(dòng)，故本文選取輪對(duì)豎向加速度及其輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌豎向加速度進(jìn)行對(duì)比分析。

2.1　動(dòng)力響應(yīng)

以雙塊式無砟軌道為例，分別采用4種不同的輪軌豎向接觸模型，計(jì)算單節(jié)車輛以250 km·h-1速度通過軌道系統(tǒng)時(shí)的車體豎向加速度、豎向輪軌力、鋼軌豎向位移、輪對(duì)豎向加速度、輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌豎向加速度。其中，鋼軌考慮570個(gè)扣件范圍，扣件間距為0.65 m，為保證鋼軌的計(jì)算精度，經(jīng)試算，本文將每個(gè)扣件間距分割為10個(gè)單元；采用4種不同的輪軌豎向接觸模型時(shí)均采用0.1 ms的時(shí)間步長(zhǎng)，計(jì)算時(shí)間為5 s；為避免隨機(jī)不平順規(guī)律的不確定性，采用正弦波型不平順激勵(lì)，分析不平順中不同波長(zhǎng)、不同振幅的影響，波長(zhǎng)分別取2, 4和8 m，幅值分別取0.2，0.5和0.8 mm。車輛與鋼軌的結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

表1　車輛與結(jié)構(gòu)的計(jì)算參數(shù)

各動(dòng)力指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果如圖6—圖10所示。其中，對(duì)于輪軌豎向密貼模型，輪對(duì)豎向加速度及其輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌豎向加速度等價(jià)。

圖6　不同不平順波長(zhǎng)與幅值時(shí)車體最大豎向加速度

由圖6可知：采用4種輪軌豎向接觸模型計(jì)算的車體最大豎向加速度基本相同，波長(zhǎng)為4 m時(shí)車體最大豎向加速度最小。

圖7　不同不平順波長(zhǎng)與幅值時(shí)最小豎向輪軌力

由圖7可知：采用割線線性近似模型和切線線性近似模型計(jì)算的最小豎向輪軌力與采用Hertz非線性接觸模型的基本相同，而采用輪軌豎向密貼模型計(jì)算的結(jié)果較采用Hertz非線性接觸模型的偏大。為偏安全考慮，建議采用Hertz非線性接觸模型及割線線性近似模型和切線線性近似模型。

圖8　不同不平順波長(zhǎng)與幅值時(shí)鋼軌最大豎向位移

由圖8可知，采用割線線性近似模型和切線線性近似模型計(jì)算的鋼軌最大豎向位移與采用Hertz非線性接觸模型的基本相同，而采用輪軌豎向密貼模型的計(jì)算結(jié)果較采用Hertz非線性接觸模型的偏大。

圖9　不同不平順波長(zhǎng)與幅值時(shí)1位輪對(duì)最大豎向加速度

由圖9可知：采用割線線性近似模型和切線線性近似模型計(jì)算的輪對(duì)最大豎向加速度與采用Hertz非線性接觸模型的基本相同，而采用輪軌豎向密貼模型的計(jì)算結(jié)果較采用Hertz非線性接觸模型的偏大。

圖10不同不平順波長(zhǎng)與幅值時(shí)1位輪對(duì)輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌最大豎向加速度

由圖10可知：采用切線線性近似模型計(jì)算的輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌最大豎向加速度與采用Hertz非線性接觸模型的基本相同，采用割線線性近似模型的計(jì)算結(jié)果較采用Hertz非線性接觸模型的偏小，而采用輪軌豎向密貼模型的計(jì)算結(jié)果較采用Hertz非線性接觸模型的偏大。

2.2　輪軌振動(dòng)的頻譜分析

以正弦型不平順波長(zhǎng)4 m、幅值0.5 mm為例，4種不同輪軌豎向接觸模型下各動(dòng)力指標(biāo)的時(shí)程曲線如圖11—圖15所示。

圖11　車體豎向加速度時(shí)程曲線

圖12　1位輪對(duì)豎向輪軌力時(shí)程曲線

圖13　1位輪對(duì)輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌豎向位移時(shí)程曲線

圖14　1位輪對(duì)豎向加速度時(shí)程曲線

圖151位輪對(duì)輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌豎向加速度時(shí)程曲線

由圖11—圖15可知，4種不同輪軌豎向接觸模型下各動(dòng)力指標(biāo)具有相同的頻譜成分。

考慮到輪軌豎向密貼模型與Hertz非線性接觸模型的不同主要體現(xiàn)為輪對(duì)運(yùn)動(dòng)，故以正弦型不平順波長(zhǎng)4 m、幅值0.5 mm為例，分析Hertz非線性接觸模型下輪對(duì)豎向加速度及其輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌豎向加速度的頻譜成分，分析結(jié)果如圖16和圖17所示。

圖16　1位輪對(duì)豎向加速度功率譜

圖17　1位輪對(duì)輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌豎向加速度功率譜

由圖16可知，輪對(duì)振動(dòng)的卓越頻率為17.1 Hz。由圖17可知，1位輪對(duì)輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌振動(dòng)的卓越頻率為17.1和107.4 Hz。

當(dāng)輪對(duì)周期性通過正弦波型不平順的軌道時(shí)，輪對(duì)及其輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌的振動(dòng)頻率為1/(波長(zhǎng)/車速)=1/(4×3.6/250)=17.4 Hz，接近17.1 Hz。

鋼軌扣件間距為0.65 m，當(dāng)輪對(duì)周期性通過鋼軌時(shí)，輪對(duì)及其輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌的振動(dòng)頻率為1/(扣件間距/車速)=1/(0.65×3.6/250)=106.8 Hz，接近107.4 Hz。然而由于輪對(duì)質(zhì)量遠(yuǎn)大于鋼軌質(zhì)量，此頻率對(duì)輪對(duì)豎向加速度的作用并不顯著，而對(duì)輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌豎向加速度具有顯著影響。因此，輪軌豎向密貼模型假定輪對(duì)與鋼軌在豎向上始終不分離，會(huì)導(dǎo)致在高頻段的計(jì)算有較大誤差。

圖16與圖17顯示，當(dāng)輪對(duì)周期性通過正弦波型不平順的軌道時(shí)，輪對(duì)及其輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌的振動(dòng)共有卓越頻率為17.1 Hz。然而，兩者在此頻率上的功率譜密度幅值卻存在顯著差別，這說明車輛運(yùn)行過程中輪對(duì)與其輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌的振動(dòng)是不同的。

2.3　時(shí)間步長(zhǎng)的適應(yīng)條件

由于Hertz非線性接觸模型滿足非線性輪軌關(guān)系，因此只能在2個(gè)系統(tǒng)間迭代求解，為有條件收斂；而另外3種輪軌接觸模型滿足線性輪軌關(guān)系，因此可將車輛、軌道子系統(tǒng)整合為統(tǒng)一的線性系統(tǒng)，若采用Newmark-β法求解，為無條件收斂。

為分析4種輪軌豎向接觸模型對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)的適應(yīng)條件，計(jì)算多種軌道不平順下各輪軌接觸模型在不同時(shí)間步長(zhǎng)下的輪軌力，并以時(shí)間步長(zhǎng)0.1 ms、Hertz非線性接觸模型的輪軌力為基準(zhǔn)值，計(jì)算不同軌道不平順下各時(shí)間步長(zhǎng)、各輪軌接觸模型的標(biāo)準(zhǔn)差。其中，正弦型不平順波長(zhǎng)分別取2, 4和8 m，幅值分別取0.2，0.5和0.8 mm；對(duì)于相同的計(jì)算時(shí)間5 s，分別取時(shí)間步長(zhǎng)為10，5，1，0.5和0.1 ms。輪軌力標(biāo)準(zhǔn)差e的計(jì)算公式為

(17)

式中：Fw,bi為時(shí)間步長(zhǎng)取0.1 ms且用Hertz非線性接觸模型求得的第i時(shí)間步時(shí)的輪軌力；Fw,ei為采用其他時(shí)間步長(zhǎng)和其他線性輪軌接觸模型求得的第i時(shí)間步時(shí)的輪軌力。

輪軌力標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算結(jié)果如圖18所示。

圖18　不同波長(zhǎng)、不同幅值正弦波型軌道不平順條件下的輪軌力標(biāo)準(zhǔn)差

由圖18可知：輪軌豎向密貼模型在各種軌道不平順狀態(tài)下隨著時(shí)間步長(zhǎng)的改變，輪軌力標(biāo)準(zhǔn)差均較大且未出現(xiàn)顯著改變；采用Hertz非線性模型、割線線性近似模型和切線線性近似模型，當(dāng)軌道不平順波長(zhǎng)為2 m、時(shí)間步長(zhǎng)低于10 ms時(shí)，輪軌力標(biāo)準(zhǔn)差比較??；當(dāng)軌道不平順波長(zhǎng)為4與8 m、時(shí)間步長(zhǎng)低于1 ms時(shí)，輪軌力標(biāo)準(zhǔn)差比較小。綜合考慮軌道不平順的各個(gè)波段，當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)低于1 ms時(shí)，采用Hertz非線性模型、割線線性近似模型和切線線性近似模型的計(jì)算誤差均是可以接受的。切線線性近似模型與Hertz非線性接觸模型計(jì)算的輪軌力標(biāo)準(zhǔn)差基本相同，也驗(yàn)證了切線線性近似模型替代Hertz非線性接觸模型的可行性。

3　結(jié)　論

(1)對(duì)于車體豎向加速度，采用4種輪軌豎向接觸模型的計(jì)算結(jié)果基本相同。

(2)對(duì)于豎向輪軌力、鋼軌豎向位移及輪對(duì)豎向加速度，采用割線線性近似模型和切線線性近似模型的計(jì)算結(jié)果與采用Hertz非線性接觸模型的基本相同，而采用輪軌豎向密貼模型的計(jì)算結(jié)果較采用Hertz非線性接觸模型的偏大。為偏安全考慮，建議采用Hertz非線性接觸模型及割線、切線線性近似模型。

(3)對(duì)于輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌豎向加速度，采用切線線性近似模型的計(jì)算結(jié)果與采用Hertz非線性接觸模型的基本相同，采用割線線性近似模型的計(jì)算結(jié)果較采用Hertz非線性接觸模型的偏小，而采用輪軌豎向密貼模型的計(jì)算結(jié)果較采用Hertz非線性接觸模型的偏大。

(4)綜合各動(dòng)力指標(biāo)，無論是否存在軌道不平順，切線線性近似模型可替代Hertz非線性接觸模型進(jìn)行計(jì)算，且切線線性近似模型滿足線性輪軌關(guān)系，在求解車軌系統(tǒng)的整體動(dòng)力方程時(shí)，可避免時(shí)間步內(nèi)2個(gè)子系統(tǒng)間的迭代，提高計(jì)算效率與計(jì)算精度。

(5)當(dāng)輪對(duì)周期性通過正弦波型不平順軌道時(shí)，輪對(duì)及其輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌的振動(dòng)在其共有卓越頻率上的功率譜密度幅值存在顯著差別，表明車輛運(yùn)行過程中輪對(duì)與其輪軌接觸點(diǎn)處鋼軌的振動(dòng)是不同的。由于輪軌豎向密貼模型假定輪對(duì)與鋼軌在豎向上始終不分離，因此會(huì)導(dǎo)致在高頻段的計(jì)算有較大誤差。

(6)綜合考慮軌道不平順的各個(gè)波段，當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)低于1 ms時(shí)，采用Hertz非線性模型、割線線性近似模型和切線線性近似模型的計(jì)算誤差均是可以接受的。

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