趙 澤，何飛躍

（中國水利水電科學研究院 自動化研究所，北京 100038）

1 研究背景

潮流計算是指在電力系統(tǒng)中給定輸入的有功功率和無功功率，線路參數(shù)以及網絡結構，計算線路潮流分布以及節(jié)點電壓的一類算法。潮流計算是電力系統(tǒng)分析中最重要、最基本的計算，是電力系統(tǒng)運行、規(guī)劃及安全、可靠性分析和優(yōu)化的基礎。經典的牛頓類方法是電力系統(tǒng)潮流計算的應用方法之一，雖然具有二階的收斂特性，但其對初值的敏感性較高。文獻［1］通過縮小初值的選擇范圍來改善牛頓類潮流計算的收斂性。另外，先使用快速分解法［2-4］求得合理的迭代初值，然后使用牛頓法對潮流方程進行迭代求解，是連續(xù)潮流求解的常用方法。

割線法是一個傳統(tǒng)的解偏微分方程的方法。本文將割線法應用于潮流計算中，通過對潮流方程的簡化和計算修正，快速準確解出潮流方程。

2 割線法介紹

2.1 差商思想的割線法 一般的牛頓-拉夫遜法的表示為：

為了避免對每次迭代形成新的雅克比矩陣，通過差商的思想，將微分方程化為代數(shù)方程：

將式（2）帶入式（1）即得到了割線法迭代方程：

圖1和圖2所示分別表示N-R法和一般型割線法。從圖中可以看出，割線法需要兩個初值才能進行迭代計算。圖3為改進型的割線法，要求f（xk-1）?f（xk）＜0。

圖1 N-R法

圖2 一般型割線法

2.2 收斂性在文獻［5］中指出，單根情況下N-R法具有二階收斂性。在選取初值較好的情況下，N-R法可以很快迭代收斂到方程的解，但由于其每次迭代都要求取新的雅可比矩陣，一次計算速度大大下降，合適的初值并不容易估計到，所有單獨的N-R法并不適合快速潮流的求解。快速分解法是一種定雅可比法，是對雅可比矩陣進行了簡化，并且節(jié)點功率偏差量的計算及收斂條件都是嚴格的，因此能夠保證計算結果的準確性；快速分解法僅有線性收斂速度，但是其魯棒性較好，適合在線計算［6］。割線法的收斂階為1.618［5］，理論上，在相同的迭代條件下，割線法迭代次數(shù)介于牛頓-拉夫遜法和快速分解法之間，具有快速迭代的特點。本文對割線法進行了改進和條件約束，有效保證了合適的迭代方向，而且經過后文的仿真驗證，結果的準確性也能得到保障。

3 割線法潮流計算

3.1 潮流方程極坐標形式的潮流方程［6］：

式中：是給定量，是節(jié)點的注入功率；Gij和Bij是節(jié)點導納矩陣的實部和虛部。

3.2 迭代初值設第k次迭代的結果為集合雖然割線法對初值的選擇不敏感，但是多值迭代的情況下，可能會出現(xiàn)個別值的單次迭代精度差異較大，增加迭代的次數(shù)。因此，選擇初值應符合電力系統(tǒng)需求。

3.3 迭代方程的簡化及迭代方向的修正由于割線法求解潮流時需要兩組迭代結果作為初值進行下一次迭代，如集合X（2）基于集合X（0）和集合X（1）獲得。根據(jù)高斯-塞德爾迭代的思想，對潮流方程做類似的迭代處理，迭代出來的新值在隨后的迭代中立即使用，見下式：

4 算法實現(xiàn)

改進的割線法［7］是利用根的存在定理，引導一個正確的迭代方向，見圖3所示。

基于文獻［7］對割線法的優(yōu)化思想，實現(xiàn)了單一變量的割線法求解，每次迭代會修正迭代方向，改進了割線法的迭代速度。文獻［7］提出的改進的割線法的思想，實現(xiàn)多變量的割線法求解。每次每個變量的迭代使用改進的割線法來保證每次迭代的正確方向，每次迭代每個變量之間借鑒高斯-塞德爾迭代的思想，修正變量的迭代值，使迭代結果向真實值靠攏。

4.1 割線法的優(yōu)化由上述討論，已經將潮流方程化成了多個單變量的代數(shù)方程的求解，設任意一個變量和任意一個潮流方程分別為x和f（x）。

文獻［7］給出了單值求解的改進型迭代算法：

4.2 割線法的迭代過程綜合割線法潮流計算分析和改進型迭代算法的實現(xiàn)，給出割線法潮流計算的迭代過程。

（1）給定初值x0，x1。如果轉（2）；否則，令x1=x1+2kS，其中S=(x0-x1)?直至取到滿足轉（7）；否則轉（4）。（4）執(zhí)行k=k+1，x2=x1+2kS，直至轉（5）。（5）如果轉（6）。（6）x0=x1，x1=x2，x2=x1+S ，轉（3）。（7）x0=x1，x1=x2；轉（2）。

5 算例分析

圖4和圖5所示的三母線電力系統(tǒng)，已知t=1.05，PD1+jQD1=2+j1，PD2+jQD2=0.5+j0.25，PG2=1，V2=1.01，V3∠θ=1∠0°，用割線法計算極坐標形式的潮流方程。

節(jié)點①為PQ節(jié)點，節(jié)點②為PV節(jié)點，節(jié)點③為Vθ節(jié)點；待求參數(shù)為θ1、θ2、V1。

容易列出潮流方程，此處略去。

割線法的迭代方程：

圖4 三母線電力系統(tǒng)

圖5 節(jié)點編號后的三母線電力系統(tǒng)

需要6個初值才能進行迭代，

取初始值取初始值

利用割線法的迭代算法，收斂閥值為0.0000 5，求解結果列于表1中。運算時間0.0052 s。

表1 三母線系統(tǒng)割線法求解的迭代結果

利用快速分解法，使用平啟動的方式進行潮流計算；計算結果見表2。運算時間0.0049 s。

利用N-R法，使用平啟動的方式進行潮流計算；計算結果見表3。運算時間0.026 s。

表2 三母線系統(tǒng)快速分解法求解的迭代結果（平啟動）

表3 三母線系統(tǒng)N-R法求解的迭代結果（平啟動）

根據(jù)經驗，電壓一般都是在標幺值1.0附近，所以選擇初值時電壓的取值應在1.0左右；而相角的變化不易確定，但是一般節(jié)點間的角度差不會太大。經過測試，改進型割線法經過5-8次迭代后收斂到5×10-5，其迭代結果與快速分解法和N-R法吻合，保證了用割線法求解的正確性。計算時間與快速分解法近似，效率上優(yōu)于N-R法。由于N-R法每次迭代重新生成雅可比矩陣，導致單次迭代計算時間較長，所以，雖然迭代次數(shù)少，但是總的計算時間較長。

圖6和圖7反應了初值選擇對N-R法和割線法計算效率的影響，可以觀察到θ1從-1到1變化，初值選擇在真實值附近時，迭代次數(shù)較少，計算時間較短。當初值選擇為0.8后，N-R法的迭代此時達到了16次，計算時間達到了0.156 s；而割線法的迭代次數(shù)維持在6-8次，計算時間為0.005-0.007 s。割線法在保證計算時間的同時，可以有效避開初值的選擇對迭代收斂性的影響。

圖6 N-R法迭代次數(shù)和迭代時間趨勢

圖7 割線法迭代次數(shù)和迭代時間趨勢

6 結論

本文討論了割線法在求解潮流方程的有效應用，并用改進的割線法和簡化的潮流方程給潮流方程的求解提供了新的思路。割線法求解潮流方程可以避開初值對迭代過程收斂性的影響，并使迭代過程向著真實值的方向發(fā)展，可以有效的提高計算的速度。本文中實現(xiàn)了對潮流方程的變量的簡化、迭代方向的修正以及迭代過程的改進，驗證了割線法求解潮流方程的可行性、準確性和時效性，有利于快速準確地求解潮流分布。

參考文獻：

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