江西省豐城中學(xué) 張 璐

淺談數(shù)學(xué)中函數(shù)定義域優(yōu)先問題

江西省豐城中學(xué) 張 璐

思維品質(zhì)是指個體思維活動特殊性的外部表現(xiàn)。它包括思維的嚴(yán)密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質(zhì)。函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的始終。

函數(shù)關(guān)系式 函數(shù)最值 函數(shù)值域 函數(shù)單調(diào)性 函數(shù)奇偶性

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式就可能是錯誤的。如：

例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)關(guān)系式？

解：設(shè)矩形的長為x米，則寬為(50－x)米，由題意得：S=x（50-x），

故函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x）．

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就是說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)楫?dāng)自變量x取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量x的范圍：0

即：函數(shù)關(guān)系式為：S=x（50-x）（0

二、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時，應(yīng)注意函數(shù)定義域。如：

∴y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1

剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有t≥0，而函數(shù)y=2t2+t+1在[0，+∞)上是增函數(shù)，

所以當(dāng)t=0時，ymin=1．

故所求的函數(shù)值域是[1，+∞）．

三、函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上自變量增加時，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。

四、函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱，如果定義域區(qū)間關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。

綜上所述，在求解函數(shù)關(guān)系式、最值(值域)、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能精細(xì)地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變(指對定義域?yàn)镽來說)，對解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學(xué)生思維能力，進(jìn)而有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。