鄔云德

【摘要】《課標(biāo)（2011年版）》倡導(dǎo)過(guò)程教育，但在以《一元一次方程》為載體的教研活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)普遍與過(guò)程教育存在偏差，也沒(méi)有體現(xiàn)以學(xué)為中心思想.鑒于此，筆者在重復(fù)式觀課與反思基礎(chǔ)上，對(duì)這節(jié)課的教學(xué)進(jìn)行分析與解讀，得到了同仁的認(rèn)可.

【關(guān)鍵詞】過(guò)程教育；一元一次方程；教學(xué)分析；教學(xué)解讀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)（2011年版）》）倡導(dǎo)過(guò)程教育，以全面發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能.但在以浙教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)第五章第1節(jié)《一元一次方程》為載體的“多人同課異構(gòu)”式的教研活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)普遍與過(guò)程教育存在偏差，也沒(méi)有體現(xiàn)以學(xué)為中心思想.網(wǎng)上查閱同類(lèi)課例發(fā)現(xiàn)也有類(lèi)似現(xiàn)象.鑒于此，筆者在重復(fù)式觀課與反思基礎(chǔ)上，對(duì)這節(jié)課的教學(xué)進(jìn)行若干分析與解讀，分析與解讀結(jié)果得到了同仁的認(rèn)可.現(xiàn)將其整理出來(lái)，以饗讀者.

1一元一次方程的產(chǎn)生背景及產(chǎn)生方式

一元一次方程是系統(tǒng)認(rèn)識(shí)方程的繼續(xù)——從方程到具體的一元一次方程，它是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，它是在學(xué)生認(rèn)識(shí)代數(shù)式和小學(xué)里初步認(rèn)識(shí)方程概念基礎(chǔ)上提出來(lái)的.一元一次方程的產(chǎn)生方式可用圖1表示.

圖1一元一次方程產(chǎn)生方式

2《一元一次方程》涉及的數(shù)學(xué)結(jié)果及其地位與作用

根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)果的含義，從一元一次方程的概念體系中可以分析出《一元一次方程》涉及的數(shù)學(xué)結(jié)果有：產(chǎn)生一元一次方程的方法；一元一次方程的概念（包括名稱(chēng)、定義、屬性、示例）及定義一元一次方程的步驟；用嘗試檢驗(yàn)法解一元一次方程的方法.其邏輯關(guān)系可用圖2表示.根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)果的地位與作用的含義，可以分析出《一元一次方程》的地位與作用是：方程是數(shù)學(xué)中的核心概念，而一元一次方程是最簡(jiǎn)單的特殊方程.根據(jù)具體問(wèn)題中的條件列出方程和用嘗試檢驗(yàn)法解一元一次方程是后繼學(xué)習(xí)所需要的基本技能.從具體到抽象和特殊到一般的研究方法及定義一元一次方程的步驟對(duì)后繼學(xué)習(xí)有指導(dǎo)作用.

圖2《一元一次方程》涉及數(shù)學(xué)結(jié)果的邏輯關(guān)系

3《一元一次方程》的認(rèn)知過(guò)程、認(rèn)知條件及認(rèn)知價(jià)值

3.1產(chǎn)生一元一次方程的認(rèn)知過(guò)程、認(rèn)知條件及認(rèn)知價(jià)值

盡管一元一次方程可以看成是從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來(lái)的，也可以看成是數(shù)學(xué)自身邏輯的產(chǎn)物.但從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出一元一次方程，能體現(xiàn)《課標(biāo)（2011年版）》提出的“能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫(huà)實(shí)現(xiàn)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型”的教學(xué)要求，能反映方程的數(shù)學(xué)本質(zhì)——引進(jìn)適當(dāng)?shù)谋硎疚粗獢?shù)的字母，建立未知量與已知量之間的相等關(guān)系，以及研究這些相等關(guān)系的思想方法（解方程（組）的思想方法），也能分解列方程的難點(diǎn).因此，選擇從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出一元一次方程的方式更合適.這樣其思維過(guò)程是“審題→分析→列方程”；其必要條件是“能析出問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系”；其支持性條件是“具有抽象思想、列式經(jīng)驗(yàn)”；其認(rèn)知價(jià)值有：列方程的過(guò)程有能力發(fā)展點(diǎn)，其蘊(yùn)含的生活常識(shí)、抽象思想、模型化思想等對(duì)發(fā)展學(xué)生智力有積極作用.

3.2獲得一元一次方程概念的認(rèn)知過(guò)程、認(rèn)知條件及認(rèn)知價(jià)值

盡管《課標(biāo)（2011年版）》對(duì)一元一次方程的概念沒(méi)有提出具體的教學(xué)要求，但浙教版教材將一元一次方程概念處于歸納層次.根據(jù)奧蘇貝爾的“概念形成”理論，獲得一元一次方程概念的認(rèn)知過(guò)程和認(rèn)知條件可用圖3表示.從圖3中可以看出：

（1）獲得一元一次方程概念的基本步驟是：①?gòu)膶?shí)際問(wèn)題中抽象出特定的一元一次方程；②觀察特定一元一次方程的個(gè)體特征；③歸納特定一元一次方程的共同特征；④抽象一元一次方程的本質(zhì)特征；⑤用文字語(yǔ)言定義和用符號(hào)語(yǔ)言表示一元一次方程.

（2）獲得一元一次方程概念的必要條件是具有實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元一次方程的抽象思想和列式經(jīng)驗(yàn).

（3）獲得一元一次方程概念的支持性條件包括：①觀察數(shù)或式特征的經(jīng)驗(yàn)；②歸納思想；③抽象思想；④定義的經(jīng)驗(yàn).

（4）獲得一元一次方程概念的認(rèn)知價(jià)值有：觀察所列方程特征的過(guò)程能發(fā)展學(xué)生多角度觀察事物特征的意識(shí)與能力，獲得一元一次方程概念的思維策略與思維過(guò)程及其蘊(yùn)含的歸納思想、抽象思想、符號(hào)表示思想等對(duì)后繼學(xué)習(xí)其他形式的方程有指導(dǎo)作用.圖3獲得一元一次方程概念的認(rèn)知過(guò)程和認(rèn)知條件

3.3用嘗試檢驗(yàn)法解一元一次方程的認(rèn)知過(guò)程、認(rèn)知條件及認(rèn)知價(jià)值

對(duì)于一些未知數(shù)的取值是整數(shù)的簡(jiǎn)單方程，可用嘗試檢驗(yàn)法來(lái)求它的解.課本安排用嘗試檢驗(yàn)法解一元一次方程的意圖是：①插入嘗試檢驗(yàn)法是因?yàn)楸竟?jié)課的內(nèi)容比較單??；②插入嘗試檢驗(yàn)法是鞏固求代數(shù)式的值和方程解概念的需要；③插入嘗試檢驗(yàn)法也有為用嘗試檢驗(yàn)法解二元一次方程作鋪墊之意；④插入嘗試檢驗(yàn)法又能感悟函數(shù)思想；⑤插入嘗試檢驗(yàn)法還能發(fā)展學(xué)生能力和個(gè)性.用嘗試檢驗(yàn)法解一元一次方程的基本步驟是：先確定未知數(shù)的一個(gè)較小的取值范圍；再確定未知數(shù)可取的值；然后逐一將這些可取的值代入方程進(jìn)行嘗試檢驗(yàn)，能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解.其必要條件是有確定未知數(shù)可取的值和求代數(shù)式值的經(jīng)驗(yàn)；其支持性條件是有一般到特殊思想和化歸思想等.其認(rèn)知價(jià)值有：能發(fā)展一般到特殊的推理能力、運(yùn)算能力、觀察能力等，能感悟其蘊(yùn)含的化歸思想、函數(shù)思想等.

4學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)及可能會(huì)遇到的認(rèn)知障礙

盡管學(xué)生有將生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)，但根據(jù)生活情境列出一元一次方程可能會(huì)使部分學(xué)生感到困難，感悟一元一次方程是刻畫(huà)實(shí)現(xiàn)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型及方程方法的先進(jìn)性也有一定的難度；盡管學(xué)生有定義研究對(duì)象的經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)，但估計(jì)大多數(shù)學(xué)生沒(méi)有多角度觀察事物特征的意識(shí)，部分學(xué)生可能說(shuō)不出獲得一元一次方程概念的思維過(guò)程，感悟具體到抽象的思維策略及蘊(yùn)含的歸納思想、抽象思想等也有一定的難度；盡管學(xué)生有求代數(shù)式值的經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)，但用嘗試檢驗(yàn)法解一元一次方程的過(guò)程比較復(fù)雜，可能部分學(xué)生會(huì)感到困難，特別是確定未知數(shù)的取值范圍部分學(xué)生會(huì)遇到困難.

5《一元一次方程》的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)、教學(xué)結(jié)構(gòu)

5.1《一元一次方程》的教學(xué)目標(biāo).根據(jù)《課標(biāo)（2011年版）》倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)結(jié)果分類(lèi)理論和上述三維度分析結(jié)果，可以確定《一元一次方程》的教學(xué)目標(biāo)是：

（1）經(jīng)歷列算式和方程的過(guò)程，能根據(jù)具體問(wèn)題的條件列出方程和算式，能感悟列方程的思維過(guò)程，對(duì)方程方法的先進(jìn)性有個(gè)性化體驗(yàn).

（2）參與定義一元一次方程的活動(dòng)，能多角度觀察所列方程的特征，能說(shuō)出一元一次方程的本質(zhì)特征和方程解的概念，能知道獲得一元一次方程概念的基本步驟，對(duì)發(fā)現(xiàn)所列方程的特征有個(gè)性化表現(xiàn)，對(duì)其蘊(yùn)含的歸納思想、抽象思想、符號(hào)表示等有個(gè)性化體驗(yàn).

（3）探索解特定的一元一次方程，能知道嘗試檢驗(yàn)法的含義及其適用條件，能說(shuō)出用嘗試檢驗(yàn)法解特定一元一次方程的基本步驟，對(duì)其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法有個(gè)性化體驗(yàn).

（4）參與嘗試知識(shí)應(yīng)用的活動(dòng)，會(huì)在具體情境中辨別一元一次方程，會(huì)用方程解的概念解決有關(guān)問(wèn)題，能用嘗試檢驗(yàn)法解特定的一元一次方程，對(duì)嘗試檢驗(yàn)法有個(gè)性化感悟.

5.2《一元一次方程》的教學(xué)重難點(diǎn).根據(jù)教學(xué)重難點(diǎn)的含義和上述三維度分析結(jié)果，可以確定《一元一次方程》的教學(xué)重難點(diǎn)是：

（1）教學(xué)重點(diǎn)：一元一次方程概念及方程解的概念，嘗試檢驗(yàn)法.

（2）教學(xué)難點(diǎn)：用嘗試檢驗(yàn)法解特定的一元一次方程.

5.3《一元一次方程》的教學(xué)結(jié)構(gòu).根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律、學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知規(guī)律和教育的規(guī)律及上述三維度分析結(jié)果，《一元一次方程》的教學(xué)結(jié)構(gòu)可用圖4表示.圖4《一元一次方程》教學(xué)結(jié)構(gòu)框圖

6經(jīng)歷再認(rèn)列算式和方程過(guò)程的教學(xué)

（1）教師指出：我們知道，含有未知數(shù)的等式叫做方程.我們也有用算術(shù)方法和方程方法解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn).在這兩種方法中，哪種方法更具有先進(jìn)性？請(qǐng)大家根據(jù)下列問(wèn)題中的條件分別列出算式和方程.

問(wèn)題1一件衣服按8折銷(xiāo)售的售價(jià)為72元，這件衣服的原價(jià)是多少元？

①求這件衣服的原價(jià)可列出算式：.

②若設(shè)這件衣服的原價(jià)為x元，則可列出方程：.

問(wèn)題2物體在水下，水深每增加1033米承受的壓力就會(huì)增加1個(gè)大氣壓.當(dāng)“蛟龍”號(hào)下潛至3500米時(shí)，它承受的壓力約為340個(gè)大氣壓.問(wèn)當(dāng)它承受壓力增加到500個(gè)大氣壓時(shí)，它又繼續(xù)下潛了多少米？

①求它又繼續(xù)下潛的米數(shù)可列出算式：.

②若設(shè)它又繼續(xù)下潛了x米，則可列出方程：.

問(wèn)題3小強(qiáng)、小杰、張明參加投籃比賽，每人投了20次.小強(qiáng)投進(jìn)10個(gè)球，小杰比張明多投進(jìn)2個(gè)，三人平均每人投進(jìn)14個(gè)球.問(wèn)小杰和張明各投進(jìn)多少個(gè)？

①求張明投進(jìn)的個(gè)數(shù)可列出算式：.

②若設(shè)張明投進(jìn)x個(gè)，則可列出方程：.

（2）教師在學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上組織學(xué)生交互反饋，同時(shí)教師進(jìn)行評(píng)價(jià).

（3）教師引導(dǎo)學(xué)生反思：列方程要經(jīng)歷哪幾個(gè)步驟？列方程簡(jiǎn)單還是列算式簡(jiǎn)單？

（4）教師在組織學(xué)生合作研討的基礎(chǔ)上進(jìn)行總結(jié)性講解.

（5）教師指出：正因?yàn)橛梅匠探鉀Q實(shí)際問(wèn)題是人類(lèi)的一個(gè)偉大創(chuàng)舉，就有系統(tǒng)地研究方程的必要.上述所列的這類(lèi)方程有何特征？怎樣求解？有何用處？本章我們就研究這些問(wèn)題.（揭示課題）

解析目前在這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)中，有些教師采用從一個(gè)背景中演變出多個(gè)方程的方式，并且列方程之后的反思過(guò)程缺失.這不利于學(xué)生感悟一元一次方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型和方程方法的先進(jìn)性.這里以有代表性的實(shí)際問(wèn)題為載體，引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開(kāi)放的方式，既有根據(jù)條件列算式和方程的過(guò)程，以產(chǎn)生定義對(duì)象所需要的具體一元一次方程，又有列算式和方程之后的反思，以再認(rèn)列方程的思維過(guò)程和感悟方程方法的先進(jìn)性.這體現(xiàn)了過(guò)程教育和以學(xué)為中心思想，也發(fā)揮了導(dǎo)入性教學(xué)的基本功能——建立內(nèi)在聯(lián)系和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

7參與定義一元一次方程活動(dòng)的教學(xué)

（1）教師要求學(xué)生依次思考下列問(wèn)題：

①方程“80%x=72”與算式“72÷80%”有何差異？方程“80%x=72”與整式“80%x”有何差異？

②方程“80%x=72，340+110.33x=500，2x+123=14”有何共同特征？（提示：可從字母?jìng)€(gè)數(shù)、字母次數(shù)、代數(shù)式類(lèi)型、整理后方程的形式等多個(gè)視角進(jìn)行觀察）

③這類(lèi)方程的本質(zhì)特征是什么？

（2）教師在組織學(xué)生交互反饋的基礎(chǔ)上，給出一元一次方程及其解的概念.

（3）教師引導(dǎo)學(xué)生反思：獲得一元一次方程概念經(jīng)歷了哪幾個(gè)步驟？你認(rèn)為還需要進(jìn)一步研究什么？

（4）教師在組織學(xué)生合作研討的基礎(chǔ)上進(jìn)行總結(jié)性講解.

解析目前在這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)中，普遍存在歸納所列方程特征的認(rèn)知過(guò)程短暫和獲得概念之后反思過(guò)程缺失的問(wèn)題.這不利于發(fā)展學(xué)生的能力與個(gè)性及積淀獲得數(shù)學(xué)概念的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).這里以產(chǎn)生的具體方程為載體，運(yùn)用教師價(jià)值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開(kāi)放的方式，既有“觀察→歸納→抽象→定義與表示”的過(guò)程，以形成一元一次方程的有關(guān)概念，發(fā)展多角度看問(wèn)題的意識(shí)，又有獲得概念之后的反思，以感悟獲得一元一次方程概念的思維過(guò)程和明確進(jìn)一步需要研究的問(wèn)題.這體現(xiàn)了過(guò)程教育和以學(xué)為中心思想，也遵循了處于歸納層次的概念教學(xué)的基本規(guī)范.

8探索解特定一元一次方程的教學(xué)

（1）教師提出問(wèn)題：在上面“小強(qiáng)、小杰、張明參加投籃比賽”的問(wèn)題中，我們列出的方程是“2x+123=14”.怎樣解這個(gè)方程？

（2）學(xué)生嘗試用等式的性質(zhì)解這個(gè)方程.（大多數(shù)學(xué)生能用等式性質(zhì)解這個(gè)方程）

（3）教師提出問(wèn)題：還能用其他方法來(lái)解這個(gè)方程嗎？如果回答有困難，請(qǐng)大家依次思考下列問(wèn)題：

①這個(gè)問(wèn)題中的未知數(shù)x有何特征？

②x的大致取值范圍是什么？

③x在這個(gè)取值范圍內(nèi)可取哪些值？

④將x可取的值分別代入代數(shù)式2x+123，其對(duì)應(yīng)的代數(shù)式的值分別是什么？

⑤根據(jù)方程解的概念，哪個(gè)x的值是方程2x+123=14的解？

（4）教師在學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上組織學(xué)生進(jìn)行交互反饋與評(píng)價(jià).

（5）教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)用嘗試檢驗(yàn)法解一元一次方程的基本步驟.

（限于篇幅，解析過(guò)程略）

以上分析與解讀對(duì)改變當(dāng)前只教不研的現(xiàn)象和幫助教師認(rèn)識(shí)與實(shí)踐過(guò)程教育有積極的作用，對(duì)發(fā)展教師的實(shí)踐性智慧也有積極的影響.