蔡衛(wèi)兵

筆者有幸參加了2015年浙江寧波中考命題工作，在此談談具體的命制歷程和體會，以期與大家交流、研討.

1命題立意

一是反比例函數中的坐標乘積不變性和面積不變性可分別看作反比例函數的代數不變性和幾何不變性，它們反映了雙曲線的代數與幾何的統(tǒng)一性，也是雙曲線的核心性質，是初中數學的核心知識，理應成為考查的重點；二是反比例函數容易與其他知識建立聯系，使試題具有綜合性和靈活性.命題組在商定命題雙向細目標時達成共識，確定在填空題部分命制一道以反比例函數為載體的壓軸題，但要避免思路陳舊，方法雷同問題，主要涉及方程、函數、圖形與坐標、簡單的幾何圖形的位置關系與數量關系等知識，要求借助幾何直觀與函數問題對數形結合、方程、函數等數學思想方法進行綜合考查，融觀察、發(fā)現、計算、探究于一體，體現對學生探究能力、實踐能力和創(chuàng)新能力等數學素養(yǎng)的考查.

2命題過程

2.1尋題根，思題源

原題1如圖1，函數y=1x和y=-3x的圖象分別是l1和l2.PC⊥x軸，垂足為C，交l2于點A，PD⊥y軸，垂足為D，交l2于點B，則△PAB的面積為.

原題2如圖2，函數y=1x和y=-3x的圖象分別是l1和l2.PA⊥x軸，交l2于點A，PB⊥y軸，交l2于點B，以PA，PB為邊作矩形PACB，則矩形PACB的面積為.

命題組查閱了大量習題，很多中考試題都將反比例函數與面積結合起來，較好地將知識與能力融合在一起，考查的題型廣泛，考查方法靈活，轉化思想引領，數形結合搭橋，使解決問題時化難為易，化繁為簡，收到事半功倍的效果.諸如原題1和原題2，在陳述信息上突出函數圖象、垂直坐標軸和面積，借助反比例函數圖象上的點的坐標特點或利用反比例函數k的幾何意義便能求解，但不管求△PAB的面積還是求矩形PACB的面積，甚至求△OAB的面積等等看似“舊貌換新顏”，實質是“穿新鞋走老路”，學生完全可以通過題海戰(zhàn)術掌握解題規(guī)律，大大降低考查的效度.依據不使用成題的命題原則，命題組決定在直觀圖形中將三角形或矩形隱藏起來，在陳述信息上不出現面積，由此進行改造得到如下初稿.

2.2試編題，品初稿

初稿1如圖3，點A、B分別為函數y=1x（x>0）和y=-3x（x<0）的圖象上的點，AB∥x軸，平行四邊形ABCD的頂點D在y軸上，AB=2，AB與CD的距離為5，則點C的坐標為.

初稿1利用兩條雙曲線和平行四邊形組合構造圖形，主要涉及函數、圖形與坐標、平行四邊形的性質等知識，同時滲透數形結合、方程、分類討論等數學思想方法，解題方法也比較靈活多樣，如解法1（代數解法）：設A（（a，1a），B（a-2，-3a-2），則1a=-3a-2，所以a=12，即A（（12，2），所以D（0，7）或D（0，-3），所以C（-2，7）或C（-2，-3）.解法2（幾何解法）：如圖4，過點A作AE⊥x軸，垂足為E，過點B作BF⊥x軸，垂足為F，根據反比例函數的幾何意義可知矩形ABFE的面積為4，因為AB=2，所以AE=2，所以點D的縱坐標為7或-3，所以C（-2，7）或C（-2，-3）.比較兩種解法，顯然設點代入的代數解法的思維要求較低，計算難度不大，一方面學生都會選擇此種解法，不能有效地考查反比例函數的幾何不變性，另一方面難度偏低，不能在填空壓軸上進行明顯的區(qū)分，不能很好地體現選拔性.

命題組在研討中意識到因為給定解析式而造成容易求出相關點的坐標，能否改造問題的問法，已知點C的坐標，求反比例函數中的k值，同時滲透更多的數學思想的考查，以進一步提升題目的難度，達到壓軸目的，為此進行再次改造得到如下初稿.

初稿2如圖5，點A（-2，-2），點B（1，-2），平行四邊形ABCD的另兩個頂點C、D分別為函數y=ax（a>0）和y=bx（b<0）的圖象上的點，AB與CD的距離為5，則a-b的值為.

23研究題，定正稿

如此修改，進一步在直觀圖形中隱去圖形，需要學生根據平行四邊形的特征以及ABCD的書寫要求進行實驗、操作、猜想、驗證、計算、探究等基本數學活動，學生對于解決問題的思考，由圖6采用設而求之的代數解法和幾何意義的面積求法都易求得a-b=9，在求解過程中體現了轉化思想和整體思想.但也意識到部分學生誤將點C的坐標當成（1，3），點D的坐標當成（-2，3），而結果求得仍然正確，也會部分學生因忽視ABCD的書寫要求而進行分類討論，求得當CD在AB的下方時a-b=21，這樣必然影響試題的信度和效度.幾番周折，幾番打磨，基本達到預設的目標.

已知點A，C在反比例函數y=ax（a>0）的圖象上，點B，D在反比例函數y=bx（b<0）的圖象上，AB∥CD∥x軸，AB=3，CD=2，AB與CD的距離為5，則的值是.

題意含蓄，內容豐富，借助學生數學活動經驗的積累，把畫圖操作、觀察發(fā)現、計算探究融合在一起來考查學生的幾何直觀、數感、符號意識、運算能力，思維水平較高，在壓軸的難度設計要求上是充分的.但由于隱去圖形以及A，B，C，D的位置，根據要求畫出滿足要求的圖形的難度較大，而且分類討論情形復雜（A，C在同一分支或不同分支，相應的AB與CD在軸同側或異側），需要逐一嘗試和排除，在計算中也有較大的迷惑性，一道填空題所花時間過多，在一定程度上也影響試卷的信度和效度.考慮到學生的探究能力，決定給出圖形和添加限制條件的措施降低難度，形成定稿.圖7

如圖7，已知點A，C在反比例函數y=ax（a>0）的圖象上，點B，D在反比例函數y=bx（b<0）的圖象上，AB∥CD∥x軸，AB，CD在x軸的兩側，AB=3，CD=2，AB與CD的距離為5，則a-b的值是.

思考梳理上述思維過程，不難發(fā)現解法1與解法2抓住雙曲線上的關鍵點，利用反比例函數中的坐標乘積不變性進行巧設元，通過攻破一點，再擊其余.先設點C的坐標，然后表示點D，A，B的坐標，通過這一方法能將特殊的數量關系與位置關系進行溝通與關聯，有理有據，但用字母表示圖中有關點的坐標或線段的長度或關系，體現出符號意識，特別是A，B的坐標的表示需要通過代數式的運算進行數式的變形是進行數學思考和表達的重要形式，過程比較靈活，結果有點繁瑣，同時所得的方程組稍許復雜，解方程組需要一定的技巧性處理，更多地是對方程組m-mba=2，mba-5m-maa-5m=3缺乏整體思想和目標意識而無從下手，從而導致半途而廢.解法3中所用到反比例函數的幾何意義是解決本題的關鍵和添加輔助線的重要信息源，基于學生的經驗積累和解題策略，聯想構造矩形，易得a即為反比例函數y=ax（a>0）的圖象上的點向坐標軸作垂線所圍成的矩形面積，-b即為反比例函數y=bx（b<0）的圖象上的點向坐標軸作垂線所圍成的矩形面積，要求的a-b的值與矩形CDHG、矩形ABFE的面積相等，較好地運用了構造、化歸、方程等思想方法.用此方法甚是簡單，選擇解法3的優(yōu)勢是不言而喻，但輔助線的添加與矩形的構造有一定的難度，需要善于聯想與善于轉化，否則思路易于受阻.綜合而言，難度系數04左右，能發(fā)揮中考的選拔功能.

25變式題，悟通法

反比例函數的幾何不變性隱約閃現的“矩形”，可使題中量之間關系變得簡單明了，可謂樸實蘊藏奇異，那它能成為通性通法嗎？為此繼續(xù)探究將問題進行變式：

變式1如圖9，已知點A，C在反比例函數y=ax（a>0）的圖象上，點B，D在反比例函數y=bx（b>0）的圖象上，AB∥CD∥x軸，AB，CD在x軸的同側，AB=3，CD=2，AB與CD的距離為5，則a-b的值是.

變式2如圖10，已知點A，C在反比例函數y=ax（a>0）的圖象上，點B，D在反比例函數y=bx（b<0）的圖象上，AB∥CD∥y軸，AB，CD在y軸的兩側，AB=3，CD=2，AB與CD的距離為5，則a-b的值是.

變式3如圖11，已知點A，C在反比例函數y=ax的圖象上，點B，D在反比例函數y=bx的圖象上，a>b>0，AB∥CD∥x軸，AB，CD在x軸的兩側，AB=3，CD=2，AB與CD的距離為5，則a-b的值是.

不難發(fā)現，位置“變”了，圖形“變”了，條件“變”了，但圖形基本構件及問題本質“沒變”，a-b的幾何意義“沒變”，問題的解決思路“沒變”，解題方法也“沒變”，這種立足于學生的已有經驗和最近發(fā)展區(qū)的能以“不變”應“萬變”的通法符合學生的常規(guī)思維和認知規(guī)律，我們應讓綜合問題的條件加以分析并運用雙曲線的核心性質的“幾何意義法”成為“自然解法”！3結束語

本題以反比例函數為載體設置問題，實現雙曲線與平行線圖形的完美組合，突出考查反比例函數的基礎知識、曲線上點的坐標與方程的關系、方程思想的應用，體現數形結合、轉化、整體、方程等數學思想，皆在考查學生應用相應的數學思想方法解決問題的能力.試題的改編和修正著眼學生現有的知識水平和能力儲備，以能力立意，關注核心知識為載體，既關注了知識的融合創(chuàng)新，又注重了解題策略和方法的多樣性，不斷嘗試，不斷變化，體現“含而不露”的命題情懷.