錢德春

解題，無論對發(fā)展思維能力，還是提升應試水平都有著不可替代的作用.如何發(fā)揮解題的教學價值，通過問題的探究與解決，讓學生思維上通下達、左關右聯？筆者以為，必須抓住四個關鍵詞：回歸、遷移、優(yōu)化、發(fā)展.本文擬從一道幾何填空題的探究與解答、遷移與推廣的過程，談談筆者關于解題教學的啟示與思考.圖1

源問題如圖1，AB=4，O為AB的中點，⊙O的半徑為1，P是⊙O上一動點，以PB為直角邊的等腰直角三角形PBC（點P、B、C按逆時針方向排列），則線段AC的長的取值范圍為.

1探究與解答

由于源問題中A是定點，故AC長度的范圍由點C位置的變化而決定，問題的焦點是點C如何變化.解決線段長度范圍的最大值最小值問題最常見的有代數法與幾何法兩種思路.

代數法

將線段表示成某一變量的函數，由這個變量的范圍確定這條線段的范圍（即由定義域確定值域）.具體到本題，能否將線段AC的長表示成某一變量的函數，關鍵是看能否找到AC與圖形中某些變量之間的數量關系.結合題干中“等腰直角三角形”的條件和幾何中求線段長度的常用方法，考慮構造直角三角形，利用勾股定理來建立數量關系.

解答1如圖2，當點P在AB上方時，過點P作PF⊥AB于F，過C分別作CH⊥AB于H，CE⊥PF于E.設EC=FH=PF=x，EP=FB=y，則CH=EF=x+y，HB=y-x.AH=4-（y-x）.在Rt△ACH中，AC2=CH2+AH2=（x+y）2+（4-y+x）2=2x2+2y2+8x-8y+16，又OF=|OB-FB|=|2-y|，所以x2+（2-y）2=1，即x2+y2-4y=-3，所以AC2=8x+10.當x=0時ACmin=10；當x=1時ACmax=18=32.同理，若P在AB的下方時，AC2=10-8x，當x=0時ACmax=10，x=1時ACmin=2，所以2≤AC≤32.

幾何法

初中幾何中求線段長度范圍的相關方法有：（1）若任意3個點中，兩兩間的距離分別為a、b、c，則a的范圍為|b-c|≤a≤b+c（a、b、c可輪換）；（2）平面內一點P到圖形L上各點的連線段：①當圖形L是線段AB時，連接點P與線段L上各點XA（與點A重合）、X1、X2、…、XB（與點B重合）的線段，設PXA≥PXB，過點P作線段AB所在直線的垂線，垂足為X0.則PX的范圍分兩種情況：（?。┤鬤0不在線段AB上（如圖3①），有PXB≤PX≤PXA；（ⅱ）若X0在線段AB上（如圖3②），有PX0≤PX≤PXA.②當圖形L為⊙O時（如圖3③），⊙O交線段PO于點A，交線段PO延長線于點B，則PA≤PX≤PB.③同理，結論可以推廣到任意封閉曲線或包含兩端點的連續(xù)曲線（如圖3④），此類問題超出初中范圍，不在本文研究之列.圖3

源問題如何探究？由于A是定點，點C隨著點P的運動具有不確定性，求CA的范圍的關鍵是點C的變化特征.這里就需要畫圖嘗試：作出符合條件的一些點，由點C是否在一條直線上來判斷屬于圖3中的哪一種情形.圖4

如圖4，畫圖發(fā)現：C1、C2、C3、……這些點不在同一直線上，故考慮這些點是否在某個圓上.如果是，那么圓心位置、半徑大小如何？由畫圖初步判定：圓心M在AB的垂直平分線上，遂再思考△MOB與動態(tài)△CPB在形狀、大小方面有無聯系，于是作大膽猜想：△MOB∽△CPB！如圖5，過點O作AB的垂線l，在l上截取MO=OB，則△MOB、△CPB都為等腰直角三角形，易證△BMC∽△BOP，所以有CMPO=BMBO=2，所以CM=2PO=2.至此，問題迎刃而解.

解答2由分析可知：點C在以M為圓心、2為半徑的圓上.如圖5①，直線AM與⊙M有兩個交點C1、C2，因此，當C處于C1時AC最短為2，處于C2時AC最長32，故2≤AC≤32.

問題也可直接由|AM-CM|≤AC≤AM+CM解決.如圖5②，CM=2，而AM=22，所以|AM-CM|≤AC≤AM+CM，即22-2≤AC≤22+2，故2≤AC≤32.圖5

我們知道，刻畫圖形數量特征的有效載體之一是直角坐標系，源問題還可以通過建立直角坐標系來解決.但在表示線段數量關系時，無論是構造三角形用勾股定理，還是置于直角坐標系中解決，都需要根據點P、C的位置變化而分類討論，過程比較繁瑣.而解法2不需要考慮分類，對于點P、C的任意位置都適用，更具有一般意義.

2遷移與推廣

如圖5③，源問題中，由兩個等腰直角三角形△MOB、△CPB相似得到BMC∽△BOP，進而解決問題.這讓筆者聯想到蘇科版教材九年級下冊[1]《64探索相似三角形的條件》的兩個例題（為了方便說明，筆者將教材中的圖形和字母進行了統(tǒng)一）：圖6

第58頁的例4：如圖6，點D在△ABC內，點E在△ABC外，∠1=∠2，∠3=∠4，△DBE與△ABC相似嗎？為什么？

第60頁的例5：如圖6，D是四邊形ABEC內一點，且ABBD=ACDE=BCBE.

（1）∠1與∠2相等嗎？為什么？

（2）判斷△ABD與△CBE是否相似，并說明理由.

筆者將教材例題圖形稱為“位似旋轉”型相似：將△ABC（如圖7①）以點B為位似中心縮（放）至△FBG（如圖7②），再將△FBG繞點B旋轉至△DBE（如圖7③），△ABC與△DBE如圖7④所示，連接EC、AD可證得△ABD與△CBE相似.事實上，在△ABC與△DBE、△ABD與△CBE這兩對三角形中，只要有一對相似，另一對必然相似，這是經典的基本圖形模型.教材在三角形相似兩個判定定理的例題中都用了這個模型，可見其重要性.圖7

回頭再來看源問題，所構造的三角形與原動態(tài)三角形之間具有“位似旋轉”的位置關系，這兩對三角形都是特殊三角形，而課本例題的條件與結論都是對任意三角形而言的.此外，條件中的“O是AB的中點”也具有特殊性.于是，筆者思考：源問題可否進行一般性推廣呢？

思考1將源問題條件中的“等腰Rt△PBC”改為任意直角三角形，可以求AC的范圍嗎？圖8

如圖8，Rt△PBC中，PC∶PB=k∶1，AB=2a，⊙O半徑為r，其他條件不變，求AC的范圍.

仿源問題幾何法，以線段BO為一邊作△OBM∽△BPC，則有MOBO=CPBP=k，所以MO=kBO=ka.由△OBM∽△PBC得∠MBO=∠CBP、MBCB=OBPB，所以∠CBM=∠PBO，MBOB=CBPB，所以△CBM∽△PBO，所以CMPO=CBPB=k2+1，故CM=k2+1r，而AM=MB=k2+1a，由|AM-CM|≤AC≤AM+CM，得|k2+1a-k2+1r|≤AC≤k2+1a+k2+1r，即|a–r|k2+1≤AC≤（a+r）k2+1.

思考2將源問題條件中的“O為AB中點”改為“O為線段AB上任意一點”，結論又如何呢？

如圖9，AO=a，BO=b，⊙O的半徑為r，其他條件不變，求AC的范圍.圖9

仿源問題幾何法，以線段BO為直角邊作等腰Rt△OBM，則有△OBM∽△PBC，易證△CBM∽△PBO，所以CMPO=MBOB=2，所以CM=2PO=2r.在Rt△AOM中，AM=a2+b2，由|AM-CM|≤AC≤AM+CM，得|a2+b2-2r|≤AC≤a2+b2+2r.

思考3源問題可否進行更一般的推廣呢？如O為線段AB上任意一點，△BPC為任意三角形，源問題的結論又如何？

如圖10①，O為線段AB上任意一點，AO=a，BO=b，以r為半徑作⊙O，P為⊙O上一動點，以PB為一邊作△BPC（B、P、C位置按順時針順序），使PB∶BC∶CP=m∶n∶t，能確定AC的范圍嗎？圖10

問題的關鍵是能否找到定點M與定長CM？如圖10②，仿照上述方法，以線段BO為一邊作△BOM∽△BPC，則有MOOB=CPPB，△CBM∽△PBO，所以∠MOB=∠CPB，CMPO=CBPB.從而有下列結論：①由CMPO=CBPB得CM=CB·POPB=nrm；②由MOOB=CPPB得MO=CP·OBPB=tbm；③由于△BPC三邊比確定，所以∠MOB=∠CPB確定，所以∠MOA=180°-∠CPB確定.綜上，在△AOM中，CM=nrm，MO=tbm，∠MOA一定，故AM長為定值（運用高中余弦定理可求）.設求得的AM長為k，由|AM-CM|≤AC≤AM+CM，得|k-nrm|≤AC≤k+nrm.由此可見：本題結論可以推廣到更一般的情形.

3啟示與思考

經歷問題的探究與解答、遷移與推廣過程，筆者得到許多啟示，也引發(fā)一些思考：解題教學要強化教材內涵與數學本質的回歸、知識經驗與活動經驗的遷移，力求解題策略與思想方法的優(yōu)化、問題潛能與數學思維的發(fā)展，以實現學生數學核心素養(yǎng)的形成.

3.1回歸教材內涵與數學本質

俗話說：萬變不離其宗，數學的“宗”就是基本概念、通性通法.解題教學要強化“回歸”意識，引導學生將解題思路回到通性通法、回歸教材.源問題通過畫圖初步感知圖形的變與不變，再將問題從動態(tài)向靜態(tài)轉化、思路從模糊向清晰轉化、策略從定性向定量轉化，就是回歸通性通法；教材為何高頻選用“位似旋轉”型例題，正緣于其方法的典型性、應用的廣泛性.課堂教學要重視教材例習題的的作用，引導學生回歸課本和知識本源，從數學教材中探“源”——問題的源頭與原型，充分挖掘教材例題的教學價值；從數學本質上尋“宗”——揭示問題與教材、問題與問題之間的內在聯系，深入淺出地開展教學活動.

3.2遷移知識經驗與活動經驗

國家從戰(zhàn)略層面提出了“核心素養(yǎng)體系”的概念，核心素養(yǎng)“不是知識和技能，而是獲取知識的能力[2].”如何獲取知識？由已有認知、經驗遷移獲取新知就是一種重要的方式.一是基本思路經驗的遷移，如求線段長度的范圍常用方法源于各種方法的不斷積累；二是直觀操作經驗的遷移，通過畫圖發(fā)現符合條件的C點不在同一直線上，繼續(xù)取點發(fā)現看似圍成一個圓，而且圓心位置在AB垂直平分線上；三是策略判斷經驗的遷移，如由題干的“等腰直角三角形”、“O為AB中點”等條件作出“構造等腰直角三角形”的策略判斷；四是數學知識經驗的遷移，由兩個圖形具有“位似旋轉”的位置關系，聯想到課本例題由“一對位似旋轉相似三角形”得到另外一對三角形相似，從而嘗試將問題進行一般性推廣.

3.3優(yōu)化解題策略與思想方法

解題的過程就是數學的方法、策略和思想不斷積累、反思與優(yōu)化的過程.本題分別運用了代數法與幾何法，由“中點”、“等腰直角三角形”等條件，進而構造圖形尋找數量關系，直指代數法，但代數法的局限性也顯而易見：一是AC2的表達式是含有x、y的二次式，通過整體代換轉化為關于x的一次式，如何轉化對解題者是一種心理考驗；二是這里的代數法依賴“等腰Rt△PBC”和“O為AB中點”等特殊條件，將條件弱化或退化，代數法就顯得力不從心；三是由構造直角三角形找數量關系需根據圖形位置分類，也是難點.而運用位似加旋轉的幾何法，可以通過“從特殊到一般”的問題解決過程，實現解題策略的優(yōu)化與數學思想的飛躍.

3.4發(fā)展探究潛能與數學思維

著名的數學家希爾伯特說過：“一個問題的解決意味著一系列新的問題的誕生.當我們解題成功時，不要忘記提出新的問題，因為還有許多寶藏尚未開發(fā)出來.”對于源問題，可以從兩個方面開發(fā)“寶藏”：一是問題的發(fā)展性開發(fā)；二是數學思維的生長.源問題蘊含著多向的問題發(fā)展性和豐富的思維發(fā)展性，比如△PBC由“等腰直角三角形”退化為“任意直角三角形”再退化為“任意三角形”；圓心O由“線段AB中點”退化為“線段AB上任意一點”等.問題的這種發(fā)展是隱性的、潛在的，教師要以敏銳的視角引導學生去挖掘與探究，讓學生的數學認知下抵數學知識、上達思維“高地”.或許有人會質疑：思考3有探究的必要嗎？筆者認為很有必要.這是因為：盡管“任意三角形中已知兩邊及夾角求第三邊”的情形用現有知識還難以解決，但通過定性分析可以強化對“兩邊及夾角一定的三角形確定，進而第三邊長也一定”結論的理解，也為學生后續(xù)學習的定量計算打下伏筆，如果就題論題就失去了源問題的教學價值.參考文獻

[1]楊裕前，董林偉.義務教育教科書·數學（九年級下冊）＼[M＼].南京：江蘇科學技術出版社，2014.12：58-60.

[1]汪瑞林.核心素養(yǎng)，素質教育再出發(fā)的起點＼[N＼].中國教育報，20150513.