婁成海　左效平

平移是重要的圖形變換之一，遇到函數(shù)問(wèn)題，平移前來(lái)相助，往往能起到事半功倍的效果，下面就舉例說(shuō)明，供學(xué)習(xí)時(shí)借鑒.1兩個(gè)一次函數(shù)相交，用平移

例1直線y=x+1與y=-2x+a的交點(diǎn)在第一象限，則a的取值可以是（）.

A.-1B.0C.1D.2圖1

分析如圖1，一次函數(shù)y=kx+b中，b的取值決定了直線與y軸交點(diǎn)的位置，畫出直線y=x+1，

當(dāng)a=1時(shí)，直線y=x+1與y=-2x+a的交點(diǎn)在y軸上，要想讓交點(diǎn)在第一象限，只需將直線y=-2x+a沿著y軸向上平移即可，此時(shí)a變大，所以a的取值范圍為a>1，符合條件的數(shù)只有2.選D.2一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交，用平移圖2

例2（2015年臨沂）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+2與反比例函數(shù)y=1x的圖象有唯一公共點(diǎn)，若直線y=-x+b與反比例函數(shù)y=1x的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（）.

A.b>2B.-22或b<-2D.b<-2

分析用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看問(wèn)題，用平移的方法解問(wèn)題，讓解法別有一番滋味.一起回味吧.

直線y=-x+2與反比例函數(shù)y=1x的圖象有唯一公共點(diǎn)，此時(shí)與y軸的交點(diǎn)為（0，2）即b=2，

仔細(xì)觀察圖像，要使得直線與反比函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，需要將直線y=-x+2向上平移即可，所以b>2；根據(jù)對(duì)稱性知道，直線y=-x-2與反比例函數(shù)y=1x的圖象有唯一公共點(diǎn)，將直線y=-x-2沿著y軸向下平移，可以使得直線與反比例函數(shù)y=1x的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)b<-2.選C.3二次函數(shù)與一次函數(shù)相交，用平移

例3（2015年濟(jì)南）如圖3，拋物線y=-2x2+8x-6與x軸交于點(diǎn)A、B，把拋物線在x軸及其上方的部分記作C1，將C1向右平移得C2，C2與x軸交于點(diǎn)B，D.若直線y=x+m與C1、C2共有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍是（）.

A.-2

分析先求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，再求出C2解析式，要想直線y=x+m與C1，C2有3個(gè)交點(diǎn)，滿足的條件是直線與C1，C2同時(shí)都有交點(diǎn)，且一個(gè)是一個(gè)交點(diǎn)，與另一條有兩個(gè)交點(diǎn)，仔細(xì)觀察圖像，自上而下沿著y軸平移直線y=x+m，能同時(shí)有交點(diǎn)的條件是與C1相交且與C2相切，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，繼續(xù)向下平移就有3個(gè)交點(diǎn)，這是m值最大界點(diǎn)值；當(dāng)平移到直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)再次變?yōu)閮蓚€(gè)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的m值，是滿足3個(gè)交點(diǎn)的最小界點(diǎn)值，聯(lián)立就是m的范圍.

解令y=0，得-2x2+8x-6=0，即x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3，

所以點(diǎn)A（1，0），B（3，0），因?yàn)镃2是C1向右平移2個(gè)長(zhǎng)度單位得到，且C1解析式為y=-2（x-2）2+2，所以C2的解析式為y=-2（x-4）2+2，（3≤x≤5），當(dāng)直線y=x+m與C2相切時(shí)，得-2（x-4）2+2=x+m，整理，得2x2-15x+30+m=0，因?yàn)橄嗲校苑匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ=（-15）2-8（30+m）=0，解得m=-158；

當(dāng)y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，得3+m=0，解得m=-3，所以當(dāng)m滿足條件-3

例4二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖4所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）.

A.k<-3B.k>-3C.k<3D.k>3

分析將拋物線x軸下方部分沿x軸向上翻折，得函數(shù)y=|ax2+bx+c|的圖像，如圖5所

示，將直線y=k沿著y軸自下而上平移，當(dāng)k<0時(shí)，直線與圖像無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)k=0時(shí)，直線

與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)0

交點(diǎn)，當(dāng)k>3時(shí)，直線與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)閗≠0，所以符合條件的范圍只有k>3.選D.

解后反思平移的思想為我們解題打開(kāi)了一扇嶄新的大門，它打破靜態(tài)的常規(guī)思維，讓我們解題思維閃動(dòng)著智慧的火花，讓我們真正感受到數(shù)學(xué)解題的樂(lè)趣，建議同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中要在方法的選擇上多動(dòng)腦，找出更多更好的奇思妙解之法.作者簡(jiǎn)介婁成海，男，1976年1月生，中學(xué)一級(jí)教師，先后獲得全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽優(yōu)秀輔導(dǎo)教師、沂源縣骨干教師、教學(xué)能手，多次執(zhí)教縣級(jí)公開(kāi)課，多次獲得縣講課比賽一等獎(jiǎng)，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)競(jìng)賽）解題研究和學(xué)生減負(fù)條件下如何提高課堂教學(xué)的實(shí)效性的研究，有多篇論文發(fā)表.

列表分析數(shù)量關(guān)系

——對(duì)一元一次方程與實(shí)際問(wèn)題教學(xué)的一點(diǎn)想法

武漢市鋼城第十二中學(xué)430080系艷清

一元一次方程與實(shí)際問(wèn)題是七年級(jí)上學(xué)期的教學(xué)重點(diǎn)，也是難點(diǎn).在教學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生最為棘手的是如何從實(shí)際問(wèn)題中建立方程模型.不少同學(xué)雖然掌握了常用的基本數(shù)量關(guān)系，但是具體到每一個(gè)實(shí)際問(wèn)題中，往往不能確定每個(gè)數(shù)字的意義，即便有公式也不知道該怎么運(yùn)用.

表格是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的一種，它的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)潔明了，一目了然.通過(guò)列表，我們可以將已知條件和未知關(guān)系放在一個(gè)表格中，再運(yùn)用基本數(shù)量關(guān)系，就可以方便、快速并準(zhǔn)確地列出方程.而且，用一元一次方程解決的實(shí)際問(wèn)題中包含的數(shù)量一般不超出4個(gè)，學(xué)生容易下手.我們以利潤(rùn)問(wèn)題和行程問(wèn)題為例，感受一下列表分析數(shù)量關(guān)系的優(yōu)勢(shì).

1利潤(rùn)問(wèn)題

利潤(rùn)問(wèn)題中所包含的數(shù)量主要有成本（進(jìn)價(jià)），售價(jià)，利潤(rùn)，利潤(rùn)率.這四個(gè)量之間的關(guān)系是：

利潤(rùn)=成本×利潤(rùn)率=售價(jià)-成本；

售價(jià)=成本×（1+利潤(rùn)率）=成本+利潤(rùn)；

成本=售價(jià)-利潤(rùn)=利潤(rùn)÷利潤(rùn)率；

原價(jià)×折扣率=現(xiàn)價(jià)

由于利潤(rùn)率是以成本為基礎(chǔ)的，它和成本的關(guān)系更密切，所以設(shè)計(jì)表格時(shí)，將利潤(rùn)率放在成本和利潤(rùn)之間，這樣也更直觀地表達(dá)了”成本×利潤(rùn)率=利潤(rùn)”這個(gè)數(shù)量關(guān)系.如果在一個(gè)具體問(wèn)題中，商品的價(jià)格沒(méi)有變化（沒(méi)有打折），表格設(shè)計(jì)成2行4列即可；如果出現(xiàn)了變化，表格設(shè)計(jì)為3行4列.下面舉兩個(gè)例子.

例1一商店在某一時(shí)間以每件60元的價(jià)格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣出這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？（教材102頁(yè)探究1）

分析判斷兩件衣服總的銷售情況，就是要判斷兩件衣服的成本之和與售價(jià)之和的關(guān)系，所以突破點(diǎn)是求出這兩件衣服的成本.以同樣的價(jià)格售出，一件盈利，一件虧損，那么這兩件衣服的成本必然一件大于60元，一件小于60元，它們是兩個(gè)不同的數(shù)量，所以應(yīng)該用不同的字母表示.我們不妨設(shè)盈利的那件衣服成本為x元，虧損的那件衣服成本為y元，列表如下：

第一種，將表格填滿：用x，25%，60這3個(gè)量表示利潤(rùn)：

25%x=60-x（根據(jù)利潤(rùn)=成本×利潤(rùn)率=售價(jià)-成本）；

第二種：在已知的x，25%，60之間建立等量關(guān)系：

（1+25%）x=60（根據(jù)售價(jià)=成本×（1+利潤(rùn)率））.

通過(guò)列表，既能清楚地表示60，25%，以及未知數(shù)x的意義，更能快速地找出它們之間存在的等量關(guān)系，方程很自然地就產(chǎn)生了.這里只列舉了關(guān)于x的方程，關(guān)于y的方程大家可以試一試.我們?cè)倥e一個(gè)價(jià)格有變化的例子：

例2一家服裝超市將某種服裝按成本價(jià)提高30%后標(biāo)價(jià)，然后又以9折（按標(biāo)價(jià)的90%）優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍可獲利34元.求這種服裝的成本價(jià).

分析在這個(gè)問(wèn)題中，商品的銷售價(jià)格出現(xiàn)了調(diào)整，可以設(shè)計(jì)成3行4列式表格：

先設(shè)這種服裝的成本價(jià)為x元，列表如下：

在已經(jīng)完成的表格中，每行都只有2個(gè)數(shù)量，并且”9折”這個(gè)條件還沒(méi)有派上用場(chǎng).此時(shí)，我們可以先用x和30%表示出第一次售價(jià)為（1+30%）x，再利用“9折”這個(gè)條件表示出第二次售價(jià)為0.9（1+30%）x，從而表格的最后一列已經(jīng)完成：

這樣一來(lái)，表格中的每一行都有3個(gè)數(shù)量了.此時(shí)該列方程了.由于完成表格中的第二行時(shí)，我們已經(jīng)利用了數(shù)量之間的關(guān)系，現(xiàn)在只能從第三行的3個(gè)數(shù)量入手，建立等量關(guān)系.如果類比例1，從填滿表格的角度列方程，表達(dá)利潤(rùn)率會(huì)出現(xiàn)分式方程，所以回避.我們可以從最后一行的3個(gè)量的關(guān)系著眼，列方程為：

x+34=09（1+30%）x（根據(jù)實(shí)際售價(jià)=成本+利潤(rùn)=原售價(jià)×折扣率）

利潤(rùn)問(wèn)題一向是讓學(xué)生感到頭疼的問(wèn)題，主要原因是他們?nèi)狈ι罱?jīng)驗(yàn)，只能從教材上認(rèn)識(shí)成本，售價(jià)，利潤(rùn)等等概念.如果他們能用表格將已知條件和未知條件各就各位，相信列方程對(duì)他們來(lái)說(shuō)也就是小菜一碟了.尤其當(dāng)后續(xù)學(xué)習(xí)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，只要在表格中增加一列”銷售量”就足矣！

2行程問(wèn)題

學(xué)生對(duì)行程問(wèn)題中包含的數(shù)量關(guān)系是非常熟悉的：

速度×?xí)r間=路程；

路程速度=時(shí)間，路程時(shí)間=速度.

在教學(xué)中，有人喜歡將行程問(wèn)題細(xì)化為相遇，追及，順（逆）風(fēng)（水）等等.其實(shí)，這種劃分對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)反而是一種折磨.如果學(xué)生能夠?qū)⒈砀窈途€段示意圖結(jié)合起來(lái)，不管什么樣的行程問(wèn)題，都能撥云見(jiàn)日，快速列方程.我們也舉兩個(gè)例子.

例3張華和李明登一座山，張華每分登高10m，并且先出發(fā)30min（分），李明每分登高15m，兩人同時(shí)登上山頂.設(shè)張華登山用了xmin，如何用含x的式子表示李明登山所用時(shí)間？試用方程求x的值，由x的值能求出山高嗎？如果能，山高多少？（原題見(jiàn)教材98頁(yè)習(xí)題33綜合運(yùn)用第5題）

分析此問(wèn)題中涉及兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)，我們可以用一條水平的線段表示登山的路程（從左到右對(duì)應(yīng)從山腳到山頂），首先設(shè)計(jì)表格為3行4列（包括速度，時(shí)間，路程），并在表格中填上已知數(shù)量：

然后，借助線段示意圖找出等量關(guān)系（本題由于兩人都是從山腳登上山頂，所以路程相等，線段示意圖略過(guò)），

最后，根據(jù)線段示意圖，正確列出方程：10x=15（x-30）.

至于求山的高度，只需解出方程后，將x的值代入方程任意一邊求值即可.

例4一支部隊(duì)排成1200米長(zhǎng)的隊(duì)伍行軍，在隊(duì)尾的通訊員要與最前面的營(yíng)長(zhǎng)聯(lián)系，他用6分鐘時(shí)間跑步追上了營(yíng)長(zhǎng)，為了回到隊(duì)尾，在追上營(yíng)長(zhǎng)的地方等待了24分鐘.如果他從最前頭跑步回到隊(duì)尾，那么所需要的時(shí)間是多少分鐘？

分析這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中包含的行程可以分為3次，可以放在一個(gè)表格中.

我們以通訊員和營(yíng)長(zhǎng)為目標(biāo).設(shè)通訊員跑步的速度為a m/min，隊(duì)伍前進(jìn)的速度（也即營(yíng)長(zhǎng)的速度）為b m/min，通訊員從最前頭跑回隊(duì)尾需要x min，列表如下：